Chapitre 3.2.6

Les lignes des projections obliques ſont auſſi
paraboliques.

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NOus pouvons avec un raiſonnement ſemblable faire voir que les projections qui ſe ſont obliquement & ſuivant des directions inclinées entre l’horizotale & la perpendiculaire, décrivent des lignes Paraboliques auſſi bien que les projections horizontales.

Car nous ſervant de la même figure, ſi nous menons la droite I P continuée de part & d’autre qui touche la parabole A G I en I, & coupe ſon axe N A prolongé en P. Il eſt premiérement conſtant, (parce que nous avons remarqué ci-devant pour une des pricipales proprietez de la ligne Parabolique,) que la ligne A P ſera égale à A N ou B I, & la droite A D égale à D B, & continuant F C en O, la droite I P ſera coupée en portions égales aux points 7 : D : O, comme la droite A B l’eſt aux points C : D : E.

Maintenant ſi nous entendons qu’un mobile ſoit pouſſé ſuivant la direction de la ligne I P par une puiſſance qui ſoit d’autant plus grande que celle qui le pouſſoit ſuivant la direction horizontale A B, que l’inclinée I P eſt plus grande que l’horizontale A B ; c’eſt-à-dire que la vîteſſe imprimée à ce ſecond mobile ſoit à la vîteſſe imprimée au premier comme I P eſt à A B : il ſera vrai de dire, en faiſtant abſtraction de la péſanteur, que ce mobile parcourra, d’un mouvement uniforme & égal, toute la longueur I P au même tems que le premier a parcouru la longueur A B, & que le ſecond paſſera par les eſpaces égaux I 7 : 7 : D : D O : O P : dans les mêmes tems que le premier a paſſé par les eſpaces égaux de l’horizontale A C : C D : D E : E B. Mais dans le tems que le premier de ces mobiles a paſſé d’un mouvement égal l’eſpace A C, il eſt deſcendu par ſa propre gravité, d’un mouvement accéléré, de la longueur de la ligne A K ou C F. Donc, dans le tems que ce ſecond mobile paſſera d’un mouvement égal par l’eſpace I 7, il deſcendra d’un mouvement accéléré de la même hauteur perpendiculaire A K ou 7 H. Et en deux tems parcourant d’un mouvement égal les deux eſpaces I D, il deſcendra, par le mouvement accéléré de ſa péſanteur, à la hauteur perpendiculaire A L ou D G. Ainſi en trois tems il paſſera également les trois eſpaces I O, & l’eſpace A M ou O F par l’accéléré. Et en quatre tems les quatre eſpaces I P par le mouvement égal, & l’eſpace A N ou A P par l’accéléré. C’eſt-à-dire que l’eſpace perpendiculaire 7 H égal à A K étant 1 ; D G égal à A L ſera 4 ; O F égal à A M ſera 9 ; A P égal à A N ſera 16 ; &c. Et partant ce ſecond mobile décrira par ces deux mouvemens la ligne courbe I H G A. Mais cette courbe eſt la même Parabolique que le premier des mobiles porté horizontalement, a décrite, (ainſi que je vais le faire voir.) Donc la ligne décrite par un mobile jetté ſuivant une direction oblique entre la perpendiculaire & l’horizontale, comme ſuivant la direction de la droite I P, eſt une ligne Parabolique.

Pour connoître que la Courbe I H G F A eſt la parabole tracée par le mobile porté ſuivant l’horizontale A B ; il ne faut que conſidérer que les lignes A C : C D : D E : E B : êtant égales, la droite A P êtant de 16 parties, G O ſera de p. 8. Mais O F eſt de p. 9 ; donc le reſte C F ſera de p. 1. Ainſi B I égal à A P eſt auſſi de p. 16, & partant E 7 eſt de p. 8 ; & 7 H êtant de p. 1 ; la toute E H eſt de p. 9. Donc C F ou A K êtant p 1 ; D G ou A L eſt p. 4 ; E H ou A M p. 9, & B I ou A N eſt p. 16. Comme A C ou K F êtant 1 ; A D ou L G eſt 2 ; A E ou M H eſt 3 ; & A B ou N I eſt 4. Où l’on voit que les portions de l’axe A N ſont entr’elles comme les quarrez des ordonnées & que la courbe parabolique I H G F A, décrite par le ſecond mobile ſuivant la direction oblique I P, eſt la même que la courbe parabolique A F G H I, décrite par le premier des mobiles ſuivant la direction horizontale A B. Ce qu’il faloit démontrer.

Le ſommer de l’une & l’autre de ces paraboles êtant en A, l’on pourra faire voir que la projection oblique ſuivant I P êtant continuée décrira la même parabole de l’autre part. Car prenant les eſpaces P Q : Q R égaux à P O : O D & menant les droites Q T X : R S V paralleles à l’axe A P ; le portions A T, T S ſeront auſſi égales aux portions A C, C D ; & la droite A P êtant de p. 16 ; Q T ſera de p. 24, & R S de p. 32.

Maintenant ſi l’on entend que le mobile partant du point I ait paſſé en quatre tems la droite I P par le mouvement égal, & ſoit deſcendu de toute la longueur perpendiculaire P A de p. 16 par le mouvement accéléré de ſa péſanteur ; il paſſera la droite I Q en cinq tems par le mouvement égal, & deſcendra cependant de la hauteur perpendiculaire Q X de p. 25 par l’accéléré ; & en ſix tems il parcourra I R également & la hauteur R V de p. 36 par ſa péſanteur. Otant donc la longueur Q T ou p. 24, de toute Q X de p. 25, & la longueur R S ou p. 32 de R V ou p. 36 ; il reſtera p. 1 pour T X & p. 4 pour S V ; c’eſt-à-dire que TX ſera égale à A K ou C F. S V à A L ou D G. Ce qui marque que la courbe qui paſſe par les points X & V décrite par le mobile jetté du point I ſuivant la direction oblique I P R ; eſt la même que celle qui paſſe par F & G c’eſt-à-dire la même parabole continuée.

Poſons maintenant que le mobile partant du point I ſuivant la direction P I, eſt porté en bas vers I. 2 ; je dis que la ligne courbe I. 3. 4 qu’il décrira par ſon paſſage, eſt auſſi la même parabolique A F G I continuée.

Car prenant dans la ligne P I continuée en bas les eſpaces I 1, 1. 2 égaux à I 7, 7 D, & menant les droites 3. 1. Y : 4. 2. Z paralleles à I B c’eſt-à-dire à l’axe A N, qui couperont l’horizontale A B prolongée, & feront les portions B Y, Y Z égales aux portions B E, E D. Il eſt conſtant que le mobile pouſſé avec la même force en bas, parcourra d’un mouvement égal les eſpaces I. 1, 1. 2 en même tems qu’il a parcouru en haut les eſpaces égaux I 7, 7 D ; & que lors qu’il aura paſſé le premier eſpace I 1 par le mouvement égal ; il ſera deſcendu par le mouvement accéléré de ſa gravité, de la hauteur perpendiculaire 1. 3 égale à 7 H où A K de p. 1, & qu’il deſcendra de la hauteur 2. 4 égale à D G ou A L de p. 4 par le mouvement de ſa péſanteur, quand il aura paſſé en deux tems les deux eſpaces I. 1, 1. 2 par le mouvement égal. Maintenant dans le triangle D 2 Z, la droite I B étant de p. 16, Y 1 ſera de p. 24 ; & Z 2 de p. 32 ; & partant la toute Y 3 ſera de p. 25, & Z 4 de p. 36. C’eſt-à-dire que les points I : 3 : 4 : ſeront dans la parabole A F G H I continuée, puis-que la droite Z 4 c’eſt-à-dire la portion du diametre A 6 de p. 36, eſt à la portion A K de p. 1, comme le quarré de A Z ou de l’ordonnée 6. 4, eſt au quarré de A C ou de l’ordonnée K F.