Chapitre 3.2.7

Maniére de meſurer les différens dégrés de la
force imprimée au mobile jetté.

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IL paroît tout ce raiſonnement que les paraboles ont d’autant plus d’étenduë que la force ou la vîteſſe imprimée au mobile porté ſuivant une direction horizontale, eſt plus grande. Et comme cette vîteſſe peut être plus grande en une infinité de maniéres différentes ; Galilée n’a point trouvé de moien plus aſſûré pour les réduire ſous des meſures connuës, qu’en ſuppoſant que le mobile a aquis cette force ou ce dégré de vîteſſe en tombant d’une certaine hauteur. Car puis-qu’un mobile en tombant aquiert à chaque moment de ſa chûte un nouveau dégré de vîteſſe, il n’y a point de vîteſſe ſi grande, à laquelle le mobile ne puiſſe arriver, ſuppoſé qu’il n’y ait point d’empêchement du dehors ; ainſi la différence des dégrez de vîteſſe peut-être commodément entenduë par la différence des hauteurs d’où l’on peut ſuppoſer que le mobile eſt tombé.

Pour bien entendre ceci, il faut dans la figure dont nous nous ſommes ſervis, mener les droites N D & D 8 en-ſorte que l’angle N D 8 ſoit droit, afin que A D ſoit moïenne Geometrique entre A 8 & A N, & 8 D moïenne entre 8 A & 8 N. Ceci poſé Galilée dit que ſi l’on entend que le mobile ſoit tombé perpendiculairement du point 8 en A, & que ſon mouvement ſoit en-ſuite converti en mouvement égal ſuivant la direction horizontale A B, avec le dégré de vîteſſe aquis par ſa chûte ; il décrira par ſon paſſage la parabole A F G H I.

Car comme les eſpaces parcourus par un mobile tombant ſont entr’eux en raiſon doublée de celle des tems de leur chûte ; ſi nous prenons la droite 8 A pour meſure du tems que le mobile a employé à paſſer l’eſpace 8 A en deſcendant du point du repos 8 : cette ligne ſera à celle qui eſt la meſure du tems que le mobile employera à paſſer l’eſpace A N en deſcendant du point de repos A, en raiſon doublée de celle que la même ligne 8 A a, à la droite A N : c’eſt-à-dire que le quarré de la droite, 8 A ſera au quarré de cette droite, comme la même 8 A eſt à A N. Mais comme 8 A eſt à A N, ainſi le quarré de 8 A eſt au quarré de A D. 1 Donc la droite A D ſera la meſure du tems du paſſage du mobile par l’eſpace A N.

Maintenant comme il a êté démontré par Galilée, qu’un mobile porté d’un mouvement égal avec un dégré de vîteſſe aquis en tombant de quelque hauteur, parcourt dans un tems égal à celui de ſa chûte, un eſpace double de celui qu’il a parcouru en tombant : c’eſt-à-dire que le mobile porté d’un mouvement égal ſuivant la direction A B, avec le dégré de vîteſſe aquis par ſa chûte ud point de repos 8 en A, parcourt dans le tems 8 A un eſpace double de la droite 8 A ; il s’enſuit que dans le tems A D il parcourra avec la même vîteſſe une eſpace double de la droite A D ; c’eſt-à-dire l’eſpace A B ou N I. Mais nous venons de faire voir que le même mobile partant du point de repos A, paſſoit en deſcendant l’eſpace A N dans le même tems A D. Donc dans le tems qu’il parcourra horizontalement la droite A B d’un mouvement égal, il deſcendra de toute la hauteur A N du mouvement accéléré ; & par la compoſition de ces deux mouvemens il décrira la Parabole A F G H I ; car on ne ſauroit mener d’autre parabole que celle-là qui paſſe par les points A & I.

Où l’on voit que les vîteſſes ou les forces aquiſes ou imprimées êtant entr’elles en même raiſon que les tems, la vîteſſe ou la force aquiſe par la chûte 8 A, c’eſt-à-dire la force ou la vîteſſe du mouvement horizontal êtant meſurée par la droite A 8, la meſure de la force ou de la vîteſſe aquiſe au point N par la chûte A N ſera la droite A D.

Nous avons dit ci-devant qu’une force ou vîteſſe qui ſeroit à la force ou vîteſſe horizontale comme la touchante I P eſt à la touchanqe A B ou N I ; c’eſt-à-dire comme D P eſt à D A ; porteroit le mobile en montant ou en deſcendant ſuivant la direction I P par les points de la même parabole A F G H I. Pour déterminer quelle eſt cette force, ſuppoſé que l’horizontale A B ſoit meſurée par la droite A 8 ? il faut raiſonner en cette maniére.

La droite A N êtant égale à A P, les deux D P & D N ſont auſſi égales ; & partant A D eſt à D N, comme la vîteſſe horizontale A B eſt à la vîteſſe ſuivant la touchante I P ; mais comme A D eſt à D N, ainſi A 8 eſt 8 D. Donc A 8 eſt à 8 D, comme la force horizontale eſt à l’inclinée par I P : Maintenant poſant la droite A 8 pour meſure de l’eſpace que le mobile a parcouru en tombant pour acquérir la force horizontale A 8, elle ſera à l’eſpace qu’il faudra qu’il parcoure pour aquérir la force inclinée 8 D, en raiſon doublée de la ligne A 8 à 8 D, c’eſt-à-dire comme A 8 eſt à 8 N ; & partant l’étenduë 8 N ſera celle de la chûte du mobile pour aquérir la force ou la vîteſſe 8 D. Donc la force horizontale A B ayant été aquiſe par la chûte 8 A, la force inclinée I P ſera aquiſe par la chûte 8 N.

Galilée appelle dans cette parabole A F G H I, la droite A N la hauteur, N I la moitié de ſon amplitude, & 8 A la ſublimitié : où l’on voit que la hauteur & la ſublimité jointes enſembles ſont la meſure de l’eſpace qu’il faut que le mobile parcoure en tombant pour aquérir la force qu’il doit avoir pour décrire la même parabole ſuivant la tangente menée à l’extrémité de ſon amplitude. L’on voit deplus que la moïenne Géometrique entre la hauteur & la ſublimité d’une parabole eſt égale au quart de ſon amplitude.

Ainſi continuant la droite I B juſqu’en 9, en ſorte que B 9 ſoit égale à A 8 comme B D eſt égale à A D ; la droite B D ſera moïenne entre I B & B 9 ; & le demi-cercle fait ſur le diametre I 9, paſſera par le point D ; & dans ce demi-cercle, B 9 ſera la ſublimité de la même parabole, décrite ſuivant la direction horizontale, B I ſera la hauteur, & B D le quart de l’amplitude. Et le diametre entier I 9 ſera la ſublimité de la même parabole décrite ſuivant la direction de la touchante I P.