Chapitre 3.3.5

Démonſtration de la Table des hauteurs & ſublimitez des jets de même étenduë, & de celle de la force qu’il faut donner aux jets de même étendue en toutes ſortes d’élévation.

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POur bien entendre la conſtruction de l’autre Table que nous avons raportée dans le même Chapitre ſous le nom de Table des hauteurs & des ſublimitez des jets dont l’étendue en toutes ſortes d’élévation eſt toûjours la méme, poſée de 10000 parties ; & dont les nombres ſont, ainſi que nous avons dit, pour les hauteurs chacun égal au quart des tangentes des angles d’élévation marquées dans la Table ordinaire des ſinus, & pour les ſublimitez chacun égal au quart des tangentes de complement des mêmes angles. Il faut premiérement dans cette figure, où l’étenduë horizontale donnée A B eſt partagée également en C, & A C auſſi également en D, mener des points A, D, C, des droites comme A N, D L, C Q, perpendiculaires à A B. Puis ayant pris ſur A N la droite A G égale à A D, faire du centre G & intervalle G A, le cercle K H A qui touchera la ligne D C au bout H du rayon G H parallele à A C ; & ſi l’on mene la droite A H ; l’angle C A H ſera de 45 dég. & la parabole du point A ſuivant

la direction A H avec la force meſurée par A K aura la droite A B pour amplitude, A G ou C P pour ſa hauteur & K G pour ſa ſublimité : car toutes ces choſes ont êté démontrées ci-devant. Par la même raiſon ſi menant du point A une autre droite A E faiſant l’angle de l’inclination B A E, je tire la droite E R perpendiculaire à A E & coupant A N en R ; j’aurai A R diametre du cercle A E R qui paſſera par le point E, d’où menant F E O parallele à A B, l’amplitude de la parabole décrite par le mobile pouſſé du point A ſuivant l’inclination B A E & avec la force imprimée par la chûte du point R, ſera la même A B quadruple de A D, ſa hauteur ſera A F ou C O, & ſa ſublimité R F. Ainſi faiſant une autre inclination B A L & menant la droite L N perpendiculaire à A L, nous aurons A N diametre d’un cercle qui paſſera par le point L, d’où menant la ligne M L Q, nous pouvons dire que la parabole décrite par un mobile pouſſé ſuivant l’inclination B A L avec la force imprimée par la chûte du point N, aura la même amplitude A B, la droite A M ou C Q pour ſa hauteur, & N M pour ſa ſublimité ; & ainſi des autres.

Il faut maintenant conſidérer dans le triangle rectangle A H K, que poſant la droite G H ou A D pour ſinus total ; la ligne G A hauteur de la parabole A P B ſera la tangente de l’angle G H A qui eſt celui de l’inclination ; & la ligne K G ſublimité de la même, ſera la tangente de l’angle G H K complement de celui de l’inclination G H A, ou B A H. Ainſi dans le triangle rectangle A E R, poſant la droite E F égale à A D pour ſinus total, la ligne A F ou C O hauteur de la parabole A O B ſera la tangente de l’angle de l’inclination A E F ou B A E ; & la ligne R F ſublimité de la même, ſera la tangente de l’angle R E F complement de celui de l’inclination A E F. Enfin dans le triangle rectangle A L N, poſant la doirte L M égale à A D pour ſinus total, la droite A M ou C Q hauteur de la parabole A Q B eſt la tangente de l’angle A L M ou de ſon égal l’angle de l’inclination B A L ; & la droite N M ſublimité de la même, eſt la tangente de l’angle M L N complement de M L A ou B A L. Et comme on peut faire le même raiſonnement ſur tous les angles d’inclination poſſibles ; il eſt aiſé de faire voir que la même droite A D pouvant toûjours étre poſée pour ſinus total, toutes les hauteurs des paraboles de même amplitude ſeront les tangentes de tous

les angles égaux à ceux de l’inclination ; & toutes les ſublimitez des mêmes paraboles ſeront les tangentes de complement des mêmes angles.

Deſorte que ſi nous avions pris la droite A D égale au ſinus total de la Table ordinaire des ſinus, tangentes & ſécantes qui eſt de 10000 parties, nous aurions pû nous ſervir pour les nombres de nôtre Table des hauteurs & ſublimitez, de ceux des tangentes des angles de la Table ordinaire des ſinus pour les hauteurs, & de ceux des tangentes de complement des mêmes angles pour les ſublimitez de nos paraboles. Mais comme la droite A D ne peut étre que de 2500 parties, dans la ſuppoſition que nous avons faite que l’amplitude A B, dont A D eſt le quart, eſt de 10000 parties ; il paroît que toutes les tangentes des angles d’inclination ; c’eſt-à-dire toutes les hauteurs des paraboles, & les tangentes de leurs complemens, c’eſt-à-dire toutes les ſublimitez des mêmes, doivent étre ici chacune un quart de celles de la Table ordinaire des ſinus ; ainſi que nous l’avons pratiqué dans la Table des mêmes hauteurs & ſublimitez, ou celle de l’angle de 45 dég, égale au ſinus total, n’eſt que de 2500 parties.

Au reſte comme l’arc N L dans le cercle A L N eſt égal à l’arc A l, la droite N M eſt auſſi égale à A m, & A M à N m ; où l’on voit que A M ou C Q hauteur de la parabole A Q B, eſt égale à N m ou Q q ſublimité de la parabole A q B ; & N M ſublimité de la parabole A Q B égale à A m hauteur de la parabole A q B. Par la même raiſon nous ferons voir que A F ou C O hauteur de la parabole A O B eſt égale à R f ſublimité de la parabole A o B & R F ſublimité de la Parabole A O B égale à A f hauteur de la parabole A o B Mais les paraboles A Q B, A q B ; auſſi bien que les paraboles A O B, A o B, ſont celles que l’on peut appeller reciproques, êtant faites ſous des directions également éloignées de celle de 45 dégrez, & dont la force de l’impulſion & l’amplitude ſont égales : l’on peut dit ci-devant, Qu’aux paraboles de même êtenduë ſous même force, les hauteurs & les ſublimitez ſont reciproquement égales.

Enfin comme la hauteur C P ou A G de la parabole A P B, jointe à ſa ſublimité K G fait la toute A K meſure de la force qui l’a décrite : que la hauteur C O ou A F de la parabole A O B & ſa ſublimité R F font enſemble la toute A R meſure de la force qui l’a pû décrire : que la hauteur C Q ou A M de la parabole A Q B & ſa ſublimité N M font enſemble la toute A N d’où le mobile tombant auroit par ſa chûte aquis aſſez de force pour porter le même mobile ſuivant la direction A L par la parabole A Q B à la diſtance A B. Nous pouvons inférere qu’en toutes les paraboles, la hauteur & la ſublimité font enſemble la meſure de la force qu’il faut pour les décrire. Et ceci eſt le fondement de la derniére Table que nous avons rapportée au ſeptiéme Chapitre du premier Livre de la ſeconde partie, ſous le nom de Table de la force qu’il faut donner aux jets de même étenduë en toutes ſortes d’élévation ; ce qui n’a point beſoin de plus grande explication.