Chapitre 3.4.1

Démonſtration de l’Equerre des Canoniers
rectifiée.

’Equerre de douze points faite à l’imitation de celle de Tartaglia raportée au premier Chapitre du ſecond livre de la ſeconde partie un peu plus de difficulté, quoi qu’elle ſoit ſur un même principe. Pour la bien entendre il faut ſe ſouvenir de ce que nous avons expliqué dans la pratique, tant au ſujet de la conſtruction que de l’uſage, dont je raporterai ſeulement ici, que les points de l’Equerre y ont entr’eux la même proportion que les portées d’une piéce élevée ſuivant les angles qu’ils font ſur l’Equerre. C’eſt-à-dire que la portée d’une piéce élevée au quatriéme point eſt double de la portée de la même piéce êlevée au ſecond, & quadruple de la portée au premier point, comme le nombre 4 eſt double du nombre 2, quadruple de 1. Et ainſi des autres.

Voilà les termes dont je me ſuis ſervi dans la ſeconde partie de ce Livre. Et par la diſpoſition de la figure on voit que le bras A E de l’Equerre êtant mis dans la piéce, ſi le plomb attaché par le filet en A tombe ſur le point 6, on peut dire que la piéce eſt êlevée ſuivant l’angle 6 A C ; ainſi le plomb tombant ſur le point 5, la piéce ſera êlevée ſuivant l’angle 5 A C ; & ſuivant l’angle 8 A C ſi le plomb tombe ſur le point 8. Et ainſi du reſte.

Pour faire donc voir qu la portée, c’eſt-à-dire que l’amplitude de la parabole faite au point 6, ou ſuivant l’angle 6 A C, eſt à l’amplitude de la parabole faite au point 5, ou ſuivant l’angle 5 A C, comme le nombre 6 eſt au nombre 5 ; & ainſi des autres ; il ſuffit de démontrer que le ſinus du double de l’angle 6 A C eſt au ſinus du double de l’angle 5 A C, comme 6 à 5 ; car par

ce moyen les mêmes amplitudes êtant entr’elles comme les ſinus du double des angles, elles ſeront auſſi entr’elles comme les mêmes nombres des points.

Or pour démontrer que le ſinus du double de l’angle 6 A C eſt au ſinus du double de l’angle 5 A C comme 6 eſt à 5 ; il faut prendre garde qu’après avoir tiré les droites B P & B I N, l’angle 6 A C eſt égal à A B P, & l’angle 5 A C égal à l’angle A B I ; car dans le triangle rectangle B A N la droite A I tirée de l’angle droit A, perpendiculaire à la baze B N, fait les triangles A B I, I A N ſemblables, & les angles A B I, I A N égaux. Et partant ſi l’on mene la droite F I du centre du demi cercle, & I S parallel à F P, poſant la même F P pour ſinus total, c’eſt-à-dire ſinus du double de l’angle demi droit A B P, la droite IS ou ſon égale A H ſera le ſinus de l’angle A F I double de l’angle A B I. Mais F P ou ſon égale A G eſt à A H comme 6 à 5 : & partant le ſinus du double de l’angle A B P ou de ſon égal A C, eſt au ſinus du double de l’angle A B I ou de ſon égal 5 A C, comme 6 à 5. Nous pouvons faire le même raiſonnement à l’égard des autres angles 4 A C, 3 A C, &c., & démontrer que le ſinus du double de l’angle 4 A C eſt au ſinus du double de l’angle 3 A C, comme 4 à 3. Et ainſi des autres.

Nous avons fait remarquer dans la pratique que les portées faites ſur des inclinations au-deſſus du ſixiéme point, n’étoient pas entr’elles comme les nombres de leurs points, mais bien comme ceux qui ſont également éloignés au-deſſous du ſixiéme : c’eſt-à-dire que la portée du huitiéme point, n’étoit pas à la portée du ſeptiéme comme 8 eſt à 7 ; mais bien ncomme 4 à 5, qui ſont nombres poſez au-deſſous du ſixiéme point en même diſtance que 8 & 7 le ſont au-deſſus. La raiſon en eſt manifeſte par cette démonſtration : car l’amplitude au huitiéme point c’eſt-à-dire ſuivant l’angle 8 A C, étant à l’amplitude au ſeptiéme point ou ſuivant 7 A C, comme le ſinus du double de l’angle 8 A C, eſt au ſinus du double de l’angle 7 A C ; il eſt aiſé de faire voir que ces ſinus ne ſont pas entr’eux en raiſon de 8 à 7, mais bien en celle des nombres 4 à 5 correſpondans au-deſſous du ſixiéme point. Car l’angle 8 A C étant égal à l’angle A B K ; ſi l’on mene les droites F K, F Q du centre F, & K O, Q R paralleles à P F ; prenant toûjours F P pour ſinus total, la droite R Q ou ſon égale A T ſera le ſinus de l’angle A F Q double de l’angle A B Q ou de ſon égal 8 A C ; & la droite K O ou ſœn égale A H ; ſera le ſinus de l’angle A F K double de l’angle A B K ou de ſon égal 7 A C. Mais A T par la conſtruction eſt à A K comme 4 à 5. Donc le ſinus du double de l’angle au huitiéme point eſt au ſinus du double de l’angle au ſeptiéme comme 4 à 5.

Je ne parlerai point des minutes, car c’eſt par tout le même raiſonnement, puis-qu’elles ſe marquent ſur le bord du Quart de cercle en diviſant chacune des portions G H, H T &c. de la droite A G, en 12 parties égales, & tirant de chaque point de la diviſion des droites paralleles au diametre A B, qui couperont le demi-cercle chacune en deux points, par où l’on tire du centre A du quart de cercle des droites qui traçent les minutes ſur ſon bord en la même maniére que les 12 points principaux y ont êté marquez.