Chapitre 3.6.4

Démonſtration de la quatriéme pratique
par les ſinus.

​
LA quatriéme pratique raportée au ſeptiéme Chapitre du troiſiéme Livre de la ſeconde partie veut, lors-que le plan eſt incliné ſur l’horizon, que l’on multiplie la différence entre la plus grande portée & la hauteur prependiculaire par la même hauteur, & que le produit ſoit diviſé par la longueur du plan incliné ; puis ôtant le Quotient de la même longueur, il faut ajoûter la moitié du reſte au même quotient, & faire que comme cette ſomme eſt à la moitié de la plus grande portée, ainſi le ſinus total eſt à un autre ; qui ſera la ſécante d’un angle, auquel ajoûtant ou ôtant l’angle du plan, il vient un autre angle ; lequel ajoûté ou ôté de l’angle droit, produit le double du complement de celui de la poſition du mortier que l’on demande.

Elle eſt fondée ſur la propoſition de Monſieur de la Hire. Soit dans ſa figure prolongée la droite A H juſqu’en O, enſorte que H O ſoit égale à A H ; puis du point H comme centre & de l’intervalle H C, ſoit faut le cercle K C L M qui coupera A C en L & A O en M & K ; puis du point H ſoit menée H I perpendiculaire à A C. Cela poſé : comme A O eſt double de A D ou B G, & M K double de H C ou C G ; les droites A M, K O ſont chacune égale à B C. Deplus A D étant le plus grand jet perpendiculaire, A O double de A D ſera égale à la plus grande portée, & A K la différence entre la plus grande portée & la hauteur perpendiculaire B C. Mais comme les deux rectangles K A M C A L

ſont égaux, C A eſt à A K comme A M où ſon égale B C eſt à A L ; & partant multipliant K A différence entre la plus grande portée & la hauteur perpendiculaire par la même hauteur perpendiculaire A M ou B C, diviſant le produit par A C longueur du plan incliné ; nous aurons la droite A L, laquelle êtant ôtée de la même longueur A C, donne le reſte L C ; dont la moitié L I ajoûtée à la même A L, nous fait connoître la droite A I. Maintenant ſi dans le triangle I A H nous prenons A I pour ſinus total, A H ſera la ſécante de l’angle I A H ; & partant ſi nous faiſons que comme A I eſt à A H ou A D moitié de la plus grande portée, ainſi le ſinus total eſt à un autre ; nous aurons cette ſécante, & par ſon moïen l’angle I A H, auquel ajoûtant ou ôtant l’angle du plan B A C, il vient l’angle B A H ; qui ſouſtrait ou ajoûté au droit B A D, laiſſe H A D, dont la moitié D A P eſt le complement de l’angle B A P de la poſition du mortier que l’on demande.

Si le plan étoit incliné ſous l’horizon, il faudroit, comme nous avons dit, multiplier la ſomme de la plus grande portée & de la hauteur perpendiculaire par la même hauteur ; & diviſer le produit par la longueur du plan incliné ; puis ajoûtant le quotient à la même longueur, prendre la moitié

de leur ſomme & en ôter le même quotient ; & faire que comme le reſte eſt à la moitié de la plus grande portée, ainſi le ſinus total ſoit à un autre, qui ſera la ſécante d’un angle ; duquel ôtant ou ajoûtant l’angle du plan, il vient un autre angle, qui ôté ou ajoûté à l’angle droit produit le double du complement de celui que l’on recherche.

La démonſtration eſt preſque la même que la précédente ; car dans cette figure où l’angle de l’inclination B A C eſt ſous le niveau des batteries, & où C G demi-diametre de l’arc G H h eſt égal à la ſomme des deux A D moitié de la plus grande portée & B C hauteur perpendiculaire : ayant prolongé la droite A H de part & d’autre, & pris H O égale à H A, il faut du centre H & de l’intervalle H C décrire l’arc K C M L qui coupera C A prolongée en L, & A H auſſi prolongée en M & K. D’où il paroit que A K eſt la ſomme de la plus grande portée A O & de la hauteur perpendiculaire O K ou B C ; & qu’à cauſe de l’égalité des rectangles K A M, C A L : ſi multipliant A K ſomme de la

plus grande portée & de la hauteur perpendiculaire par la même hauteur A M ou B C, l’on diviſe le produit car la longueur du plan incliné A C, l’on aura la longueur A L ; laquelle ajoûtée à la même A C donne C L, dont la moitié eſt L I ; d’où ôtant la même A L, il reſte A I qui, dans le triangle A I H, étant priſe pour le ſinus total, A H ou A D moitié de la plus grande portée ſera la ſécante de l’angle I A H ; duquel ôtant ou ajoûtant l’angle du plan B A C, le reſte où la ſomme eſt B A H, qu’il faut ôter ou ajoûter à l’angle droit B A D pour avoir l’angle D A H, dont la moitié D A P eſt le complement de l’angle B A P de la poſition du mortier que l’on demande.