III

Ici je veux vous indiquer une simplification fondamentale qui doit vivifier et accélérer, dans une incalculable proportion, l’enseignement des mathématiques. Je suis heureux de pouvoir m’appuyer en ce point sur l’autorité de deux mathématiciens éminents, M. Poisson, dont les ouvrages sont dans toutes les mains, et M. Coriolis, ancien directeur des études de l’École polytechnique, homme d’autant d’expérience que de pénétration. M. Poisson, pendant les dernières années de sa vie, travaillait à renouveler en France l’enseignement des mathématiques, par la méthode que je vais dire, et qui est aux anciennes méthodes ce que notre nouveau moyen de locomotion est aux anciens. Mais les efforts de l’illustre et habile géomètre ont échoué contre la force d’inertie et le droit de possession des vieilles méthodes. Tout ce qu’il a pu obtenir comme conseiller de l’Université, c’est une ordonnance décrétant le changement de méthode. L’ordonnance a paru, mais elle n’a pas été suivie d’effets.

Il faut la reprendre. M. Poisson disait que les parties des mathématiques devaient être enseignées par la méthode infinitésimale. Quelques personnes se souviennent encore qu’un jour, présidant un concours d’agrégation, M. Poisson, oubliant un instant le candidat qu’il avait à juger, prit la parole et développa ceci: «qu’il y a en géométrie quatre méthodes: méthode de superposition, méthode de réduction à l’absurde, méthode des limites, méthode infinitésimale. La superposition, disait-il, n’est applicable qu’en très peu de cas; la réduction à l’absurde suppose la vérité connue, et prouve alors qu’il ne peut en être autrement, mais sans montrer pourquoi. La méthode des limites, isolée de l’idée des infiniment petits[18], cette méthode plus généralement applicable que les deux autres, suppose aussi la vérité connue, et n’est, par conséquent, pas davantage une méthode d’investigation: ce sont trois méthodes de démonstration, applicables chacune, dans certains cas, aux vérités déjà connues. Au contraire, la méthode des infiniment petits se trouve être à la fois une méthode générale et toujours applicable, et de démonstration et d’investigation.»--Il est vrai, pendant que M. Poisson parlait ainsi, à côté de lui, un autre mathématicien illustre croyait l’arrêter tout court en lui disant: Qu’est-ce que les infiniment petits? Je ne sais ce qu’a répondu M. Poisson. Mais, quant à la méthode, qu’importe la réponse? Il suffit qu’avec notre notion, telle quelle, des infiniment petits, qui sont ce que Dieu sait, aussi bien que le point, la ligne, la surface, le solide et le reste, il suffit dis-je, que l’introduction de cette notion soit la voie, sans comparaison la plus facile et la plus courte, pour trouver et montrer la vérité mathématique.

[18] Je dis «isolée de l’idée des infiniment petits», car on est pleinement dans le vrai lorsque, avec M. Duhamel, on regarde «la notion des infiniment petits, et la conception fondamentale des limites comme intimement unies l’une à l’autre, et comme étant les deux idées générales les plus fécondes des sciences mathématiques.» (Préface des Éléments de calcul infinitésimal.)

C’est donc celle-là que nous prendrons.

Sans m’arrêter aux objections de ceux qui disent qu’on ne sait ce que c’est, qu’elle n’est point rigoureuse, je l’emploie parce qu’elle mène au but. D’ailleurs, nous avons répondu, ce semble, à ces difficultés dans le quatrième livre de notre Logique, et surtout dans notre introduction à la Logique.

Il y a, dans cette défiance de la rationalité des infiniment petits, ce que disait déjà Fontenelle, lorsque les esprits chagrins de l’Académie des sciences voulaient étouffer dans son germe la découverte de Leibniz, il y a une sainte horreur de l’infini; il y a ce rationalisme pédant qui se donne bien du mal pour démontrer rigoureusement le postulatum d’Euclide, qui n’en a pas besoin; il y a ce pédantisme qui se flatte, comme nous le disait un spirituel mathématicien, de trouver des difficultés là où personne n’en avait vu; il y a ce que pensait Bordaz-Desmoulin, lequel a dit fort à propos: «L’infini qui ne fait qu’apparaître dans la science l’éblouit;» il y a cette disposition qui poussa Lagrange à écrire sa Théorie des fonctions analytiques, dégagée de toute considération d’infiniment petits, etc.; Il y a enfin cet étrange aveuglement des esprits d’une certaine nature, qui ne veulent point d’idées plus grandes que nous, et ignorent que, comme le dit Bossuet, «nous n’égalons jamais nos idées, tant Dieu a pris soin d’y marquer son infinité.»

Nous citions un autre mathématicien compétent, M. Coriolis, lequel, peu de temps avant sa mort, nous avouait qu’il eût aimé à consacrer le reste de ses forces à la réforme, dans ce sens, de l’enseignement mathématique. Tout ramener à la méthode infinitésimale était, me disait-il, l’idée de toute sa vie, comme professeur et comme directeur des études. A ses yeux, l’enseignement des mathématiques, aujourd’hui en France, était le plus lourd, le plus pédant, le plus fatigant pour les élèves et pour les maîtres qu’il fût possible de voir, et présentait le plus étrange exemple de routine qu’ait offert aucun enseignement dans aucun temps. «Quand on parle comme on le fait souvent, disait-il, de la routine des séminaires dans l’enseignement théologique, on est loin de se douter que l’enseignement mathématique est victime d’une routine incomparablement plus lourde et plus barbare.»

D’après ces autorités, ces raisons, et bien d’autres, je ne pense pas qu’il soit téméraire d’affirmer qu’une seule année d’études par la méthode infinitésimale, convenablement appliquée et présentée, donnerait, non pas plus d’acquis ni de détail, mais plus de résultats utiles, plus d’intuition géométrique, et surtout plus de développement des facultés mathématiques, que le séjour même de l’École polytechnique, qui est de deux ans, et qui suppose d’ordinaire trois années d’études préalables.

Par cette voie, qui est vraiment, comme le disait M. Poisson, la seule voie d’invention, ne voit-on pas qu’en peu de temps on apprendrait à l’élève géomètre à faire de petites découvertes, et à voir par lui-même, au lieu d’apprendre par cœur, sans voir? Il développerait ses facultés, en acquérant la science, et accélérerait sa vitesse par chaque effort.

Je conclus, sur ce point, en répétant mon assertion: la méthode infinitésimale appliquée partout en mathématiques, c’est la lumière introduite dans la masse, c’est la vitesse substituée à la lenteur. Aussi je ne doute pas un seul instant que la solution du problème de l’enseignement ne réside surtout en ce point. On peut doubler, plus que doubler, la vitesse, la clarté, la fécondité de l’enseignement mathématique par l’introduction décidée de la méthode infinitésimale. On peut alors superposer les deux éducations nécessaires de l’esprit, faire pénétrer la science dans les lettres, trop vides et trop banales sans ce vigoureux aliment, et par contre, donner à la science la chaleur lumineuse, le feu, qui seul en transfigure la masse, et la change en diamant. Le premier qui, en France, instituera sur une base durable, par la voie que nous indiquons, cette pénétration mutuelle des lettres et des sciences dans la première éducation, celui-là doublera les lumières de la génération suivante, et deviendra peut-être le Richelieu d’un grand siècle.