Nous avons démontré AmZ = 90°, donc cos AmZ = c
donc (8) cos AZ = cosmA cosmZ;
donc dans tout triangle sphérique rectangle le cosinus de Fhypoténuse= produit des cosinus des deux autres côtés.
12. Du sommet d’un triangle AZC ou AZC' quelconque (lig. 34), faites tomber un arc perpendiculaire sur la base, vous aurez par l’article 10.
sin ZD=sin ZC sin C = sin ZC' sin C'r=sin ZA sin A , d’où sin ZC : sin ZA I! sin A ; sin C,
sin ZC': sin ZA :: sin A; sin C ; donc dans un triangle sphérique quelconque , les sinus des deux côtés sont enlr eux comme les sinus des angles opposés , ce qu’011 exprime généralement par cette équation,
sin A sin A' sin A "
sin C ~~ sin C' sin C “
Second théorème général des triangles sphériquee. j3. De ces deux théorèmes réunis , nous allons en déduire v nu troisième tout aussi général :
JnC
S1Q A' Mil C'^
CO* A* COS C — COS O nos (T
cot. A = . — -i — . • ■ ...
Mn a an c *1.1 c
CO.S C* ro* C. cos Cf
«in r. sin C !" sin À' r
. . . cos C* — cos C. cog O'
ou sin A cot A = . - „ ^ , -,
sin C »ln I .
cos C— ms C. ( cos A' si it G si h f!*-l-co; C cos f’*) sirj C sin C'
COs C"— Cos A' sin C! rojf sin Cf — coJC cos C*
sin C sin C"
cos C sin' C — cos V sin C cos C 'in Cf
‘ : ^TTTmïï r:
= cot C* sin C — cos A' cos C v
etenfin rosCros A* — cot C’ sin C— sin A* cot A") troisième cof OYos A*-=r cot C *in C' — sin A” coi A ? théorème co.-CeosA =rcot Cf sin C” — sin A cot A' ' eral.
En ajoutant un trait à chaque lettre et supprimant trois traits dès qu ils s’y trouvent.
rotC" sic ("1 — cos r1 cos Af
i4- Nous avons (théor. III) cot A" =
et (théor. I) sin A*=r
sin A' sin A' sin Ç“
d’où cot A* sin A*=cos A* =
fin C
CO* C s! i C, COS A’.inC*
si i C'
sin C'
cosC.
Je vois déjà dans cettp formule un ançle et le côté opposé , et un autre ançte. Tâchons d’introduire le troisième an“le , afin d’avoir les trois angles et un côté opposé , et pour cela, éliminons C, Cf, par les deux premiers théorèmes.
co*C'«in A coc A' .inf* *
eosA = — r- — —, — (cosAsinC »mC -f-cosC cosC )
sin A sm C v *
cosC.’sir A
-cosA cos A' sin* C* — cosA'ainC'co; C"cot Cf.
Il ne re-te plus à éliminer que cot Cf en prenant sa valeur dans la troisième ligne du théorème III.
. . r"s r an A . , . .
•os A =r cos A cos A ain* C
sin A
,, • nu -,/rotCcn* A-f.«in A C0tA\
— cos A sin C" cos C ( : — -j 1
\ sin C /
ros C%in A . ... '
— cos A cos A sin* C
«os K’~
sin A
•cos A cos A' cos* C' — cci- C" sin A sin* A'
sin A cos* A' cos C'
sin A'
cos A cos A'
~ cos C" sia A sia A' — cos A cos A' (Théorème IV }.
Ainsi ,
Cos A" =rcn. r'sin A ‘in K' — cos A cos A' cos A = ci'- O sin A' ‘in A" — cos A' cos A* cos A' = cosC'sin A'siu A— rosA'cos A
c’est le 4* et dernier théorème général.
Toute ’a trigonométrie est renfermée dans ces quatre Formules, et par conséquent dans la première dont nous av vn« déduit analytiquement les trois autres. Plusieurs auteurs ont ain-i déduit d’un théorème fondamental les formules qui suffirent a la résolution de tous le« triangles possibles ; mais aucun que |e sache . ne l'a fait d'uue manière aussi directe , ni aus.-i purement analytique.
i5. Si l’on compare avec le théorème I
cos r'— cos A"siu C sin C'-f- cos C cos C', le quatrième, que l’on peut écrire
— cos A" = — cos C* sin A sin A'-f- ms A cos A' , ou — cos a" =. — cos c* sin a sin a ' -f- cos a cos a ,
on remarquera que les angles ont pris place des côtés opposés, et rériproqm ment , que les cosinus sont devenus négatifs de po-itifs qu’ils étaient.
Snuposons c*=:i8o0— A", «7=180° — C , a'=iRo°=C' , nous aurons le côté et les deux angles adjacens d’un nouveau triangle qui «era pnsâble, car sur un côté quelconque c" , on peut faire deux angles quelconques a et a'. Nous aurons étidem-
go ASTRONOMIE.
. ment co* A* sin C sin C'-f-cos C cos C'— — cos c" sin a sin a.'- f» cos a cos a ; ces deux seconds membres étant égaux , les premiers le seront aussi : donc cosC"= — coati", donc a"= i8o° — C'j ainsi dans le second triangle, les trois angles seront les supplémens des trois côtés du premier, et réciproquement.
On pourra donc substituer l’un des triangles à l’autre. Ce nouveau triangle s’appelle supplémentaire ou polaire. La plupart des auteurs en font grand usage j c’est M. Lagrange qui a imaginé de le former ainsi j quoique ce triangle nous soit tout-à-fait inutile, il mérite d’étre connu ; mais auparavant continuons de tirer de nouvelles conséquences de nos formules.
