Dans les formulesdu théorème II, soit A=go°, nousauron

sin C'=sin A'sin Cj sin C"=sin A' sin C.

Ainsi, dans tout triangle rectangle, le sinus d'un coté est égal au produit du sinus de l'angle opposé par le sinus de t hypoténuse.

17. Dans les formules du théorème premier , soit A"=go% alors cos C"=cos CcosC'.

Ainsi , dans tout triangle rectangle , le cosinus de l'hypoténuse est égal au produit des cosinus des deux autres cotés. Nous avons déjà trouvé ci-dessus ces deux théorèmes.

18. Dans les formules du théorème IV, soit sin A."=qo*} COsC"=cot A cot A'; dans tout triangle sphérique rectangle , le cosinus de l'hypoténuse est égal au produit des cotangentes des deux angles obliques.

ig. Dans les mêmes formules, soit sin A = 90’, cos A"= cosC'sin A'; dans tout triangle sphérique rectangle , le cosinus tT un angle oblique est égal au produit du cosinus du côté opposé par le sinus de l'autre angle oblique.

ao. Dans les formulesdu théorème III , soit A"=90°, cotO" =cot C cos A' ou tang C=cos A' tangC", ou la tanzente d’un côté est égale au produit de la tangente de l'hypoténuse par le cosinus de t angle compris.

ai. Enfin , dans les mêmes formules, soit A—900, cot A* =cot C* sin C ou tang C*=sin C tang A", dans tout triangle

sphérique rectangle , la tangente d'un côté est égale au produit de la tangente du côté opposé par le sinus de t autre côté.

22. Ces six formules suffisent pour la solution de tout le* cas possibles des triangles rectangles. En égalant à go° l’un des côtés dans chacune des formules fondamentales , on aurait des théorèmes analogues pour les triangles qui ont un côté de 90° ; mais ces théorèmes sont de peu d’usage.

a3. Les triangles rectilignes ne peuvent avoir qu’un angle droit; il n’en est pas de même des triangles sphériques.

Dans les formules (III ), supposons A'=A— qo°, nous aurons o = cot C" sinC, ainsi cotangC"=o, C"=go°.

Ainsi, dans un triangle sphérique, quand les deux angles sur la base sont de go°, le côté opposé à l’un des angles égaux est de 90°, l’autre est par conséquent de go°, car le triangle est isoscèle ; donc quelle que soit la valeur de la base C, les deux côtés sont de 90° et se réunissent au pôle de la base , et l’angle au sommet ou au pôle aura pour mesure l’arc de la base ; et si cette base est elle-même de 90°, les trois angles du triangle seront droits , les trois côtés seront de go°, et chacun des sommets sera le pôle du côté opposé.

2 4- Supposons deux côtés égaux et de 90° chacun , les angles opposés seront égaux et de 90° ; car soit

C=C'=go°, cos C= cosC'= o = cosAsin C*=Cos A' sin C' ,

il faut donc que cos A=o=cosA/ , sans cela il faudrait que C" fut —o, et alors plus de triangle, ou que C"=i8o°, et le triangle dégénérerait en une figure à deux côtés , qu’on nomme fuseau ; les deux côtés seraient de 1800 chacun, et les deux angles seraient égaux , mais indéterminés.

a5. Supposons les trois angles de 90° chacun , le théorème IV donnera C — C'=zC"= 90°. Supposons les trois côtés de 9c0 chacun , par le théorème I les trois angles seront de go®. Supposons l’angle et le côté adjacent de 9c0 chacun, ou A"=C =90°, nous aurons théorème I cos C*=o, donc le côté opposé est de 90°, donc le triangle est isoscèle , donc sin £ C'^sia^K', donc C'=A', donc le sommet A' est le pôle de C. *

aS. Donc , si un arc de go* est perpendiculaire sur u* autre arc , il aboutit au pôle de cet arc , et tout arc mené de ce pôle sur l'arc , sera de go3 et perpendiculaire sur le meme arc.

Tous les arcs perpendiculaires à un grand cercle quelconque, le sont à tous les cercles parallèles; ils pa-sent tous par le pola commun du grand cercle et de ses parallèles.

27 Oeux arcs de grand cercle qui se coupent sous un angle quelconque, se couperont à 180° de la sous le mente angle, et formeront le fuseau de cet angle ; il suit de là qu’un côté quelconque de triangle sphérique est moindre que l’arc de îPo®, et que la somme des trois côtés est toujours moindre que 54o0; elle est même toujours au-dessous de SGo".

28. Pour le prouver , remarquons d’abord que notre premier théorème cos C" =cos A* siu C sin C’-j- co» C cos C* , donne

cos C" = cos C cos C' + sin C sin C/ — 2 sin C sin C' sin* j A* =cos (C' — C) — 2 sin C siu Ç' sin* f A”,

asin C sinC'sin* J A"=co>(C' — 0) — cosC*=2sin j (C" — (7 — C) sin i ( C"+ C=Ü) = a sin ; (C"+C — C ) sin { (C" + C'- C).

Le premier membre est positif, le serond l'est donc aussi.

On a donc tout a la fois C"-f-C;>C' et C" 4- C^C; car on ne peut avoir à la fois et C"-4-C'<C , puisqu'il

en résulterait à la fois C"<C' — C et C"<C — C', ce qui est absurde.

Donc ta somme de deux côtes quelconques est plus grande que le tr 'isième côté.

29. Soit un triangle quelconque ABC ; prolongez AB , AC en D , vous aurez BC < DB-f-DC ; donc

AB + AC + BC<AB + AC-f-DB-f DC<3Go°.

Pui.sque sin { (C" -f- C' — C) est toujours positif, il s’ensuit que sinj(C"-f-C' — C) est toujours positif; donc C" ou un côté quelconque est toujours plus grand que la différence des deux autres.

3o. Nous ferons un usage continuel delà règle des signes; on se rappellera donc que les sinus des arcs au-dessous de i8o® sont toujours positifs , parce qu’ils sont dans le demi-cercle supérieur} négatifs depuis i8o® jusqu’à 36o°, parce qu’ils sont dans le demi-cercle inférieur; ils seraient dans le demi-cercle inférieur, et par conséquent négatifs, si l’arc était négatif et moindre que la demi-circonférence.

3t. Le cosinus est positif de o jusqu’à go*, où il passe par zéro et change de position; il est négatif de qo° jusqu’à 070®, où il devient positif, parce qu’il reprend sa première direction.