ang A = > ainsi la tangente est positive de zéro

jusqu’à 90®, change de signe à 90® comme le cosinus , en change encore à 180° comme le sinus; elle redevient donc positive à 180°; elle en change encore à 270® comme le cosinus; elle redevient alors négative jusqu’à 3b'o®.

La cotangente change de ligne comme la tangente , à chacun des quatre quarts de la circonférence. Les sécantes et les cosécantes n'entrent pas directement dans nos formules; elles y sont mises quelquefois à la place du cosinus ou du sinus , et doivent suivre les mêmes règles pour les signes.

33. Si l’on a tangx —tn, il est impossible de deeider à quelle moitié du cercle appartient? l’arc x, mais on sait dans chaque moitié à quel quart il appartient. Mais si l’on a

tanc c = — = *'n X , le signe du numérateur indique la moi-

0 n cosx 1

tié du cercle dans laquelle se trouve x, et le signe du dénominateur indique le quart; il ne reste plus d’incertitude.

34. Les formules qui donnent l’arc par son cosinus , sa 'tangente et sa cotangente, ne laissent aucune incertitude sur

l’espèce de l’arc ou de l’angle , qui ne peut ttre ni plus grand que 180®, ni négatif; les formules tjui donnent l’arc par son sinus sont douteuses, parce que sin A et sin(i8o° — A) sont la même chose.

35. Nous avons trouvé cos C" = cos C cos Cf ; il en résulte que l'hypoténuse est moindre que 90°, si les deux autres cote»

sont de la même espèce , et qu’elle surpasse go* s’ils sont d’espèce différente, c’est-à-dire, l’un plus petit, et l’autre plus grand que go°.

36. La formule cosC" =cot A'cot A" prouve de même que l’hypoténuse sera plus petite ou plus grande que l’arc de qo°, selon que les deux angles obliques seront de même espèce ou d’espèce différente.

37. La formule cos A' = cosC"sin A' prouve que l’angle d’un triangle rectangle est toujours de même espèce que le côté opposé -, la formule tangC"=sin CtangA" prouve lamêmechose.

38. La formule tangC = tangC" cos A' prouve que l’hypoténuse et un autre côté seront de même espèce, si l’angle compris est aigu ; d’espèce différente s’il est obtus.

3g. Dans un triangle AZC (fig. 34) abaissez une perpendiculaire ZD sur la base ; vous aurez

tangZD = tangAsin AD = tangC sin CD ;

ZD est de même espèce que A et que C, et dans ce cas la perpendiculaire tombe dans le triangle ; au contraire , si les angles sont de différente espèce , comme dans AZC', la perpendiculaire tombe en dehors, car tangZD = tangA sin AD = tangC' sin C'D.

40. Venons maintenant* au triangle supplémentaire; soit ABC (Gg. 36 ) un triangle quelconque ; nous supposons seulement que tous les côtés soient moindres chacun que de gc°.

Prolongez BA et BC en D et en E , ensorte que BD = BE = qo°. Du point B, comme pôle, décrivez l’arc indéhpi MDEO.ou le cercle entier si vous voulez.

Prolongez de même AB et AC jusqu’à go° en G et en F , et décrivez du point A , comme pôle, le cercle NGFO; enfin prolongez de même CA et CB en I et en H, et décrivez le troisième cercle MIHN.

Ces trois cercles se couperont nécessairement et formeront parleurs intersecdons un triangle MNO qu on nomme polaire, c’est-à-dire , le triangle des trois pôles ; en effet , O est le pôle de AB, puisque les angles D et G sont droits ; M est

LEÇON IV. g5

le pôle de BC , puisque E et H sont des angles droits ; enfin N est le pôle de AC, puisque F et I sont de go° chacun.

L’angle O a pour mesure l’arc

DG = DB + BG = go° -f- go» — AB = 1 8o°— AB.

L’angle M a poiir mesure l’arc

HE = HC+ CE = go° + go° — BC = 1 8o° — BC.

L’angle N a pour mesure l’arc

FI = FA -f- AI = go° -f- go° — AC = 1 8o° — AC.

MN = MH-f-HN = go# + go°— IH = i8o0— C,