NO = NF 4* FO =90 +90 — FG= 180 — A
OM = OD + DM= 90 -f*9° — DE= 180 — B.
Les trois côtés du triangle polaire sont donc les supplémens des trois angles du triangle ABC ; ces trois angles sont les supplémens des trois côtés du triangle ABC.
4 1. Or cosNO = cosMsinMNsinMO-}-cosMNcosMO , cos( 1 80° — A) = cos( 1 8o° — BC)sin( 1 8o° — C) sin( 1 8o° — B) 4* cos(i 8o° — C) cos( 1 8o°— • B)
— cosA = — oosBCsinCsin A-f-cosC ccsB, cosA = cosBCsinCsinB — cosCcosB ,
ce qui est précisément notre quatrième théorème démontré d’une manière plus courte et plus claire ; mais c’est le seul que nous puissions ainsi démontrer, car les formules des théorèmes II et III , transportées de même au triangle supplémentaire , n’apprendront rien de nouveau ; et c’est ce qui arrivera quand les formules seront symétriques entre les angles et les côtés.
4a. Nos quatre théorèmes suffisent pour résoudre, dans tous les cas, les triangles sphériques quelconques; elles expriment les relations générales entre quatre des six quantités qui constituent le triangle ; il suffira de dégager , c'est-à-dire de laisser seule dans un membre l'inconnue du problème. Mais ces formules ne donneront pas toujours les solutions les plus faciles, et nous allons indiquer les procédés qut sont
plus généralement mis en pratique par les astronomes, en commençant par les triangles rectangles. Soit le triangle A VA", rectangle en A (Gg. 37).
Premier cas. Si l’on connût l'hypoténuse C et un angla qu’on désignera par A',
sinC' = sinCsinA' = sin angle opposé sinhypoténuse = sin côté cherché ,
tangC" = tang Cens A' = tangcôté cherché
= tang hypoténuse cosin angle compris, cos A" = cos C tang A' =cot angle cherché = cos hypoténuse tang angle donné.
La règle des signes lève le doute dans les deux dernières formules; pour la première, on songera qne l’angle et le côté oppo«é sont toujours de meme espèce 1.37 .
Second cas. Si l’on connaît l'hypoténuse C et l’un de* côtés , qu’on désignera par C', on aura
. A. sinC' . sin côté connu
sn A — — , ou *in angle cherche =
cosC* =
sin co« f|
cos
sin hypoténuse’
.A, . cos hypoténuse
cotecherche = — ..
CO' cote connu
cos C' 1
cosA' — tang (Y cotC, tang angle cherché = cot hypoténuse tangcôté connu.
Les espèces se connaissent comme dans le cas précédent.
Troisième cas. Si l’on connaît les deux côtés qui renferment l’angle droit, c’est-à-dire C' et C”,
cos C =z cos C' cos C, ou
cos hypoténuse = cos premier côte cos dauxième côté ,
., tang 0/ tang A ,
sin C
ou
tang angle cherché= tang A'=
tang côté opno«é , sin cote adjacent* tang C
sin G7 *
Aucun doute sur l’espèce.
Quatriùmr
LEÇON IV. g7
Quatrième cas. Si l’on connaît C' et A', c’est-à-dire ùa côté et un angle opposé ,
sin C = 7? , ou bien l’hypoténuse = - ?‘nc(>t^ronnu
. ' A si ii angie opposé*
«nC = tangC' cot A', ou sin côté cherché = tang côté connu cot angle opposé,
linA"=~T!f 00 sin angle cherché — — - anSle
^ COS coté connu ‘
Ces formules laissent dans le doute sur l’espèce de l’inconnue;
Cinquième cas. Si l’on connaît C" et A', c’est-à-dire un cote et l’angle adjacent,
tangC = tang A' sin C", ou tang côté cherché
— tanS angle opposé sin côté connu ,
tang C. = ~~rr- , ou tang hypoténuse = conilu
cosA . cos angle connu*
cos A — cos C sin A', ou cos angle cherché
— cos côté opposé sin angle connu.
Sixième cas. Si l’on connaît les deux angles A' et A*,
cosC =cotA cot A*, ou cos hypoténuse = cot premier angle cot deuxième angle,
co,c'=22ia;)
\ V coscôté cherché = cos a3£îe °PP0ié
