Pour que nos équations ( 6 ) fussent rigoureusement

exactes, il faudrait que m = ^ fut tout à-fait nulle, ce

qjii suppose infini le demj-gr,and axe a, et que l’ellipse dégénérât en parabole ; et en effet tous les auteurs prouvent que la parabole dopne nos deux équations ; ainsi depuis Newton et Halley , tous les astronomes ont employé la parabole , comme approximation , pour calculer la rçute d’une comète à son apparition , et cette hypothèse s’est presque toujours trouvée suffisante. Nous aurons

t = — •- (tang tu+] tang3 i u ).

Supposons , pour plus de simplicité , h = * , h* =? 1 , nous

aurons t' == — (tang i w + 3 tangH“)- *• y a

9. Soit u — 45° , tang { u +'3 tang3 i u = 1 + 3 = J ; I« tem* qui répondra, à n = go° sera donc

LEÇON XXL

ainsi la comète qui aurait 1 de distance périhélie emploierait iog/,6i54 à décrire les go° d’anomalie qui s’étendent du paramètre au périgée ; son rayon vecteur décrirait en ce tems le secteur de go°. Cette comète est souvent désignée sous le nom de comète de 109 jours.

10. Les tems sont proportionnels aux secteurs; on aura donc toujours cette analogie :

iog',6i54 :f : Qtang^u+tangiu),

t' = 5(1°9)>6l54)(itang35W + tang|ii)

= i ( 1 °9/.6 1 54) (tang3 { U + 3tang i u)

— a7',4o385 (tang3^ u 4- 3tang | u) ;

ainsi l’anomalie u étant donnée , il sera toujours facile de calculer le tems qui répqnd à cette anomalie.

Si c’est le tems qui est connu , il n’est pas aussi simple d’en conclure l’anomalie, puisque l’équation est du troisième de-

gre ; mais soit tangB = ■■ ■ ’ ^ — ; tangA= ytang { B ;

alors tang jU=2cotaA. Voyez la Trigonométrie de Cagnoli.

1 1.. On peut ainsi calculer une table des anomalies u pour tous les jqurs ou fractions de jour, en supposant h= 1. Cette table servira pour toutes les comètes. En effet, soit 6 le tems, du passage de la comète par son périhélie , 6' le tems pour

lequel on cherche l’anomalie. Faites t! = ^-r , vous aurez

le tems t' qu’il faudrait à la comète pour arriver du périhélie à la même anomalie ;(si é' — 8 est une quantité négative , c’est que la comète ne sera pas encore parvenue au périhélie , t' sera négatif, ainsi que l’anomalie u trouvée par la table.

Supposez au contraire que l’anomalie u soit donnée, vous trouverez à côté de u, dans la table, le tems i de la comète

5an ASTRONOMIE.

de 109 jours; vous multiplierez t' par h , et vous aurez le

tems t =t‘ h* de votre comète ; si h est une fraction, la comète ira plus vite, le tems t sera <t'; si tf surpasse l'unité, t sera > t' , parce que la comète ira plus lentement.

Pour se démontrer ces deux procédés , il suffit de se rappeler l’équation générale

7 = A = -V^(tangiu+ itang^u) = CCtangiu-^tang^u);

la table, avec l'anomalie u, donne t', tefhs de la comète

de 109 = -y ; multipliez tout par h%, vous aurez

—7= (tang ïB+ j tang3 ju);

■tcy a

ih*—u

avez-vous le tems t? divisez tout par h%, vous aurez t A

t' — (tang i « + i tang5 ; u).

h* *Va

12. Les équations (10) sont exactes, sans être trop incommodes; mais pour une table un peu étendue, on calcule ces termes de distance en distance , comme de ao en ao jours , plus on moins, et l’on interpole les autres, en differentiant l’équation t? = C (tang j u -f- j tang1 ; u) , qui donne

dL’=z Ct^ * U 4- îCtan6*iurfvu C^uO + tang»» __ Cdju __ cos'ju ' cos*5 u cos*Ju cos'iu ’

d'où

, , dt' cos< j b

diu = ? ,

du —

dt' cos* {u A,cos1jixcos11 -f- du)

jC 41. 105775 sim"

Soit w= o, pour avoir le premier terme de la table i

du —

dtf cos* {du

supposez d’abord cos*idu=i, vous dt'

4i*ic5775 sin 1

aurez la valeur très-approchée du = - = — =— : — avec

rr 41 -1 05773 sm 1

laquelle vous cherchez cos* j du, pour recommencer le calcul. C’est ainsi que j’ai calculé la table générale avec plus d’étendue et de précision.

La table vous offrira rarement la quantité que vous cherchez; mais vous la déterminerez aisément par des parties proportionnelles.

Quand yous aurez u vous calculerez aisément — rr— .

x cos *ju

On a donné diverses formes à la table générale des comètes. J’ai choisi celle qui m’a paru d'un usage plus commode et plus général ; elle est aussi la plus facile à calculer avec précision.

1 3. Quand on connaît les élémens d’une comète, avec sa distance périhélie et le tems du passage , on peut calculer en tout tems son anomalie ; à cette anomalie ajoutez le passage au périhélie, vous aurez la longitude = n-f-u; si l’anomalie est négative, on a la longitude L=n — u; les signes changent si la comète est rétrograde , et l’on a après le périhélie L = n— u, et avant L = n + u, c’est la longitude dans l’orbite; vous en retranchez le lieu du nœud; le reste L — Q est l’argument de latitude ; soit I l’inclinaison , tang (L — Q) cos 1 = tang dist. au nœud sur réclipt.=(L'-—Q), ajoutez-y le nœud , vous aurez (L' — £}) + Q = L' ; la longitude sur l’écliptique ;

sin I sin (L — Q) = tang latit. héliocentriqne , tangl sin (L' — Q) r= tanglatit. héliocentrique ;

il reste à trouver v :

et v cos A =

h cos A

= dis-

tance accourcie; avec cette longitude, cette latitude et cette distance accourcie, vous calculerez le lieu géocentrique tout comme celui d’une planète (XYI. a5).

5a 4 ASTRONOMIE.

1 4. Mais pour déterminer les élémens d’une comète qu’on vient de découvrir , les moyens exposés , quoique suffisans , ne sont pas assez commodes.

Soient T et T' les tems de deux observations, C=27',4o385f vous aurez

T = A* C (tang3 ju-f- 3tang 5 u)

T'= h^C (tang1 ± u'+ 3tang ± u')

T'— T = A* C [tang3 i u'— tang3 i u .

. -f- 3(tangju' — tang Ju)]

h*Csinl(u' — u) / 1 I cos (u — u)\

cos’iu'cos’ïU \cos’i u.' cos’^u. ' cos { u'cos j uj ’

cos et cos*3u' = (^)»

substituez, et vous aurez

,jv y* v'»Csinî(t/ — u) v,% u*Csin ~ (u' — u)

yy'Csinîfu' — u)cos~(u' — u)

relation qui donnera A*, si l’on a deux rayons vecteurs avec l’angle compris. Vous aurez

» r.lnifii' 13 13

A* =--^T U) [ v'V + y* v'* + yy'cos| (u'- u)]

= [v+/+(vOïC0s i(u'~n)]

aC (v/) sin i (u' — u)

en mettant, par approximation, 3(v/).* pour la parenthèse, Les équations

LEÇON XXL

A . 3Cvi/sin A (u'u— u) ■ t / , \ h J(T' — T)

* - et 3Cvv-

quoique simplement approximatives et ne pouvant s'étendre qu’à de petits intervalles, nous seront utiles dans les premières recherches.

l5. v':t/::COS*Au:COS‘Au'> ou V^Iv'XCOsAtilCOSA u'.

Soit L la première longitude , L' la seconde , n celle du périhélie , u = (L — n),u'= (L' — n) j

v'» : u» :: cos a (l — n) : cos a (L'— n) ,

/oy.. • cos I (L> — n) cos a ( L — n -J- JL )

W/ ** 1 ' cosA(L — n) cos a (L — n) *

(v Y cos a (L — n) cosJL — sin a (L — n) sin JL

v ) cosA(L — n)

= cos a JL — sin a JL tang i (L — n) ,

tang a (L — n) = cot a JL — coséc a JL.

Je préfère la formule suivante, qui est de Nicolic.

V “ + V* • ** :: COSAu]+ COS Au' : COS Au — COS Au'

; ; acos A (u'-{- u) COS A (u' — u)

: asin A (u'-f-u) sin A (u' — u)

: : i : tang ^ (u'-f-u) tang A (u' u) ,

tang A (u'+u) = { ^r> cot A («'-

= C0t(45°-f- Z) cot A (u' — u) }

5aS

on fera donc tang z= et l’on aura (u'+ u) , i (u'+ u) ,

u' et u\ d’où l’on conclura n = L — u—U—u', et enfin h — v cos* ïU= / cos* { u'.

Le problème se réduit donc à déterminer deux longitudes et deux rayons vecteurs , ce qui ne peut se faire que par des essais.

,S‘ Lïyl; donc **=vvW*BC0»‘iB'.

h == (vv')* cos i u cos ’ u', h-=. ï (i'Oî[c<fcI-(u'-f-u) -+- cos j (11 — u)]

substituez pour tang t (u'4-a) sa valeur ci-dessus ; développez et réduisez, vous arriverez au théorème suivant , auquel Lambert est parvenu par des voies très-différentes et qui ne suppose que deux rayons vecteurs avec l’angle compris.

vv'sin* ~ ( u ' — u)

V+v'— 2(vv')*COS3(u'— U)

(yi/)*sin I; (u' — u)

[v-f- v' — a (vv') *cosj(u' — u)3*

17. Portez cette valeur de h* dans l’expression de (T' — T) 04), vous aurez, par des réductions faciles, cet autre théorème de Lambert :

T'— T=C[y+v'-f- (v'v) ’cos± («'— *)]

[>•+■/ — n(v/)* cos j-(u' — u)]’, d’où je tire successivement

T— T=C(HV)”(i + 0?l/)'c^sy— »)^ x

(, a(vK')1 cos \ (a.'— U)\*

3/ (7) co«ï («*'— «)\

(a (7) co»^(ur— a)V

=C(v+oVi -f î!^i££ii •

, N i+uog'* ) x’

(t atangz cos;(u' — uy i-+-tangaz /

— C(v-f-i/')* [1 -f- sin z cos z cos { (u' — u)] x . . .

C1 — asinzcosz cos j (u' — u)3»

=Æ(v-fV)*(i +isinx)(i — sinx)“ quant, touj. positive. =C(HV)«(1-f-sinix cos Ax)[asin1i(45l>— |x)3‘

— C(‘/+‘,0 2( 1 +sin i x cos i x)(a)* sin (45*— i x) =C(v'-f-v/) * (cos3 i x — s in3 f x)

— C.va^i + ~.j (cos3 j x — sin3 5 x)

cJ ,

5 (cos3 ; x — sin3 ;x)

(sinsz)*

~ VsïïTz) ^C0*3 * * ~ 8in3 i x) quantité positive

=C[(v-f-/) * cos3 il- O-f'v) » sin3 i x]

=C{X(v4-v') cos* ii]’- [(v+O sin5 }

c (i+co»j)y — co«»j)y “J

Ct'+O+Çy+'Qcosxy ^(v-t-O — (^4-t-/)co«j^a ~j

k est la corde parabolique qui joint les deux rayons vecteurs v et y ; en effet, dans cette supposition.

k%=v*-\-v'1 — 2(vv')cos(u' — u)=(v-j-v')5— 4w'cos*;(u' — u).

4t,v'cOSï I ( U — < li)\ *,

= (v -f- v*) (t — sinax)a = (v -f- v') cosx j

c’est le célèbre théorème de Lambert. Euler l’avait trouvé le premier , mais en avait fait peu d’usage et il était oublié ; il me paraît peu commode.

18. Soit <w = go0— x et ;® = 4S°— substituez et vous trouverez

cos3 |x — sin3 \x = 3sin45°sin i»cos* 5 fc(i -f- tang5 |») = 3sin45°sin ; « cos1 ~ a -f- sin45°sin3 i a ,

T'— -T = 3C (— — ^ sin45°(sin ; «scos*;»-}-^ sin3 ; a). \sin z/

M. Burckhardt a donné sans démonstration , dans les Mémoires de l’Institut , une formule analogue ,

T' — T =c(~ — ^ .asin45°(3sin Jo> — sin3;*). \sm z/

v + t/ -f-ft y v+v' — k , j 19. boit z = j Ç= — , A le grand axe

LEÇON XXI. 5ag

de l'ellipse = ac. Lambert démontre la formule suivante , dans ses Propriétés des orbites cométaires, page 201 ,

s \/a . mT Ç zdz . a y/ a . mT f Çil'C,

Vt J y'Az— ss * ]/A J y/Aç— çç’

développez le radical et intégrez , vous aurez

r=^bO*i+J-iï+{î?é+e,c);

T'=i7î(lî+ SS*‘ + + '")■

=,sPî(',+^* +5à--«,+4SPï’ +e,c

le facteur de Lambert est notre factenr C=a7?,4o385 ;

on aura donc

, T'-T=c A+jfe. («{- A

+ 48Â? («““O + T^8T4 (»*-?*)+ etc.);

{quation curieuse , mais peu commode pour le^ calcul.

Au lieu de (z* — 1,%) mettons f — — J («>»•£;»— ein*î;x) j l'équation devient

T'— T = C [(^)W ; x — «in3 s x)

+ iIâ (-^)Wix-,in»ix) + etc.]

53o ASTRONOMIE.

série encore fort incommode ; mettez en « les valeurs dtt

(cosn±x — sin"îX), vous aurez

T'— T = 58',t3a33 J a (1 — f sin*i

■+7±?^^Lysin >(I f sinH .)

*+• y sin>(i + asin* J- * — 4sin< { a>-f- * sin* i »)

, , o,,a8385/ v* \ï . , . ,fi . . » . .

H — H — (lir-;) sinM» 4-rs,n ï-— 6sin4ï«— 4sm6i»*

cl \sin ït/

-f- sin* i a) -J- etc.

a est le demi-grand axe , qui surpasse toujours de beaucoup l'unité ; la série est donc ordinairement très-convergente , et pour la parabole , elle se réduit au terme indépendant de a.

20. Quand on aura , par des essais à l’aide de ces formules , satisfait à l’intervalle T' — T , on cherchera les éléroens paraboliques par les formules (i5) ; mais une parabol» qui satisfait à deux observations n’est pas encore la véritable orbite, si ce n’est par un grand hasard; on essaiera donc cette orbite sur une troisième observation, et si elle n’y satisfait pas, on tentera d’autres suppositions.

ai. Lambert a tiré quelques conséquences remarquables de son théorème, qui ne suppose que les deux rayons vec* teurs et l’angle compris. Supposons u' — u — o , alors

1i~vr — v et T' — T = C (i/* — v“); la comète, dans cette hypothèse, parcourrait l’axe de la parabole; T' — T sera le tems qu’elle mettra à parcourir (v' — v) ; supposez v=o,

T' — T — Cv'a sera le tems que mettrait la comète à tomber de v' sur le soleil , ou en général le tems qu'emploierait à tomber sur le soleil , un corps quelconque placé à la distance v'. Donnons à v les valeurs des demi- grands axes

LEÇON XXI. 53i

de toutes les ellipses planétaires; nous aurons les valeurs ci-jointes, pour la chute parabolique des planètes sur le

soleil.

Planètes.

Chute parabolique

6/ 6oo

ib’,858

8cG,S4o

Cette chute étant plus rapide qu’aucun mouvement circulaire, parabolique, elliptique ou hyperbolique, Lambert en conclut que jamais aucune comète ne peut , dans les tems donnés par cette table , faire un chemin égal à v'.

Doublez les nombres de cette 'table , une comète ne peut traverser centralement l’orbite de Mercure en i3i,2, celle de Vénus en 35', 7, celle de la terre eu 54', 8, et ainsi des autres.

aa. Par cinq points donnés on ne peut imaginer qu’une seule parabole ou une seule ellipse; l’un de ces points est toujours le centre du soleil, il faudrait donc quatre points ou quatre observations; mais trois rayons vecteurs et les deux angles compris déterminent un point qui est le périhélie, il sullira donc de trois observations. Deux latitudes et deux longitudes déterminent le nœud et l’inclinaison; une courbe qui satisferait aux trois longitudes et à deux des latitudes ne satisfera pas également à la troisième latitude , il fau-

53b ASTRONOMIE,

drait pour cela que les observations fussent rigoureusement exactes. Toute l’erreur portera sur cette troisième latitude, et l’orbite ne sera qu'une approximation.

a3. Tous les géomètres et tous les astronomes Tes plus céltbies se sont exercés sur le problème difficile de la détermination des orbites cométaires; ils ont donné diverse* méthodes qui toutes ont leur mérite particulier ; dans l’impossibilité de leis exposer dans un simple Abrégé , noua allons en donner une toute différente , laquelle n’emploie que des moyens très-élémentaires, et nous l’appliquerons à l’orbite de la comète la plus célèbre et ta mieux connue.

a4- Une comète a été observée dans un cercle de latitude qui faisait avec le cercle de latitude qui passe par le soleil, un angle T = élongation (Bg. i38).

Abaissez du soleil la perpendiculaire SP sur la distance accourcie TC de la comète. Nous connaissons ST =V et l’angle T, SP = V sin T , TP— VcosT, TSP = go* — T; l’observation n’en donne pas davantage. Soit SC = vcosa la distance accourcie de la comète au soleil ; tout ce que nous pouvons conclure , c’est que SC > SP; c’est l’une des limites des valeurs pos-ibles de SC, et ce serait un hasard bien singulier si SG=SP; mais cela n’est pas impossible. Dans ce cas, V sin T = v cos a j mais par la formule générale on aurait TPtangg-=(v cos A)tang a, VcosTtangg=VsinT tangA, VcosTtange-

et tang a = — Y sin ~ tanS ë cot T ; on connaîtrait

-, v cos A VsinT , , , ,

donc v = = : la longit. heliocent. de la cocos A cos a ' °

tnète = longit. géocent. ± go°

= lougit. helioc. J Zf (ç)0° — T)=0 + i8o#qrgo0±T.

a5. Dans tous les cas, nr=PSC, PC=SPtangr=YsinTtang*j TC = TP + PC = Vco* T 4. Ysin T tang x

VcosTcosx-f- VsinTsin.r Ycos(T— x)

cos j; cosx

coax cotx

tangA=— tangg =

Vcos (T — x) cos x tan g g cosx. Vsin T

tang£cos(T — x)

nHT

— SC __ YsinT