f-C0sA*=2COS>; A
38iD(^±g)sin(c:+ac,+c-c)
sinC sinC' *
formule qui prouve que la demi-somme des trois côtés est toujours plus grande qu’un des trois côtés quelconque.
De ces deux formules on tire
tang^A' —
. /£ sin( -
sin
An lieu de diviser sin*à A* par cos* g A", faites le produit des deux formules et vous aurez
\ Ls,nv — ^ — M — r
sinA" = ' -i r . w — — .
sinC sin C
La première de ces quatre formules est la plus usitée ,
LfcÇON IV. 99
les deux autres le sont moins, la dernière n'est que curieuse. Il y a d’autres méthodes encore, mais on n’en fait presqu’aucun usage.
44- Second cas. Si l’on connaît les trois angles, on aura par les mêmes moyens, des formules analogues; mais ce cas ne se rencontre jamais dans la pratique. Voici les formules :
cos C’=
cos A"*+- cos A' cos A sin A' sin A
cos
lin*; C"=
(èj±£+é) -A-)
sin A sin A' ’
^:+A'+A A)cof(A"+A:±A a')
CO
sin A sin A' *
cos(A'+A,+A~A'>)
jcos^'+A A/
Il suit de ces formules , 16. que la somme des trois angles surpasse toujours 180°; que la différence de la demi-somme à l’un quelconque des trois angles ne peut aller jusqu'à go°; car dans la valeur de sin*;C", le numérateur est nécessairement positif ; il faut donc que l’un des deux cosinus soit négatif, et ce ne peut être que celui de la demi-somme.
45. Troisième cas. Si l’on connaît deux côtés avec l’angle compris, la formule pour le troisième côté sera
cos C" = cos A" sin C sin C -f- cos C cosC'; on la transforme de la manière suivante , qu’il est utile de
ISO ASTRONOMIE.
connaître , parce que les applications en sont Fréquentes.
cos C"=:cosC(cos A" tangC sin C'-f- cos C')
== cosC (tang x sin C'-f- cos C')
'sin C/sin r -f- cos O' cosx\ cos Ceo» (C' — x)
cosx J cosx
= cosC^-
II suffit donc de chercher un arc auxiliaire x par la formule tangx=cos A^tangC; il est aisé de voir que l’arc x est la base du triangle rectangle dont C est l’hypoténuse et A* l’angle à la base (ao) (fig. 38).
De l'extrémité du côté connu , que je suppose le plus petit des deux côtés donnés, abaissez une perpendiculaire p sur le côté Cf, vous aurez tangC cos A"=tangMN = taogx; donc (Gg. 38)NQ = C' — x, et vous aurez
cos
cos C cos NQ cos C cos(C' — x)
C ~~ cos MN “ 1 •
cosx
La perpendiculaire partagera le grand côté en deux segmens x et (C' — x) , et le triangle entier en deux triangle» rectangles; vous aurez cos C = cosp cosx et cos C" =
cospcos(C' — x); vous en conclurez cosp=^lÇ— — — . r v J cosx cos(( — x)
cos C cos(C' — x)
cosC = -.
cosx
i(G. Le procédé se réduit donc aux deux formules....
. „ „ cosCcos(C' — x)
tangx = co»A tangL, et cosC = csx
Pour avoir le second angle à la base, ou A, vos triangles partiels donnent
tangp = tang A' sin MN = tang A sin QN ,
ou
». . . tangA"8Înx
tangA smx=tang Asm (C — x) et taDg A — 8;n^ç' »
vous aurez pour le troisième angle A' ,
sin A"*in C! sin A fin C7
sin A' =:
sm C
LEÇON IV. loi
Il n’y a nul doute sur l’espèce de C" ni de A , en suivant la règle des signes •, pour l’espèce de A' , le doute n’est qu’apparent, car si le côté C' est le plus grand des trois cotés, l’angle A sera le plus grand des trois angles. Si le côté C', qui est plus grand que C, est plus petit que C", l’angle A' est plus petit que A" et plus grand que A, ainsi que nous le démontrerons bientôt.
En effet, dans tout triangle, le plus grand côté est opposé au plus grand angle, le plus petit au plus petit, et le côté moyen à l’angle moyen. Vous pourriez au reste faire,... cotMA'N = cosC tang A", et cotQA'N := cos C" tang A, et A' = MA'N -J- QA'N , et il ne resterait aucun doute.
47- En abaissant la perpendiculaire du petit côté C sur le plus grand C' des côtés connus , la perpendiculaire tombera toujours dans le triangle, les angles A" et A seront toujours de même espèce.
Si l’on manquait à cette attention , il se pourrait que le segment x de la base fut plus grand que la base meme , il n’en
résulterait aucun changement pour co«C"=— — ;
cosx
serait
mais dans la formule tang A = ^7 , (C' — x)
sin (C7 — x)
une quantité négative , et tang A serait négative ; si A" était un angle aigu, A et A" seraient d’espèce differente , le signe — ■ avertirait que l’angle aigu est extérieur au triangle; que l’angle qu’on demande est obtus ; que la perpendiculaire tombe dehors, et que les deux angles à la base sont d’espèce differente.
48. Quatrième cas. Deux angles et le côté compris étant donnés, on demande le reste. D’abord pour le troisième angle ,
cos A'— cos C" sin A sin A' — cosA cos A'
=cos A( cos C' tang A sin A' — cosA' )
=cos A (cot ysin A' — cos A')
__cos ^ (sinA'cosy — cosA" siny) __ cos A sin ( A'— y) siu^ tin^f
quand on a fait cot ^ = cos C" tang A.
ica
On voit que l’angle auxiliaire est l’angle au sommet d’un triangle rectangle dontC")c6téconnu, est l’hypoténuse, et A l’un des angles connus , est l’angle à la base ; ainsi du plus grand angle A' abaissez sur le côté opposé la perpendiculaire A'N , vous aurez
cot yr=tang AcosC"=cot NA'Q; MA'N=(A'— y)
elcoiA- = CO,Al‘in (V~V).
sin^
vous aurez ensuite
tangp=tangC"cosy>=tangCcos(A'— y) et tangC — ,
vous aurez ainsi l’un des côté» inconnus ; pour le troisième côté , yous aurez
sm
ç, sin A' sin C sin A' sin C
sin A
vous lèverez le doute comme dans le cas précédent , ou bien vous ferez
tang NQ= tang C" cos A; tang MN = tang C cos A" et C' = MN + NQ si la perpendiculaire tombe dans le triangle , c'est-à-dire , si (A' — y) est positif, si A" et A sont de même espèce. Dans le cas contraire, vous ferez C'=MN — NQ ou NQ — MN. Ce quatrième cas a beaucoup d’analogie avec le précédent. 49. Cinquième cas. Étant donnés deux côtés et un angle opposé, trouver le reste, et d’abord l’angle compris A'; dans ce cas A' est l’inconnue dans la formule cot C"sinC =
cot A‘sinA'-f-cosCcosA'. Pour éliminer cosA'=(i — sin1 A')’ , il faudrait faire monter l’équation au second degré, et l'inconnue aurait deux valeurs. Pour plus de simplicité , j’écris
cot G” sin C cot A"
cusC
cos C
sin A' -1- cos A',
ou
„„ . . . , , « , *‘ri A'sin y-f cos A' cos y
cotC* tang C=tangy sin A -f-cosA =
cot C"tang Ccosy =cos (A' — ■y') our^cos (y — A') , car on ne
io3
=tang^ ou cos C tang A*
LEÇON IY
«ait lequel des deux, je ferai donc
= cot y et cos (A"— y) = tang C cot C" cos y, puis (A' — y ) -f y = A', ou y — (y — A') = A', ce qui fera deux valeurs différentes.
L’équation cot y-= cos C tang A" me dit que^ est l’angle au sommet d’un triangle rectangle dont C est l’hypoténuse et A" l’angle à la base; ainsi de l’angle cherché A' , abaisiez une perpendiculaire sur le coté opposé , vous aurez cos MA'N =cot y = cos C tang A”, puis tang p = cos MA'N tang C= cos QA'N tang C et cot QA'N = cos (A' — y) = cosy tang Ccot C'.
Le triangle NA'Q donne ensuite cot A=tang (A'— -y)cos C* qui aura deux valeurs differentes; puis les deux triangles rectangles donnent
tangMN=tangCcosA"; tangNQ=ctangC"cosA; C'=MN-}-NQ,
ou bien , sin C" : sin A" : : sin C' l sin A';
. sin C" sin A' sin C sin A'
sin C = : — — = : — : .
sin A sin A
Chacune des deux inconnues est susceptible de deux valeurs, suivant qu’on fera A’— (A' — -y)-f-y ou A'— y — (y — A') et souvent les deux solutions seront également admissibles; mais il faudra rejeter celle qui opposerait un angle plus grand à un côté plus petit , et celle qui donnerait un angle ou uu côté négatif ou plus grand que i8o°.
5o. Sixième et dernier cas. Etant donnés deux angles A" et A , et un côté opposé C", trouver le reste ; ce cas présentera la même ambiguité et les mêmes moyens pour se décider quand cela est possible.
On trouvera d’abord le second côté opposé par la règle des quatre sinus. Pour le troisième angle
cos A"=cos C* sin A sin A' — cos A cos A'
cos «
—~—ç-=z cos C"tangAsinA' — cosA'=cot^ sin A' — cos A'"
cos y sin A' — cos A' sin y sin (A' — y) sir.ji sin .y *
.... . . ... , cosA',ïiny
Ainsi on fera cot y =cos C tang A etsin (A — ^y) ==~c»g A — *
y est donc l’angle au sommet d’un triangle sphérique dont C" est l’hypoténuse et A l’angle à la base, abaissez la perpendiculaire de l’angle cherché sur le côté opposé.
Alors tang C =
tang A'N
tangC"cosy ’ cos (A' — y)
co«(A' — y)
r= tang a® côté que l’on peut avoir aussi par lesqnatre sinus.
Enfin , tang MN —tang C cos A'; tang QN=tang C"cos A et C*
.... . • w sin A'sin C sin A' sm O*
MN-f-NQ ou sin C =•
sin A
5i. On peut réduire en formules générales toutes ces solutions astronomiques pour s’épargner l’embarras des figures. Soient donc A, A', A" les trois anglesd’un triangle, C, Cf , C les côtés opposés, S et S' les deux segmens de la base C", V et V' le* •egmens de l’angle sertirai A", on aura les formules suivantes.
Premier cas. Trois côtés connus C, C', C*.
(i) tang j (S-S') = tang i (C'-C) tang i (C'+ C)cotiC",
(a) 6 = i C"-+- i (SS') , S'=i C"-i (SS) ,
(3) coaA = tang b cotC', (4) cos A'=tangS'cotC,
... . sinC"siriA 8inC"sinA,
(5) sm A = — — ,
sin C sin Cf
Second, cas. Trois angles connus A, A', A*.
(6) tangi(V— V') — fangi(A'— A)tangi(A,+A)tangi-A',
(7) V=i A“+i(V-V'), V'=iA"-i(V-V),
(8) cos C = cot A cot V, (q) cosC=cot A'cot Y',
sin AVm C sinA"sinC/
(io) sin C":
sin À
sin A'
Nous démontrerons (54) les formules (î) et (S).
‘ Troisième cas. C', A , C". Quatrième cas. A , C', A*.
00 tang£>r=
cos A tang C',
cot V = tangAcnsC',
(i3) cosC =
COsC'cnsS'
oo
. . cosAsinV'
cos S ‘
cos A = ^nV" »
, tangAsinS , . . n tangC'cosV
(»4) tang A = -4--ÿ— , (19) tangC=— — ttt— ,
(i5) sinA" =
sinS' sin C'sin A
sin C ’ sin C"sin A'
(20) «in C"=
ensV' sin A* sinC
sinC'
sin A
sinA^sin C* sin A'
5a. Dans ces quatre premier* cas, tout est déterminé sans la moindre ambiguité ; les deux cas suivans sont douteux/, il* admettent, la moitié du tems, deux solutions. On y suppose connus deux côtés et l’un des angles opposés , ou deux angles et l’un des côtés opposés. Comme les solutions sont doubles, il y a aussi deux manières de les calculer ; on peut commencer indifféremment par l’équation (n) ou par l’équation (16), qui n’emploient toutes deux qu’un angle avec le côté adjacent à cet angle.
Cinquième cas. Deux côtés C, C' et un angle opposé A.
Première solution.
Tang S = cesAtangC' (t 1) ,
c, cosCcosS ,
C0S S = ~ côsC7- (,3)*
tangAsinS , ..
tang A = f ■■ 04),
sin A' :
sin S' sin C" sin A sin C
sin C"sin A' sin C
Deuxième solution.
Cot V= tang A cosC' (16),
cos V'=cosVtang^otC (19),
cosA'
sinC'
A" = V ±: V', cos A sin V'
sin V
sin A"sin C sin A
sin A"sin C'
On ne sait si la perpendiculaire tombe en dedans ou en dehors, s’il faut prendre la somme ou la différence des seg- ' mens; mais cette somme doit être positive et moindre que de 180°, ce qui lève le doute dans la moitié de* cas.
Sixième cas. Deux angles A et A' avec le côté C'.
ioS
Première solution.
Tang S = cos A tang C' (u),
sinS' = sinStangAcotA' (i 4),
cos C sin A*
cos C' cos S'
cos S
sin C" sin A sin C
sin C" sin A'
: sinC' *
Deuxième solution.
Cot V=tangAcosC/ (iG),'
. cos A'sin Y Q
sin\ = — (10),
cos A
tangC'cosV
cos V'
sin A" sin C,
tangC
sin C" —
sin A
sin A"sin O' sin A
Ici on sait si la perpendiculaire tombe en dedans ou en dehors, puisque les deux angles sont connus (Sq); mais l’un de? segmens se trouve par son sinus; il a donc deux valeurs.
53. On observera partout la règle des signes , on sera dispensé de toute autre attention; si S)>C", S' sera négatif et extérieur au triangle ; si Y>A", V' sera négatif et extérieur au triangle.
5»f. Yoici la démonstration des formules (1) et (G) , art. 5i.
cos C ! cos C' y. cos S' î cos S ,
cos C-jkcos C' : cos C — cos C' : : cos S'-fcosS cosS' — cos S, a cos i (Îftf-Qcos 1- (C'— C) : a sin i C'— C) sin { (C/+C), ncos (S+S') cos j (S — S') : asin £ (S — S') sin £ (S-f-S') , t : tangi(C'— C)tangi (C'+C) 1 :tangi(S'— S)tangs(S'-l-S),
tang i (S-S') = tang l (€' — C) tang ± (C'+C) cot i C"; car C'=(S'+S),
Les segmens connus, on a cos A — tang S cot C' et cos A' =tangS' cot C par les règles des triangles rectangles.
55. cos A Z cos A' y. sin Y : sin Y', cosA-4-cos A': cos A — cos A' ;; sin Y +sin Y': sinV — sinY', 1 : tang à (A' — A) tang| (A'-f-A) 2 sin ± (V+Y')cosj)(V — Y')
: 2 sin ; (Y— V) cos ; (V+y'),
:: 1 : tang I ( Y-Y') cot ï ( V -f-Y') , tang (V— Y') =tang ‘ (A'— A) tang'i (A'+A) tangi A", car A"=V+Y'j
on aura donc (i5) V et V', d’où, par les règles des triangles rectangles, C' et C (16) et (17). 9
Ces analogies sont de Néper qui les a démontrées par une construction ingénieuse, niais compliquée, dont nous n’avons pas encore exposé les principes -, au lie* que les démonstrations analytiques sont de la plus grande simplicité.
Nous avons de Néper des analogies plus utiles et plus célèbres, qu’on n’a démontrées jusqu’ici qu’analytiquement et d’une manière assez pénible. Au contraire, nous les pourrons déduire d’une construction fort simple.
56. Dans un triangle sphérique quelconque (fig. 3q), mettez B au plus grand des deux angles sur la base, C au plus petit, A au sommet. Menez CD, ensorte que DCB =B , et prolongez BA en D; le triangle BCD sera isoscèle. Menez DM perpendiculaire sur la base BC, cet arc partagera en deux également l’angle du sommet D et la base BC. L’angle ACD=B — C. Divisez cet angle en deux par l’arc CE qui coupera en E la perpendiculaire DM; FCEr=i(B — C) ; MCE=C-f-iB — ïC=j(B-f-C); menez l’arc AE, il partagera en deux également l’angle DAC=i8o° — A, et CAE=j ( 1 8o° — A)=90° — - Ar=DAE; en effet abaissez les trpis perpendiculaires EF, EG , EH , du point E sur les côtés du triangle ACD , vous aurez
sin EF = sin CEsin ECF = sinCEsinj (B — C),
sin EH = sin CE sin ECH = sinCEsini(B — C) ,
sin EH = sin DE sin EDII = sin DE sin EDG=sin GE ,
d’où EH = GE=EF , sin GE
sin GAE =
__ sin EF
sin AE sinAE
: sin FAE ,
donc GAE = FAE =£ DAE=go° — { A.
57. Il résulte d’abord de cette construction , que si dam un triangle quelconque ACD , vous divisez en deux également deux angles D et C par des arcs qui se coupent en un point E , et que de ce point vous meniez un arc EA au sommet du troisième angle , il le divisera en deux également , et réciproquement , que les trois arcs qui divisent en deux égale-
io8 ASTRONOMIE.
nient les trois angles d’un triangle se coupent toujours en urt
même point E.
