f-(jjsmaê-f
o . 00013571 68oa655(A' — A)
+ 1Tsin4*
CH'- H) sina(H' — H)cos* (H'-f-H) (H'— H)“
1S sina(JI'— II)cosafH'+II)
58. Les distances au zénit observées à chaque station nous fournissent les moyens de déterminer les hauteurs de tous les signaux au-dessus de la mer, soit à Dunkerque, soit à Barcelone. Soit C le centre de la terre (fig. 1 54) , A et A' les sommets de deux signaux , ZAA' l’angle entre le zénit de A et le sommet A' = i', VA'A = f l’angle entre le zénit de Af et le sommet A,
Z A X'— 1 8o° — CAA'îZAA'-fV A' A= 36o° — CAA' — C AA= WA— 180“ — CA' AJ 36o° — ( 1 8c3— C) = 1 8o°+C = J + 1 ’ .
Ainsi la somme des distances zénitales réciproques de deux signaux devrait être de )8o° -f- l’angle des deux normales , ou 1800 -J- arc ab de distance des signaux sur le globe.
Pour que cette équation eût lieu , il faudrait que les distances «J3 et iJ fussent prises au sommet même des signaux ; mais le centre du cercle est toujours au-dessous du sommet A d’une quantité que j’ai nommée dH j on a de cette manière une distance zénitale A qui est trop faible , et la véritable dll N sin^
valeur sera f = A
. Cette correction est l’angle
/ sin 1 *
sous lequel JH est vu à la distance D = AA'. Les distances A sont celles qui servent pour réduire à l’horizou l’angle entre les deux sommets observés (33), la distance corrigée J' celle qui doit servir à calculer les différences de niveau et les hauteurs au-dessus de la mer.
5 g. Si la terre est sphérique , deux objets seront de niveau quand ils seront à la surface de la sphère, ou dans une surface sphérique concentrique et parallèle à celle de la mer. Dans ce cas, chacune des deux distances sera go* -f- j C , et la somme i8o“-f- C.
Si la terre est un ellipsoïde , deux signaux seront de niveau à la surface même de l’ellipsoïde, ou à la surface d’un ellipsoïde semblable et concentrique j niais si les latitudes sont différentes , les normales seront inégales , les deux distances $ et y différeront d’une quantité qui ne passerait pas 3 ou 4* dont on ne peut répondre dans ce genre d'obseryation , et
qu’on peut négliger. J’en ai donné la formule , Base du Système métrique, tome III, p. 73g.
On observe que jamais on n’a véritablement ■+• J1' = i8o° C, la somme est toujours trop faible; c’est que la réfraction élève le signal A' en B' d’une quantité ri, et A en B d’une quantité r; ensorte que
d’où
la route de la lumière de A en A' doit être la même que de A en A; c’est une courbe dont A'B et AB' sont les tangentes. Ainsi
r=/ = i(r+r') et r = 90° + i C — 5 (f + «O
et 180°).
C’est ce qui aurait lieu , si les deux observations étaient simultanées , ou si l’état de l’atmospbère ne changeait pas dans l’intervalle des deux observations.
Soit ab la corde qui joint les axes des deux signaux à la surface sphérique ou sphéroïdique des mers, A a et b A' seront les hauteurs des deux signaux au-dessus de la mer.
60. Soit AA" parallèle à la corde ab , A'A" sera la différence de hauteur ou de niveau. Soit A'A" = féN , le triangle AA' A" donne
.... AA" sin A
sin A ; AA sm A : AA = tfN = — : — -r-, —
sin A
K sin (A'AC — A"AC) K sin (180 ” — — r— baC)
sin (J -J- r) sin ( J’ + r)
Ksin(i8o° — J' — r — 90° -HQ sin -j- r)
K sin (qo° — J1' — r -f- î C) K cos (J7 -f- r — à C)
sin(J -f-r) sin (<J -f- r -H C — »Q
— Kcoi(J/-4-r ,0) ^ — AA*)
«n(J+r— iC + iC) C Mais y = 1800 — i- -f- C — 2r et
6ao
K cos (i8o° — <h+C — a r+r — {C)
1 ~ Sin(/+r — iC + iC)
Kcos(i8o°+iC — r — J') KcnsÇJ'-j-r — £C)
“ sinCJ' + r— iC+iC) ~ “ ïbcF+T-iC+iC)
K cos ( r — JC)
sin (^+ r — ~ C) cos 5 C + cos (J'-f- r — 3 C) sin j C
1 + tang 5 C cot (J1 + r — jC)
= (src)C0,(,r+r 5C)
— ' (eo^r'c) tanS 2 c cot* +r — ïC) + etc.
Cette formule suppose la connaissance de é' et de r , mai* n’exige qu’une seule observation de distance au zénit. Si «f -f* r — { C ]> qo°, c/N sera négative, et se retranchera de la hauteur connue A a pour avoir bA! ; si c’est bA! qui est connue , on changera le signe de dN.
6 1 . Nous pouvons éliminer r = go° + 5C — > et
la formule deviendra
sfN = — KsécîCtangïC^ — — Kséc;Çtang£Ctang*i(f>' — <0 ». de ces formules je tire
cos 3 C
sin 1"
/dN \* sin 3 C VÎT/ sin a"
etc.
formule qui donnerait la différence des distances y et ï , si l’on n’en avait qu’une et qu’on voulût connaître l’autre pour réduire à l’horizon un angle observé dans un plan incliné.
6a. Soit A l’horizon de la mer observé de A', et vu en B par l’effet de la réfraction A' AC = 90°; car le rayon A'A est tangent à la surface de la mer; Y A'A = 90° -+■ C »
LEÇON XXIII. Gai
<f— go°-f-C — r=9o°+C — nC=go*(i — n)C ,
dN 3 Kséc; C cot (90°+ C — r + r — J C)
— K sécj tangî C cot*(90°-f- C — r+r — { C) =Kséc5Ccot(go°-f ^C) — RsécjCtangjCcota(g3c,-f-iC,) = — R séc 5 C tang^C — Rséc jC tang - C tang2 ^C.
, R tang C
Mais R = N tang C :
(1 — sin2 i sina R)a
male et R le rayon de l’équateur.
JN __ RtangCtanglCgécjC e{c
(1— sin2êsin*H)2'
— , N étant la noi>-
j R tang2 O
(1 — sin“t sinH)“ (1 — sinagsinaH)a
j R tang2 (J1 — 90°) *
(i — n)*(i — sin2 £ sin2 H)“
<£N sera l'abaissement de la mer au-dessous du niveau de A' et donnera l’élévation de A' au-dessus de la mer.
63. A Montjouy ainsi qu’à Dunkerque , nous connaissions f/N par une mesure effective, nous pourrions en conclure (1 — n)* et n. Autant j’avais de signaux vus l’un de l’autre, autant de fois je pouvais déterminer
Par cette dernière formule j’ai trouvé une seule fois n = — o.oo55, une fois -J-o.oaSi, 0.0288 et 0.0297, très-rarement o.o5 ou 0.0G et dans l’été seulement; rarement de 0.14 à o.i5, eu hiver, par des teins de brume; plus communément de 0.0G à o.ofr, en été ; de 0.08 à o. 10, en hiver j quantité moyenne 0.0787S, ou 0.08 en nombre
r ) id ; 0.0783 par dix-sept observations de l’horizon de la inr, en été ou en automne.
64 ■ La formule dN (6Q, appliquée à toutes nos observations suivant toutes leurs combinaisons binaires possibles , m’a donné les hauteurs de tous nos signaux au-dessus de la mer j ainsi pour le sommet du clocher de Rodez, j’ai trouvé
Hauteur au-dessus de la Méditerranée à Barcelone, 56oT65. au-dessusde l’Océan, basse mer à Dunkerque, 3£i,67.
Différence entre la Méditerranée et la basse mer
de l’Océan \ ,02.
entre la Méditerranée et l’Océan, mer
moyenne, o , o5
Le sommet du clocher est élevé sur le sol , de. . . 45,5.
Hauteur du sol, à Rodez . 517,0.
A Amiens, le pavé de la cathédrale n’est qu’à
A Paris , la plate-forme de l’Observatoire est à
Le milieu de la base de Melun
A Chapelle-Reine, après Fontainebleau
A Orléans, pavé de la cathédrale
A Bourges
A Evaux , le pavé de l'église
A Herment , idem
Puy-de-Dôme
Cantal
Mont-d’Or
Puy-Violan
Puy-Mary
Chapelle Saiut-Jean , près Rieupeyroux
Ca&telnaudari
Carcassonne, pavé de la cathédrale
Perpignan
Base de Perpignan , hauteur moyenne
ai * .
Sjl.
Ainsi le sol de la méridijpne s’élève , de Dunkerque jusqu’en Auvergne, de 4°°T» et s’abaisse jusqu’à Perpignan.
65. Pour déterminer les différences de niveau par une seule observation de distance au zénit, je tire des loi mule» précédentes, en supposant n = 0.08 ,
<£N = K cot«f
oT,oooco.oi28 R® sin® f
K est la distance rectiligne entre les deux signaux.
Astronomie nautique.
1. A. la mer, l’agitation continuelle du vaisseau ne permet l’usage ni du lil à plomb, ni du niveau, ni des horloges à pendule ; il a fallu inventer des instrumens nouveaux. Les pendules sont remplacées par les montres marines ou gardetems, qui ont été portés de nos jours à un degré étonnant de perfection. On les règle avant de les embarquer, on connaît leur accélération diurne sur le mouvement moyen, on peut donc en tout tems connaître en mer l’heure qu’il est à Paris; on observe l’heure du vaisseau et l’on a la solution la plus simple du problème des longitudes; on n’aurait meme rien autre chose à desirer à cet égard , si l’on pouvait être sûr que l’accélération , une fois déterminée, demeurât toujours la même ; mais à chaque fois qu’on relâche dans un endroit dont la longitude est connue , on obtient la correction de la montre , et l’on a une nouvelle détermination de l’accélération diurne ; on s’en sert dans la suite du voyage , jusqu'à ce qu’on aborde de nouveau à une ville connue.
2. Pour remplacer les cercles ou Quarts de cercle astronomiques, Newton donna l’idée des instrumens de réflexion; JHadley les exécuta le premier , Mayer et Borda les perfectionnèrent. En voici l'idée fondamentale. Soit CAB un secteur
de 4ü° au moins (fig. i55). Sur le rayon CA, perpendiculairement au plan du secteur, est un miroir de verre dont la moitié inferieure seulement est étamée.la moitié supérieure est transparente ; en O est une lunette par laquelle l’observateur vise a l'horizon II de la mer qu’il voit par la partie non étamée; en MC est un autre miroir parallèle au premier, qui reçoit aus‘i par le rayon IC l’image de l’horizon , qu’il réfléchit de C en R ; la , par une autre réflexion , elle est renvoyée suivant RO, et forme dans la lunette une seconde image qui se réunit à la première. Soit CL perpendiculaire au grand miroir M", pour qtie IC soit réfléchi suivant CR , il suffit que l’on ait ICL ~ [.CR — l ICR ; le parallélisme des deux miroirs donnera RC1 = CR0; CR sera réfléchi suivant RO parallèle à IC, , le rayon direct II R et le rayon IC réfléchi se confondront en RO. Le grand miroir M est porté par une alidade CD, et tourne avec elle au centre de l’instrument. Si vous donnez un mouvement I)C à cette alidade; l’angle d’incidence de IC venant à changer, ce ne sera plus le rayon IC qui sera réfléchi suivant CR , mais un autre rayon comme SC, qui fera sur IC un angle ICS = h ; dans ce mouvement, la perpendiculaire CL sera devenue CL', ensorte que LCL'= DE ; on aura toujours SCL'=L'CR, par le principe général de l’angle de réflexion égal à l’angle d’incidence; SCL' = L'CR donne
SCI + ICL'= h -f ICL'=: L'CR = L'CL + LCR ,
d’où
h — L'CL + LCR — ICL'— DE +LCI — ICL'
=DE+LCI— (ICL— L'CL)=DE-fLCI— LCI-f L'CL=aDE;
ainsi la hauteur h du point réfléchi sera le double de DE; pour connaître la hauteur , il suffira de doubler l’arc DE marqué par l’alidade; ou, ce qui est plus rimple, on divisera l’arc DA en demi-degrés qui vaudront des degrés. Un arc de 45° sera divisé en 90 et pourra mesurer des arc* de qo°.
LEÇON XXIV. 6a5
3. Soit ICR=9o°, ICL=4j°=LCR— RCO= ACD=AD. L’instrument sera un octant qui pourra mesurer des anglesde q0°
Soit lCR = 6o°, lCL=LCR=3o", RCO— 9o°— ICL— 60« =AD; vous aurez le sextant qui mesurera des anglesde 120°
Soit ICR = o , LCR = o , RCO =9o° = AD , vous aurez un quart-de-cerdîe qui mesurera des angles de 180°.
Au lieu d un quart-de-cercle , joignez ensemble quatre quartsde-cercle, ou ayez un cercle entier; vous pourrez mesurer des angles de 180°, en prenant pour zéro ou pour origine un point quelconque de la circonférence; après avoir mesuré un arc MN, en mettant M sur zéro , vous pourrez le mesurer de nouveau en partant de N, et vous aurez Pan de double, puis l’angle triple, et vous multiplierez indéfiniment
les mesures. Cette idée de Mayer a été heureusement perfectionnée par Borda.
4. Au lieu de viser à l'horizon I, visez à un astre quel- s conque et amenez un second astre en contact avec le premierl'alidade E vous donnera DE = distance des deux astres.
5. Au lieu de viser à l’horizon I, visez au point opposé I' vous aurez la distance SI' de l’astre à l'horizon 1' — 1800— SL C est par cet artifice que l'on mesure, avec un octant, des angles plus grands que 90°, et avec un sectant , des angles au-dessus de iao°; avec le cercle entier, on n’a pas besoin de cet artifice, ni d’observer, comme on dit, par derrière c’e-t-â-dire en tournant le dos à l'astre. Pour cette observation , on déplace la lunette et l’on a un second petit miroir.
6. Nous avons supposé que , l’alidade étant sur o , les deux images de l’horizon coïncident , c’est-à-dire que les deux miroirs sont exactement parallèles. Si, pour les faire coïncider , il faut donner à l'alidade un petit mouvement Da, comme dune minute; il faudra retrancher cette minute dé la hauteur observée, qui sera aE et non DE; si |e mouvementqui amène la coïncidence est D b sur le prolongement de AD, la hauteur vraie sera b E et non DE, il faudra ajouter bD À la hauteur DE marquée par le limbe.
6a6 ASTRONOMIE.
7. Ceci suppose encore que les rayons HC, IC sont parallèles , c’est-à-dire que le centre C et l’œil sont à la surface de la iner, et que la mer est une surface plane. Tout cela n'est vrai qu’à peu près. L'œil est toujours plus ou moins élevé sur la surface de la mer , et cette surface est courbe ; il en résulte que l’horizon de la mer est toujours à plu» de go° du zénit. Nous avons vu (6a) que
d’où
ï (R 4- </N) tan g* — 90»)
tang’ — 90°) =
arfNO — n)*
1r+3nT=
Soit I = (^ — qo°) == inclinaison de l’horizon de la mer-
rfN\"
et 1= i46",68(dN)*, si vous exprimez dN en toises,
et I = io6",5i(dN)î, si vous exprimez dN en mètres.
Le centre C est toujours un peu plus haut que la lunette; si la lunette était à l’horizon et Cil = 1 pouce , l’inclinaison serait de 17*, 5, qu’il faudrait. retrancher des hauteurs qu’on aurait comptées d’un horizon abaissé de i7",5.
Mais supposez la lunette à a 4 pieds, l’horizon sera abaissé de 4' 67" ,4 au-dessous de la lunette , et de ^ $7",$ au-dessous du miroir, parce qu’un pouce de plus dans l’élévation n’augmente que de o", 5 l’inclinaison de l’horizon , d’où il résulte que pour faire l’épreuve du parallélisme des miroirs, il faut s’élever le plus que l’on pourra , afin de rendre insensible la différence de hauteur des deux miroirs. Cette différence n’est d’aucun effet pour les astres qui sont à une distance infiniment grande en comparaison de CR.
L’inclinaison de l’horizon se retranche des hauteurs ob-cr-
* LEÇON XXIV. 6a/
vées par devant ; elle s’ajoute aux hauteurs observées par derrière.
8. Une attention nécessaire dans toutes ces observations, c'est que le contact des deux images se fasse toujours dans un plan parallèle au plan de l'instrument. Pour faciliter la pratique de cette règle , on place dans la lunette deux fils parallèles an limbe l’un au-dessus de l’autre au-dessous du centre. C’est dans le milieu de l’espace entre ces fils qu’il faut amener les images en contact. Si l'on ne peut y réussir , on estime au moins de combien le contact s’est fait plus près d'un fil que de l’autre ; on en conclut la déviation en minutes, d’après l’intervalle connu.
Pour corriger l’erreur , soit BC le plan de l’instrument et l'arc de distance indiqué par le limbe (fig. 1 56). Cet arc est juste, si le contact s’est fait de B en C ; mais s’il s’est fait en b ou en c, prolongez B b et Ce jusqu’au pôle P du cercle BC ,
et
sin; bc — sin ; BC sin P b = sin ‘ BC cos B b — sin ; BC — asin ; BC sin* ; B b sin i BC — sin jbc = 2sin* £ B b sin - BC
2 sin ; B b sin-; BC
a sin i (BC — bc) =
sin ; (BC + bc)
Soit d la déviation , dX la correction de l'arc observé sut le limbe
dX ~ ~ ~ (1—sin*ïrftano>ïA + !sin*Jdtang*iA
-f- 2sin* { d tang* ; A -
On peut presque toujours faire dX — d sin d tang ; A.
g. Pour observer les hauteurs, il faut donc bien voir l’horizon ; il est souvent embrumé, c’est ce qui a fait imaginer les horizons artiiiciels, qui sont des miroirs plans, soit métalliques , soit de mercure , d’huile ou d'eau. L’embarras était de les maintenir dans une position horizontale ; Serson et Smeaton les placèrent à la surface supérieure d’upe toupie que le mouvement de rotation maintient dans une position
convenable. Ces mêmes horizons peuvent servir à terre où l’on n’a point d’horizon régulier , comme sur mer. Le miroir horizontal envoie dans la lunette une image réfléchie avec laquelle on fait coïncider l’image directe , et l’instrument donne alors la double distance.
io. Les instrumens destinés aux opérations du pilotage sont la boussole , le loch et l’ampoulette. La boussole est une aiguille aimantée suspendue sur un pivot; elle porte un cercle découpé qu’on appelle rose des vents , et qui divise l’horizon en 3a rumbs ou airs de vent. Les quatre pointes principales indiquent le nord, l’est , le sud et l’ouest; l’arc compris est de qo°. Quatre pointes intermédiaires portent les noms composés, nord-est et nord-ouest , sud-est et sud-ouest ; l’arc compris est de 45°. Ces arcs sont divisés en deux arcs de aa° i , par d’autres pointes dont les noms sont des combinaisons ternaires, telles que nord-nord-est , nord-nord-ouest, en répétant l’un des noms des combinaisons binaires; enfin les arcs de aa’ÿ sont divisés en arcs de n°^, par d’autres pointes dont les noms sont des combinaisons quaternaires, telles que nordqunrt-nord-buest , etc.
Tout cela est assez incommode et d’une exactitude assez médiocre , mais oflïe un avantage, c’est que ces divisions se voient facilement, et tant de précision serait impossible dans la pratique : au reste , cette rose porte des pinnules avec lesquelles on vise au soleil levant ou couchant ; on a , par le calcul l'azimut du soleil , par l'alidade l’angle entre le soleil et l’aiguille aimantée. Cet angle est composé de l’azimut et de la déclinaison de l'aiguille, qui par là meme devient connue, et sert à diriger la route du vaisseau.
• 1 1. Quand on connait l’angle de la route avec le méridien, il reste à en mesurer la longueur absolue qui est l'hypoténuse d'un triangle rectangle dont le changement. en latitude et l’arc du parallèle ou le changement en longitude sont les autres côtés.
Pour mesurer la route , on se sert du loch , qui est un triangle isoscèle de bois , qui porte à sa base un poids qui
LEÇON XXIV. Gp.g
fait que tout le système s'enfonce dans l’eau jusqu’au sommet du triangle : à ce sommet est une longue corde. On jette la machine à l’eau , et pour qu’elle reste stationnaire , on dévidé la corde à mesure que le vaisseau s’éloigne. Cette corde est divisée d'espace en espace par des noeuds. On compte le nombre des noeuds qui passent en 3o" ou une demi-minute ; on sait le chemin que fait le vaisseau dans cet intervalle ; on eu conclut le chemin pour une heure ou pour un plus long tems; on réitère l’expérience toutes les fois qu’on a raison de croire que la vitesse du vaisseau peut varier. Le mieux serait d’employer à cette expérience une montre à secondes; on y emploie ordinairement l’ampoulette , composée de deux cônes de verre unis par le sommet. L’ouverture qui communique de l’un à l’autre est telle , que tout le sable qui est dans l’un des cônes emploie 3o* à passer dans l’autre.
12. Cette manière de mesurer le chemin d’un vaisseau et d’en conclure le mouvement en longitude et en latitude , s'appelle estime. On sent combien elle est incertaine , et combien elle a besoin d’être corrigée par des méthodes moins défectueuses; mais elle fournit au moins des données indispensables pour procéder à des calculs moins inexacts.
13. On suppose que le loch reste immobile à la même place ; mais s’il rencontre un courant, il en suit le mouvement , et alors le nombre des nœuds ne donne plus qu’un mouvement relatif.
On suppose que le vaisseau suit toujours un même rumb , mais le courant le dérange à gauche ou à droite , d'une quantité qu’on appelle dérive , et qu’il n’est pas facile d’estimer.
1 4- Tous les jours à midi on prend 'la hauteur du soleil pour en conclure la latitude. On corrige cette hauteur de l’erreur de l’instrument , de l’inclinaison de l’horizon de la mer , de la réfraction , de la parallaxe et du demi-diamètre du soleil ; alors
hauteur de l’équateur = hauteur observée — - déclinaison Q.
On trouve la même chose par les hauteurs méridiennes des
63o ASTRONOMIE,
étoiles ; mais la nuit l'horizon est difficile à bien voir. On peut aussi se servir des hauteurs prises auprès du méridien avant et après le passage , et on les corrige comme on fait à terre quand on observe avec le cercle de Borda.
i5. On prend aussi hors du méridien et vers le premier vertical , des hauteurs du soleil pour avoir l’heure du vaisseau. Le calcul de ces hauteurs suppose que l'on connaisse la latitude et la déclinaison du soleil, qui dépend de l’heure , et par conséquent de la longitude estimée.
i6- L'observation la plus longue à réduire et calculer est celle de la distance de fa lune au soleil ou à une étoile, potfr en conclure la longitude du vaisseau. Nous venons de voir comme on trouve l’heure du vaisseau; on trouve l’heure do Paris par la distance de la lune au soleil ou à une étoile calculée par les tables pour le méridien de Paris; la différence des heures est la différence de longitude, ou la longitude comptée du méridien de Paris. Le mouvement relatif de la lune , par rapport à une étoile peu distante de l'écliptique , est de i3° par jour ; le mouvement relatif de la lune au soleil est de ia°; 3o' de mouvement répondent à 1 heure de tems ; une minute de mouvement répond à a' de terns ou 3c' de l’équateur.
Ainsi , tant qu’on ne commettra dans la distance observée qu’une minute d’erreur, on aura la longitude à un demi-degré près sur l’équateur , ou 28000 toises; l’erreur décroîtra comme le sinus de la distance polaire. Les tables de la lune donnent les distances exactes à j5", ce serait Jeu 7000 toises à ajouter à l’erreur sur l’équateur; mais avec les sextans modernes et avec le cercle de réflexion de Borda, l’erreur ne doit pas être d'une minute à beaucoup près. Ainsi l’on peut le plus souvent compter sur la longitude à j de degré près ; c’en est assez pour se tenir sur ses gardes la nuit , et ne pas donner dans une terre dont on se croit éloigné.
Cette idée d’employer les distances de la lune, ou en général les raouvemens de la lune , est si naturelle , qu’elle a été proposée par Morin , il y a aco ans. Mais il fallait des tables
LEÇON XXIV. 63i
exactes de la lune et des instrumens de réflexion : il n'y a guère plus de cinquante ans que cette méthode a pu etre employée avec quelque succès.
17. Les distances de la lune aux étoiles et au soleil sont altérées par la réfraction et la parallaxe, on ne peut calculer d’avance pour l'usage des marins que les distances vraies ; il faut donc que l’observateur sache dépouiller la distance des effets qui l'ont altérée. Pour cela , il faut, outre la distance apparente des deux astres , avoir leurs distances apparentes au zénit. On peut les observer en même tems que la distance , et alors il faut trois observateurs ; on peut les calculer , et ce moyen est peut-être le meilleur, alors un observateur peut tout faire.
Soit Z le zénit , L le lieu apparent de la lune , S celui du soleil (Gg. 1 57). La lune est abaissée par l’excès de la pamllaxe sur la réfraction , le lieu vrai de la lune sera donc quelque part en V j le soleil est élevé par l'excès de la réfraction sur la parallaxe ; le lieu vrai du soleil sera donc quelque part en O, et la distance vraie ON croisera toujours en un point I la distance apparente SL; ce point sera toujours plus voisin de S que de L.
Soient D , H et H’ la distance et les deux hauteurs apparentes du soleil et de la lune , Z l’angle au zénit ,
„ cosD — sinHsinH'
cos L = .
cos H cos H'
Soient d , h et h' la distance et les hauteurs vraies ,
cos d = sin h sin h' -J- cos h cos h' cos Z
COS A COS h' • TT • TT/X
— sin h sin h H ■„-= r=> ( cos D — sin H sin H ).
cos H cos H '
Tout est connu dans la valeur de cos d , et cette formule suffirait ; on l’a modifiée de bien des manières pour la rendre un peu plus commode pour le commun des calculateurs. En nie bornant à l’emploi des sinus , des cosinus/et des tangentes, je lui ai donné dix-huit formes toutes differentes; on a été bien plus loin, en employant les sinus et cosinus verses. Avec
63a ASTRONOMIE.
Je* sinus de supplément , M. Mendoza a calculé de grande* tables qui redubent l’opération à ses moindres termes. Ces tables forment un grand volume. Nous nous bornerons à présenter ici la formule de Borda, l’une des plus simples et les plus generales qu’on ait trouvées.
1 8. sin H sin H' = cos H cos H' — cos (H -f H') et sin A siu A' — cos A cos A' — cos(/i -J- A') ,
d’où
cos Z
cosD -f- cns(H -f- II'I — cos II ros II' cos 11 ros ü
cos d + co* (A -f A') — cos A cos A' cos A cos A' *
ou
cosD -f- cos (H J H') cnsd -f- cos (A -f- A')
• ensilent H' cos A cos A'
acosi (H H' — D) cos i (H + H' -f D) séc H séc H' î — *n »in* ;«/+ 3C>.‘ i (A -f- A' ) — 1
(cor A cos A' \ /
COe H COr I V ) \
cos A cos A'
— cos ^
D 4- II -f- H'
= — sina i d 4* cos* s (A 4“ A).
Soit S = — “ »
( c°w h ('"h\ cos (S — D) cos S = — sin * £ d-f- cos9 { (// + K) ,
\Ct>S II COî* 117
, , cos S cos (S — D) cos A cos A'
S d = I* + '■ > ûi irar
cos S cos (S — D ) cos A cos A'1
— cos
, ,, / cos S cos (S — D) ms A cos A \
' ‘ 1 \ cos* (A -f- A) cos 11 cos H' /
== cos* (A 4- A') (f — sin5?) ,
et
sin ; d = cos (A 4- A') cos ? ,
après qu’on a fait
sin p :
séc (A 4- A*) ^
cos S cos (S — D) cos A cos A'1 cos H cos H'
L’avantage de cette formule, c’est qu’elle n’ofFre aucune variation de signe, et que le procédé est d’une uniformité constante.
19. Il est presque inutile de s’occuper, dans ces calculs, de la ligure sphéroïdique de la terre. On trouvera cette question discutée dans mon Traité d’Astronomie , tome III. J’y ai prouvé que si, pour changer H' en h', on emploie la parallaxe qui convient à la latitude de robservateur(XXIII. 56) , il suffit toujours d’appliquer à d, trouvé par la formule de Borda, la petite équation
vsinŒ-'sin zsin ( z ' — z) cos h sin d ’
v est l’angle de la verticale , ■*' la parallaxe horizontale de
la lune pour le lieu de l’observation , z l’azimut du soleil ,
z' celui de la lune, h la hauteur du soleil. Au liep de
sin (a' — z)cos h , . • , , ,
: — , , on pourrait mettre fin L ou sm angle a la
sina r
lune; mais cet angle est inconnu.
ao. Si l’on n’a pu faire les observations de hauteur assez près du méridien pour en conclure la latitude, ou si l’on craint de ne pas voir le soleil à midi , on pourra trouver l’heure et la latitude tout à la fois, parla méthode suivante.
Observez deux hauteurs differentes, l’une près du premier vertical, l’autre le plus près qu’il sera possible du méridien. Vous connaîtrez PA, TB, ZA , ZB (Gg. 1 58) , car vous savez toujours assez bien l’heure de Paris, par la longitude estimée, pour calculer les déclinaisons du soleil. Soient T' et T les tems des deux observations , x l’accélération diurne de la montre.
24* + x : 36o° :: (T— T) : apb = çr— T).
Les triangles APB , ZAB , PZB donnent
tangp = cot D' cos 9 ,
tang9 sin 0
,a”SV = ^(ff+ï)’
cm(t±I±!l)si„(:
?in’ ; W = ' '
cot C = cot Y tang (D + p) ,
cos h sin C *
u = V ip W , le signe -)- si hauteur du pôle D ;
tang z ~ cos a cot h , tang P r= —
sin H =
sin h «in ( T) -f- 2)
£În(«-J-z) *
P est l’angle horaire pour l’observation la plus éloignée du méridien, II la hauteur du pôle, h la hauteur et D la déclinaison qui répondent à P.
ai. Cette solution, qui n’est que la solution trigonométrique mise en formules générales, est simple et directe; les marins en font peu d’usage; ils préfèrent la méthode des fausses positions, qui est plus longue de beaucoup , et qu’on trouve exposée dans tous les Traités de navigation. On pourrait obtenir la même chose par deux étoiles connues ( IX. 10).
Douwes a donné une solution qu’il a mise en tables assez commodes, mais quelquefois peu exactes; les marins en font grand cas ; on la trouvera discutée et corrigée , dans mon Traité d’Astronomie , tome III, ainsi que plusieurs autres. La conclusion est que la méthode ci-dessus est toujours la plus sûre et assez souvent la plus courte , et quand les autres méthodes paraissent l’emporter par la facilité , l’avantage est très-médiocre ou nul.
sa. Nous avons supposé le vaisseau immobile dans l’intervalle des observations , ce qui n’arrivera presque jamais ; ainsi avant de commencer le calcul , il faudra corriger la plus
petite hauteur du mouvement du vaisseau. En voici les moyens.
Quand le soleil était en A (fig. 1 5g) , le zénit de l'observateur était en Z; on a observé la hauteur OA=/i=go0 — ZA; quelques heures après, le soleil était monté en B, le zénit
du vaisseau était en Z', et l’on a mesuré la hauteur
// = #qo°— Z'B.
L'intervalle des observations vous donne APB -, vous connaissez PA, PB, vous calculez l’arc AB; tout cela dépend uniquement du mouvement du soleil.
A l’instant de l’observation en A, si le zénit eût été en Z', vous auriez eu Z' A au lieu de ZA, et l’angle horaire Z'P A, au lieu de ZPA ; de Z' abaissez la perpendiculaire Z'a sur Z A ;
Z'A=Aa+tangi4Z,AZsinaZA=ZA— Za+tang* ' Z'AZsinaZ A
=ZA — Z'Zcos Z'ZA + j sin^Z'ZAsinaZA ,
h= go° — Z'A=go° — ZA+RcosQ — ~/j~) s‘n
=90° — go°-f- h -f- R cos Q — £ f- sin/icosA
\ cos h /
= h-\- R cos Q — £ R* sin* Q tang h ,
'S = ZZ' étant la route du vaisseau en secondes de degré, et Z'ZA = Q étant l’angle de la route avec le vertical du soleil à l’instant de l’observation en A. Si l’angle Q était obtus, son cosinus changerait de signe.
Au moyen de cette correction, vous rapportez tout au zénit Z' et vous ramenez la question à ce qu’elle serait si le vaisseau eût été immobile sous le zénit Z'. La latitude se rapportera à ce zénit et les angles horaires seront Z'PA et Z' PB.
23. La route du vaisseau réglée sur la boussole , fait un angle constant avec tous les méridiens qu’elle traverse; il en résulte qu’elle n’est pas un grand cercle, à moins qu’elle ne se confonde avec l’équateur, ni un petit cercle, à moins qu elle ne se confonde avec un parallèle et que l’angle ne soit go®. C’est une courbe qu’on appelle loxodromie , course
oblique. Pour la représenter cependant chaque jour sur la carte par une ligne droite , on a^ imaginé des cartes où tous les méridiens sont des parallèles, qu’une ligne droite traverse toutes sous un même angle. Il en résulte cet inconvénient, que tous les degrés des parallèles deviennent , sur ces cartes, égaux à ceux de l’équateur. Soit G le degré du méridien , G cos H sera le degré sur le parallèle H; les degrés devraient donc diminuer sur la carte , comme les cosinus de latitude. Pour les avoir constans , ou donne aux degrés du méridien la va- G
leur — = G séc II , et aux degrés des parallèles la va-
cos H o i
leur G ; le rapport est le même, mais les degrés des méridiens
sur ces cartes croissent comme les sécantes de latitude ; c’est
ce qu’on appelle latitudes croissantes.
24. Soit dll un petit arc du méridien ; il sera représenté sur la carte par une ligne
d H dsinH / , , dsin H\
= — — — ( car dsinH =dHcosH et — )
cosll cos- 11 \ cosll/
dsin I I
ddn H\
dsin II
1 — sin'll
*^ = iJ|os(l±£V,
1 XX \l XJ
d*ou Arc = i log — ; log Q—
i-f-sinll^
2sin(45°4- ïH)cos(45j— JII) !sin(45° — iH)cosf45°+ ïG)
=ilog[tang(45»+ cot (45"— 4 »)]
= ï log tang1 (45° -f- i H) = log tang (45°+ J H).
Ainsi l’arc du méridien depuis l’équateur jusqu’au parallèle dont la latitude est II sera log tang (/j5° -f*i H) ; ce logarithme sera népérien. Si l’on a le logarithme tabulaire , on le multipliera par le logarithme népérien de 10, et divisant l'expression par le sinus de 1' pour avoir l’arc en minutes , on aura
arc mérid. == 791 5', 7044674 log tang (45°-f-î II). a5. Cette formule est bien simple si l’ou n’a qu’un arc
à calculer ; mais pour une table de ces arcs , songeons que
d arc=-^T-, , ou plus exactement, cosH *
dn du
cos (I I -f- i </H) cos H cos i d\ 1 — sin I I sin { c£H
= (■ + langl rfHtang H);
c'est la différence première des non^res de la table. Soit A' cette différence première, A" la différence seconde j on aura A"=A/sin i\ N
C’est ainsi que j’ai calculé la table des latitudes croissantes ou des méridional paris pour la sphère. Pour le sphéroïde , j’ai trouvé qu’il fallait retrancher des arcs -sphériques calculés comme ci-dessus, les petits termes
e* sin II -f- j e* sin1 H + { e8 sin5 H + etc. , ou faire la correction
sa sin H sin i'
^ n sin 3H sin i'
par ce moyen on peut joindre à la table pour la. sphère , diverses colonnes qui donneront la correction sphéroidique dans diverses hypothèses d’aplatissement.
Pour un arc unique dans le sphéroïde , on peut faire
arc mérid. x= log tang (45° -f ’ H — {-angle de la verticale).
26. Au moyen de ces tables, on trouve facilement le che-' min fait en longitude et en latitude, quand on connaît 1 espace parcouru et l’angle de route.
Pour la différence de latitude , il suffit de multiplier la route R par fe cosinus de l’angle ; prenez ensuite dans la table les deux latitudes croissantes C et C' qui répondent aux deux latitudes j alors le chemin en longitude est
dL = (C' — C) tang angle, et l’on a II'=H -f- R cos A.
C'est à ces deux formules que se réduit le calcul; on peut résoudre le problème graphiquement , par les cartes nautiques.
Soit ME l’équateur (fig. 1 60) , MR le méridien , MD la latitude du départ , MA la latitude de l'arrivée f élevez les deux perpendiculaires DT , AX , par le point de départ P pris sur DT, menez PS parallèles au méridien , et PQ , qui fasse SPQ = angle de route ; vous aurez au point Q le point d’arrivée.
Du Calendrier.
i . U N calendrier est une méthode ou un système pour distribuer le tems en périodes plus ou moins longues , et qui pour la plupart sont multiples les unes des autres , telles que les heures , les jours , les semaines , les décades , les mois , les années et les siècles. Les Romains nommaient calendes le premier jour du mois , de là le mot de calendrier.
2. Le jour se divise en a 4 heures. Les astronomes distinguent les heures de tems vrai et celles de tems moyen ; la différence est insensible dans les usages civils, où l’on suppose tous les jours égaux et toutes les heures égales entre elles.
3. Les Grecs nommaient nycthémère ou nuit-jour ce que nous appelons jour ; ils divisaient le jour ainsi que la nuit eu douze heures ou parties égales qu ils nommaient heures temporaires , parce qu’elles variaient de longueur selon les différentes saisons. Les heures du jour étaient alternativement plus longues et plus courtes que celles de la nuit; il ny avait d’égalité qu’aux deux équinoxes.
4. Les heures du jour ou du nycthémère étaient consacrées aux planètes; la première au Soleil, la seconde à Vénus, la troisième à Mercure , la quatrième à la Lune, la cinquième
LEÇON XXV. 63g
à Saturne, la sixième à Jupiter, la septième à Mars , la huitième au Soleil , et ainsi de suite. Par cet arrangement , la,, lune se trouvait avoir la première heure du second jour , Mars celle du troisième , Mercure celle du quatrième , Jupiter celle du cinquième, Vénus celle du sixième, Saturne celle du septième. Le jour prenait le nom de la planète qui présidait à la première heure du jour. Toutes les planètes revenaient dans le meme ordre, après une période de sept jours, nommée semaine , qui ne se trouvait ni dans le calendrier des Romains , ni dans celui des Grecs , mais qui paraît d’une haute antiquité et commune à plusieurs peuples orientaux. Les Grecs divisaient le mois de 3o jours en trois décades ; cette division était beaucoup plus commode à, beaucoup d’égards ; et cependant on a vainement tenté de la renouveler en France.
5. Certains peuples comptaient les heures du lever du soleil ; ces heures s'appellent babyloniques. D’autres et les Italiens encore aujourd’hui les comptent du coucher du soleil, et ces heures s’appellent italiques. Cet usage ne pourrait etre commode qu’à l’équateur, où le soleil revient à l’horizon à des intervalles toujours égaux j mais dans la sphère oblique les retours réguliers n’ont lieu qu’au méridien , soit inferieur , soit supérieur ; de là deux manières de compter les jours. Les astronomes comptent de midi , c’est le jour astronomique. Tous les peuples européens comptent de minuit , c’est le jour civil. Les astronomes comptent 24 heures de suite : dans l’usage civil, les heures du matin se comptent de minuit, et celles du soir de midi , depuis une jusqu’à 12 heures.
S. Les Grecs nommaient decade du commencement et décade du déclin , la première et la troisième décade du mois; l’autre s’appelait décade du milieu.
Les Romains partageaient leurs mois^ d’une manière assez bizarre , et comptaient les jours par leurs distances aux calendes , aux nones et aux ides. Les calendes étaient Gxées au premier jour de chaque mois -, les derniers jours du mois précédent se comptaient en rétrogradant, de cette manière : la veille des calendes , ou deux jours ayant les calendes , trois
64o ASTRONOMIE.
jours, elc. avant les calendes. Les nones étaient le neuvième jour avant les ides ; on disait de morue , la veille des nones , trois jours avant les nones, etc. Les ides étaient placées le i3 ou le i5 , comme on le voit dans le tableau ci-joint. Ainsi, dès le lendemain des calendes, on comptait par nones, en commençant par 4 ou 6 ; le lendemain des nones on comptait par ides, en commençant par le 8, et le lendemain des ides on comptait des calendes prochaines , en commençant suivant les cas, par le r6, le 17 , le 18 ou le 19.
Mois.
Calendes.
Nones.
Ides.
Nombre
des
jours.
Janvier
Février
Mars
Avril
Mai
Juin
•Juillet
Août
Septembre. . .
Octobre
Novembre . . .
Décembre . . .
7. Cette méthode était bien barbare , mais il faut la connaître
naître pour entendre une expression des calendriers modernes. Quand César réforma le calendrier romain, et qu’il établit l'année julienne de SGo* 3 ; il régla que ce quart négligé trois années de suite , formerait un 366* jour à la quatrième année.
J1 plaça ce jour intercalaire en février , à la suite du sixième avant les calendes. Cette année avait deux sixièmes jours avant les calendes : au premier, on disait sexto calendas; au second, bis-sexto calendas. L’année s'appela bissextile , et ce nom est resté.
Les mois de l'année commune avaient le nombre de jours marqué dans la dernière colonne de notre tableau : dans les années bissextiles février avait 2g jours.
8. Les Égyptiens , qui faisaient tous les mois de 3o jours invariablement , ajoutaient à la En 5 jours épagomènes ou additionnels ; ils en mettaient 6 dans les années bissextiles : c’est ce qu’on avait voulu imiter dans le calendrier éphémèra des Français.
9. La révolution synodique de la lune qui est de vingt-neuf jours j, a donné la première idée des mois ou lunaisons; ses * phases ont peut-être donné la première idée de la semaine; mais ni les lunaisons, ni les mois de 3o jours, ni la semaine, ni les heures ne sont des aliquotes exactes de l’année'; de là tous les embarras des calendriers luni solaires.
10. On avait reconnu facilement par les ombres solsticiales ou équinoxiales du gnomon , que l’année solaire était de 365 jours à peu près. On Et donc l’année de 365 jour! ; mais si l’équinoxe était arrivé le 22 mars , quatre ans après il arrivait le 23, puis le 24, le 25 , et successivement il répondait ainsi à tous les jours de l'année, et ce n’était qu’au bout de 14^1 ans qu’il revenait au 22 mars. Cette année , long-tems en usage dans l’Égypte, s’est appelée vague; il en fallait 1461 pour valoir 1460 années juliennes.
u. L’année julienne, trop longue de 1 1' io*, était vague dan9 un autre sens , quoique d’une manière moins sensible. L’équinoxe , au lieu de retarder d’un jour en quatre ans , avançait au contraire continuellement. Le Concile de Nicée avait at-
taché la célébration de la Pâque au dimanche qui suivrait le quatorzième jour de la lune du premier mois, c’est-à-dire, qui coïnciderait avec l’équinoxe ou le suivrait. Il comptait que l’équinoxe arriverait toujours au ai mars, mais en i58a l’équinoxe avait déjà avancé de 10 jours. Le pape Grégoire XIII voulut remédier à ce déplacement , et remettre les choses dans le premier état ; il retrancha 10 jours au mois d’octobre
i58a; le lendemain du 4 octobre on compta le i5 ; et pour
prévenir désormais une pareille anticipation, il ordonna qu’à l’avenir les années séculaires qui étaient toutes bissextiles, ne le seraient plus que de 4 en 4-
la. Le calendrier julien était le plus commode pour les calculs astronomiques ; le calendrier grégorien offre encore une intercalation facile. En effet, pour savoir si une année est bissextile , il suffit de voir si le nombre qui la désigna
est divisible par 4- Si la division se fait sans reste , l’année
est bissextile; si la division donne pour reste î , a ou 3, l’année est la première, la seconde ou la troisième après la bissextile. Pour les années séculaires , avant de faire la division , on efface les deux zéros qui sont à la droite du nombre ; ainsi 1900 ne sera pas bissextile, parce que donne 3 pour reste ; 1900 sera la troisième année séculaire qui aura été commune.
13. Cette intercalation suppose l’année trop longue de a5* environ ; on la rendrait plus exacte encore, en supprimant tous les 4P°° ans une bissextile.
