BA + AF = CA— AF
B A = CA— a AF, aAF=CA— B A; AF= 5 ( CA— BA ) ;
Donc , CF=AC— AF=AC— i AC-f- { BA= { (AC-f AB.)
Cela posé , le triangle ACE coupé en deux triangles rectangles par la perpendiculaire AF donnera
LEÇON IV. tog
»in CF : sin AF :: tangFAE : tang FCE (4SI, sin j( AC-j-AB) : sin J (AC — AB )::cot JA: tang J (B — C), sin i (C+C) : sin { (C'— C) :*.cot { A : tang { (A — A.)
C’est la première analogie de Néper que nous sommes parvenus à construire.
Le triangle CEM donne tang ECM = — (i8)
cos CL
cot AEF tang FAE cos AE tangFAE cos AF
‘ cos CE cos CE cos CF W J »
I cot£Acos£ (AC — AB) , . , ..
tang KB+C)= — c"8 r(AC+ÀB)' " > °U tan6* (* +A)
COt 3 A" COS 3 ( C' — C ) cos i (C+C)
C’est la seconde analogie de Néper. En portant ces deux formules dans le triangle supplémentaire comme font tous les auteurs, nous obtiendrons les deux autres analogies, mais elles résultent aussi de notre construction.
Le triangle AEF donne tang AF=sin EF tang AEF=sin CE
, ECF tang CEM=sin CE sinECF =: fi^CF^^Ç
° sin ML / fin ME \
sin ME
/ sin ME \
\ sin CE /
sin 3 (A' — A) tang ?C" tang { C" sin 3 ( A’ — A )
sin MCE sin 3 ( A+A )
= tang î (C — C) , c’est la troisième analogie de Néper.
Enfin le triangle CEM donne tang | BC=tang ~ C"=tangCM
=tang CE cos MCE=cos ± ( A'+A ) —
° cosFCE
cos i (A+A) tang* (C+C) ~ cos i (A'— A) tang 3 C" cos j- 'A' — A) cos j (A+A)
ou tang 3 ( C+C )
, c’est la 4* analogie de Néper.
60. Ainsi, avec deux côtés et l’angle compris, on aura les deux autres angles ; avec deux angles et le côté compris, on aura les deux autres côtés ; il reste dans le premier cas à trouver le troisième côté , et dans le second le troisième angle.
,10 astronomie:.
On trouvera le tr^sième coté par la formule tang - C*
tang : (C'+C)c°»i (A'+A) ... ,
= — — TT-,- — rr - ou tout est connu par les
cos 7 (A — A)
deux premières analogies. On trowe le troisième angle par la
formule cot ' A"=
tang | ( A'+A) cos j (C'+C)
où tout est
co» i(C — C)
connu , quand on a calculé la troisième et la quatrième analogie. On aurait même deux formules , soit pour 7 C , soit pour 7 A*; mais on aurait souvent peu de précision en mettant au dénominateur sin { (A' — A) etsin 7 (C' — C) qui peuvent être de petits angles.
61. La même construction donne encore les quatre formules suivantes , que j'ai données dans la Connaissance des Teins de 1808 :
cos 7 C* cos 7 ( C'+C)
, N sin 7 C" sinÿ (C'+C)
s'îrlTÂ" ~ cos i (A'— A’
sin 7 C" sin 7 C'— C)
^ COS7 A’ sin i(A' — A) ’
sinjA^ cos; (À'+A) ’ ^ cos 7 C" cos 7 (C' — C)
co» ; A" sin J (A'+A)
La première prouve que 7 (A' — AXgo°, c'est-à-dire , que la différence de deux angles est toujours moindre que 180% ce qui est d’ailleurs évident, puisqu’aucun angle no peut être de 180°.
La seconde prouve que { (C'+C) et * (A'+A) sont toujours de même espèce, ce qui résulte également de la quatrième de Néper.
La troisième prouve que (C' — C) et A' — A) sont toujours de même signe ; c’est-à-dire, que le plus grand angle est opposé au plus grand côté, et réciproquement, ce qui résulte également de la première et de la troisième de Néper.
6a. La quatrième prouve que la différence de deux côtés est toujours moindre que 180°, ce qui est évident. De ces remarques, la plus importante est la troisième. On la démontrerait d’une manière plus complète par les formules ( 43 ), d’où j’ai tiré , en faisant aS=C"+C'+C ; et supposant que C", C' C sont ici par ordre de grandeur.
, fin (S — C)sin(C" — C' ) sin C , Tang1; A"- tang* { ' 7.„S,
0 * siu 5 sin (5 — C ) sin ( 6 — C )
LEÇON IV. tu
tan„, i A'-tar^ A — ?‘n (-S-r/,)sin (r/-r.)»inC ° 1 ° > sin S sin (S— C) sin(£>— C') ’
Tout est positif dans les seconds membres, puisque l’on a C" > C' etC'>C ; donc les premiers membres seront positifs, donc A"> A' et A' >A , quand C" > C et C' >C , d’où l’on conclut généralement que le plus grand angle est toujours opposé au plus grand coté , le plus petit au plus petit et le moyen au moyen.
Des formules (44), en supposant aT=A'’+A'-f-A, j’ai déduit . . , -, — cosTsin(A' — A') sin A
ng ‘C 3ng 1 C cosÇi’ — A)cos(T — A')cos(rI’ — A") ;
tang* 1 C' — tan"1 i ~ Tsin ( A'-A) sin A» ,
° 1 ° ‘ cos (T — A)cos (T — A')cos (T — A")*
Les seconds membres sont entièrement positifs quand AÇ> A' et A' > A , d’où il résulte que C" )> C' et C' j> C si l’on a A" j> A' et A' et A' j> A , d’ou l’on conclut généralement que le plus grand côté est toujours opposé au plus grand angle , le plus petit au plus petit , et le moyen au moyen.
63. Ce double théorème est utile pour lever l’incertitude dans les cas douteux de la trigonométrie. Il en résulte encore qu’un angle ne peut devenir plus ouvert sans que le côté opposé ne reçoive une augmentation , et qu'un côté ne peut pas s’alonger sans que l’angle opposé ne reçoive une augmentation, ce qui se démontre encore par le théorème fondamental cos C”— cos A"sinCsinC'-f-cosCcosC'=cos (C' — C) — 2sin* i A* sin Csin C'. Plus A” augmente, plus le 2* membre diminue ; plus cos C" diminue, plus C" augmente ; soit
cos(C' — C) = 2 sin* { A" sinC sinCj cosC"=o et €"=90°, si A* augmente encore , le 2* membre est négatif et C" obtus ; plus A" augmentera , plus cos C" augmentera, et l’angle alors augmente avec son cosinus ; ainsi A” croissant depuis o jusqu’à 180°, C" augmentera toujours.
64. Soit, VNABC (fig. 4°) l’écliptique ou un grand cercle quelconque , P le pôle de ce cercle , PA, PB, PC des cercles de latitude , ou en général des arcs de 9c0 perpendiculaires à NC ; nNDEF un autre grand cercle quelconque qui coupe le
ni ASTRONOMIE.
premier en un point N qu’on appelle nœud , et sous un angle quelconque DNA qu’on appelle inclinaison.
Les arcs PD , PE, PF ou A , A', A" sont les distances polaires des points d’intersection, les arcs AD, BE, CF ou fi, fi' , fi" les latitudes de ces mêmes points.
Les angles DPE, EPF , DPF ont pour mesure les arcs AB, BC, AC:
VA— A— A j VB=A" — A' i
