f- cosaC'cosAC"cos*a A-f-sin AC' sinjC" cos* j A J

tang A C' tang a C"sin A

1 -{- tang a C tang A C*(cos* a A — sin* ; A) tang A Ç tang { C sin A î -{-tang ; C' tang j C" cos A

et

tangAÇ'tangAÇ’sinA tang* a Ç'tang* a Oin aA

sint" sinô*

tang3 A C tang3 ÿ Csin 5 A

rw U «C.

sin 3

Doublez cette série et vous aurez en secondes, l’excès des trois angles (A -f* A' -j- A") sur i8o\ On s’était contenté de prouver que les trois angles surpassaient i8o°, j’ai cherché cette formule pour les opérations de la mesure de la terre.

71. Prolongez les côtés C et C' jusqu’à leur rencontre à i8o°de leur première intersection (fig. 4> )• Le même théorème transporté au nouveau triangle sera {(o + o'+a" — 1 8o*) = tang A c' tang J C* sin a a tang* } c' tang’ AC" sin aa+etc.; mettons pour a sa valeur 1 8o° — A, pour c', sa valeur (180° — À') pour c' sa valeur A"; enfin pour c' , sa valeur 180° — C', nous aurons

= C ( 90*— A A)— A (A' — A") ]=cot A C tang a C' sin A -f-icot* a C' tang* a C" sin ûA-f-j cot3 a C tang3 a C" sin 3A-{-etc.

Cette formule donne la demi-différence des angles inconnus A' et A.

La formule première peut s’écrire

8st!

i (A'+A' ) — (go0 — i A)=tang i C tang C" sin A i tang“i C'tang* i CVm aA+l tang3 iCtang^ C"sin 3A+etc.

Cette formule donne la demi -somme des deux angles in-

La somme des deux formules seraj(A'+A") —{ (A'— A' ), ou A" = tang -i C" (cot } C' -f tang i O ) sin A -H i tang* 3 C (cot“ ‘C'— tang*i O) sin a A-f-j tang3 ;C (cot1 , C -Han6 »C )

* La différence des deux formules £ (A'-MO+ï (A' A' ) =f i8o* — A)=A' — (i8o° — A)= A' — ( 1 8o° -A)

— tang iC" (cot 3 C'+tang i C') sin A — | tang1 J CT) (cot*;C' +tangsC'i)— $ tang3 i C (cot3i C'+ tang1 { C ) sin 3A+ etc.

Ces séries feront connaître les deux angles inconnus ; M. Lagrange les a démontrées d’une manière toute différente dans

les Mémoires de Berlin , ijjA- » a déduit la série (68 ) ci-dessus, comme un cas particulier. Au contraire , après avoir démontré’ le cas particulier, j’en déduis la formule générale. 7a. Soit ABC un triangle sphérique quelconque ,

cos AC=cos ABC sin BA sin BC-f-cos BA cos BC ou cos C =cos fC4-x) cos D cos D'+sin D sin D' en faisant AC=C; et ABC— (C+x) , D=go*— B , D'=go°— BC , cos C — cos C cos x cos D cos D' — sin C sin x cos D cos D -Hin D sin D'=cosCcos D cosD'— a sin1 £ xcos C cos D cos D' —sin C cos D cos D' sin x + sin D sin D'

sin x cos D cos D' sin C+a sin* i x cos D cosD cos C — tin D sia D'-fcos C cos D cos D'— cos C ; a sin 3 x cos J x sinO sin P' coséc C -4- ( cosD cosiy—O C

+a sin* i x cot C— *• cos d cos d'

cosécC[sin*^(P'-f-D) — sin3ÿ(D D)1 ~ cos D cos D'

cot Cf sin* ’-(P'+r>) -4- sin*l (D— P)] __ lb cos D cos p'

Divisez tout par a cos* \ x , et faites cot C=a ,

tang î x+fl tang* 3* =

cos* 3 x’

; b+b tang* £ x ,

(a— b) tang* i x -f tang ± x — b ;

'*"6‘ 5 1 + fc=ï) “”6 ■ i- *=(^b)

,,ne' ■ I+(sb),a”ei *+ Ksiî)’

«*■!*-«(»-») cor;

quand on a fait tangj» = 2 \Z\a—l))b , tang i x=i 4* -i- i 4* (<*-*) ia+i- î- f 43 («

— 3-f-ï-ï 4* (a— i)4 M+etc.

==ù-f-(a — b) 6*+|. 4 (o — b)'4b3 — g §. 4*(a — M^-f-etc.

Développez cette série , substituez-en la valeur dans la formule

ï x=tang i x — j tang^x-f-^ tang5 * x— etc. et vous aurez

j x—b — cù*-Hf+2a*)ù3 — (3a-f-5<r)M-f-(f-f-taa*-f- i4a*)ù", — (ioa + Lpa3-f' 42a5) b6 -f- + Go a4 4- j8oa4-f- i3a a* ) b\ — etc.

Tous ces termes doivent être divisés par sin 1", et alors ils donneront {x en secondes.

Cette série n’est commode que dans le cas où l’on peut se contenter des premiers termes.

La première série qui donne tang 5 x est beaucoup plus commode à calculer , la loi en est simple et évidente ; on pour-

h 8 ASTRONOMIE,

rait donc calculer de préférence tang | x par les tables, en se contentant de l'avoir à 1 ou a" ; alors log { x=log tang 3 x ■4*5 log cos J x — log sin i* : le procédé est exact tant que x ne passe pas S*. La valeur de cot^x est toujours exacte.

73. Cette série donne la différence entre le côté et l'angle opposé en fonction du côté ; or on peut l’avoir en fonction de l’angle en C=(A— y) -, on aura par des calculs tout pareils

a sin jy cos — 2 sin^y cot A=tang 5 A sin*j (D'-J-D)

— cot 5 A sin* 3 (D' — D) = ab ,

formule où le facteur b est un peu plus simple; on fera — cot A ~a, et la même série donnera la solution.

Surface du triangle sphérique.

74- Soit un triangle sphérique quelconque A, A', A' (fig. 43) , t la surface. Prolongez A'A jusqu’à ce qu’il devienne un cercle entier ; prolongez A'A* jusqu’à la circonférence en a ' ; prolongez AA* jusqu’à la même circonférence en a; A' A"æ' = 1 80® ; les triangles t et c réunis ont une surface égale à celle du fuseau dont l’angle est A"; car A "a et A “a, prolongés dans l’autre hémisphère, y formeraient un triangle dont les trois angles et les trois côtés seraient égaux à ceux du triangle t.

Soit F* la surface de ce fuseau t -4- c as F*.

Les triangles t -4* i formeront le fuseau A".. t + 6 = F'.

Lee triangles t-f-o formeront le fuseau A. . . t -f- a = F.

Or les quatre triangles t-4-a-f-i-4*c = hémisphère.

Donc

at = F -4* F' -f- F" — hémisphère , t =^(F-}-F'4-F") — j surface de la sphère, =i(F-f-F'+F*) — surface d’un grand cercle.

Soit r le rayon de la sphère, *■ la demi-circonférence dont le rayon est l’unité. La circonférence du grand cercle sera

LEÇON IV. n9

arx, et la surface r** surface de la sphère = fuseau de 90*. Ainsi t = i (F -f- F'+ F — rV.

La surface du fuseau de i* sera — : — , celle de A decré»

QO° °

rVA . .

sera — — ainsi *