OOOOO

Ici </A= — fdH, on voit donc que le premier terme d« la réfraction s’augmente de ce que perd la latitude , à fort peu près ; ainsi le problème serait indéterminé si la tbéoria n’avait pas déterminé !e terme B , ou du moins le rapport de B au premier terme A.

LEÇON y. i39

vj. Bradley, en imitant Tycho, adonné plus d'extension à la méthode.

Soit ZE', ZF' (fig. 47) deux distances apparentes au zénit égales entr’elles, et observées vers les deux équinoxes, les distances apparentes étant égales , les réfractions le seront aussi, et les distances vraies ZE , ZF le seront pareillement. Soit O le point solsticial sur l’écliptique FOE, les triangles ZOE, ZOF seront parfaitement égaux •, les arcs EO , OF ou les distances au solstice seront égales ; les distance TE.-^F seront égales, ainsi que les déclinaisons AE, BF.

Si l’on a comparé ces deux jours, le soleil à la même étoiles, on connaît le chemin AB du soleil en ascension droite ; on connaîtra donc YA et TB, on saura ainsi l’instant où le soleil sera arrivé en T et -dis à 90° du point solsticial.

a8. En observant le mouvement du soleil en déclinaison , on aura la distance zénitale apparente de l’équateur à l’instant où le soleil aura étédansles deux points équinoxiaux. En combinant ainsi les observations de quatre équinoxes ,

Bradley trouve N = 5i# vj ' 28*

Par un grand nombre d'observations de la polaire à ses deux passages , il trouve N' =: 38 3o 35

La somme qui devrait être de qo°, n’est que

de ... 89 58 3

La somme des deux réfractions ou de r-f-r'=. 1 57

r + 1* = A tangN -f- A tang N' = A ( tang N -f- tang N' )

Asin(N + N' ) Jt . . r ,

— ^ — , d ou A = 57 04S.

cos N cos N ’ '

Dans les calculs on a égard à la parallèle du soleil 8", G sin N que l’on retranche des distances zénitales observées , parce qu’elle augmente les distances

N + 57® 046 tang N = 5i° 28' 39" 6 N'-f-57 046 tang N' = 38 3i ao 4 90 000

On a donc par cette méthode deux réfractions et la hauteur du pôle, mais en supposant B tang3 N et B tang3 N' = o.

En supposant B = o*,i , on aurait eu A = 67", 067, et H ?n0 28' 3 g", 56, A serait plus fort et la hauteur du pôle plu* faible.

Cette méthode donne assez bien le coefficient A, mais ripn de plu*. D’ailleurs elle dépend de la bonté de l’instrument.

29. Pour ne rien admettre qui ne soit donné par l’observation , j’ai pris quatre étoiles circompolaires observées avec grand soin par Méchain à Barcelone : chacune de ces étoiles donne une équation de la forme 180° — aH=N4-N' + A(tangN-f-tangN')4-B(tang::N4-tang:,N,)-f-C(tang5rv+tang'JN').

J’avais quatre équations et les quatre inconnues H, A, B,C, la plus forte distance au zénit était de 82° c’est supposer que trois termes suüisent pour cette distance (18).

L’élimination m’a donné

r=6i",i766tangN — o",a648tang3N -f o",oc2485 tang3N. Méchain avait corrigé ses distances zénitales des variations de la réfraction par le coefficient nde Bradley ( 22 ). En employant celui de Mayer et recommençant les calculs, j’ai trouvé

r=G3'',5oa tang N — o*,343g6 tan g3 N -f- o*,oo33g23 tang5 N. Tout cela s’écarte considérablement des réfractions admises généralement; mais les observations ne sont pas moins satisfaites , seulement la hauteur du pôle se trouve diminuée de l’augmentation du terme A (ig).

En supposant successivement A =67", i3j , j’ai trouvé r= 57", 1 3 1 tang N -4-o",]4g5 tang3 N — o", 02069 tang5 N -{- o", 0029707 tang7 N ,

En supposant A — 58", 5g", 60", j’ai trouvé r = 58" tang N -J-o*,o6o36g tang3 N — o",o 16727 tang5 N -f- o"1ooo2563 tang5 N

5g"tang N — o", 04077 tang3 N — o",oioi54<5 tang5 N + o,oooi6a43 tang7 N

= Go"tangN — o", 14207 tang3 N — o",oo45o53 tang5 N -f- o",oocogoogg tang7 N.

Lps observations étaient également satisfaites, et la hauteurdu pôle diminuait toujours , ensorte que d\l^=d\ ; et il est à re»

leçon V. «4*

Marquer qu’en supposant A plus petit et donné par d’autres observations , les signes des coefliciens cessent d’ètre alternatifs.

Avec trois étoiles seulement , j'ai trouvé

r= 57", 48 tang N — o”, 07177 tang3 N ; mais était-il permis de négliger les tang5 N à 82° - ?

30. La Caille a employé une méthode qu’on peut ramener à des formules analogues aux précédentes. Il avait observé à Paris un étoile E dont la distance véritable était ZPE , et la distance apparente ZPE’. S’étant transporté au cap de Bonne Espérance , il voyait la même e’toile éloignée de son zénit vrai Y de l’angle YCE"; la distance véritable devait être YCE , et sans la somme des deux réfractions, la somme des deux distances aurait été égale à CK.P -+- CEP ; mais CEI* est insensible , ainsi que nous le verrons ( leçon YI) ; ainsi ,

N + N' +' r + /= CKP,

on a donc

PKC— N— N'=(tangN+tangN,)+B(tang3N+tang3N')+etc.

Autant il observait d’étoiles différentes, autant il pouvait avoir d’équations, telles que

PKC = Am -Jr B/i -f- Cp -f- De etc. ; avec quatre étoiles , il pouvait déterminer PKC et trois coefltciens ; avec cinq il avait un coefficient de plus.

31. Il s’y prit d’une autre manière-, par des combinaisons iiigénieuses , il détermina nombre de réfractions qu’il mit dans sa table , et il interpola les autres par la formule de Bernoulli , la seule qui fût connue. Il trouva des réfractions plus fortes qu’on ne croit généralement, et il crut voir quelles étaient plus petites de au cap qu’à Paris; on croit aujourd'hui qu’elles doivent être les mêmes dans toutes les parties habitables de la terre.

Voici la principale de ces combinaisons : La Caille détermina trois distances zénitales d’environ Goa chacun , dont la somme devait être de 180°; elle se trouva moindre de trois fois la réfraction qui convient à 6o° distance; il prit le tiers

de cet arc pour la réfraction à Go®. La conclusion était indépendante de toute théorie ; mais on objecta que si son arc de 6o° avait en moins une erreur de la", cette erreur se trouvait toute entière dans sa réfraction. On a cru, en conséquence, que ses réfractions renfermaient la correction de* erreurs de son instrument , et cette conjecture est d’autant plu» vraisemblable qu'avec ses tables , il a déterminé la latitude de Paris , telle que nous l’observons , l’obliquité et les déclinaisons des étoiles, telles que les ont trouvées Bradley et Mayer, avec d'autres instrumens et d’autres tables, qui peut-être aussi renfermaient les erreurs de leurs quarts de cercle.

M. Burg, qui a déterminé les réfractions d'après les observations mêmes de Bradley , les a trouvées plus fortes seulement d’une seconde à 45° ; mais si l’arc de Bradley était trop grand, ses réfractions j^ront trop petites.

3a. J’ai voulu voir ce rjfue je pourrais tirer des nombreuses observations de La Caille; j’ai toujours trouvé A de 63* au moins et souvent plus fort ; moins d'accord il est vrai que par les observations faites au cercle répétiteur , mais il est remarquable que les deux méthodes qui n’emploient que les étoiles, donnent toutes deux des réfractions plus fortes que celles qui emploient aussi le soleil. Quelques astronomes ont cru que les réfractions sont plus fortes la nuit que le jour, c'est ce qui est fort problématique ; on pourrait vérifier la chose en observant les étoiles circompolaires en des saisons différentes de jour et de nuit : ou prendrait un nombre d’étoiles supérieur de l’unité à celui des coefficiens qu’on se proposerait de déterminer, afin d’avoir en meme tems la hauteur du pôle ; les étoiles qu’on pourrait choisir sont la polaire , y Céphée , £ petite Ourse, et du Dragon , et , Ç ou * ou $ , et enfin » de la grande Ourse ; ou bien la polaire y , l 3 , et de Céphée à Cassiopée et «du Cygne. Il faudrait, autant que possible, observer par des températures moyennes , afin d’éviter l’incertitude de la correction thermométrique.

33. On voit ce qu’on a fait pour déterminer les réfractions. Depuis le zénit jusqu’à 8o° on peut faire, soit par la formule de Simpson et Bradley, soit même par celle de Cassini ,

LEÇON V. i43

de» tables qui diffèrent très-peu entr'elle», et moine que la meilleure de toutes ne diffère quelquefois des observations. En effet, à 90® du zénit, j’ai trouvé , d'un jour à l’autre, des différences de quatre minutes, quoique le baromètre et le thermomètre fussent à la meme hauteur; à 89 degrés' elles étaient de 45" à 88° de 35", à 88° de 3o", de 3G* à 8a°, de 1 5* à 79°, de 10* à 78, de G à 7* à 75®. Yoyez les observations de Piazzi, vous y trouverez des différences pareilles. Il paraît donc impossible d'avoir des tables parfaitement exactes ; mai» les erreurs un peu sensibles n’ont lieu qu’à des distances où l'on observe rarement , et où les planètes ne descendent guères ; ainsi ou peut conclure que les réfractions sont assez bien connues pour l'usage ; qu’il faut avec chaque table de réfraction employer la hauteur du pôle déterminée par les mêmes réfractions : alors toutes les tables seront à peu près aussi bonnes. Le baromètre et le thermomètre nous donnent l’état de l'atmosphère à l’endroit où le rayon lumineux entra dans la lunette; mais ces instrumens ne nous instruisent pas de l’état où sont les différentes couches de l’atmosphère qu’il a traversées. La réfraction que nous observons est la somme des réfractions qu’a subies le rayon lumineux dans les différentes couches de l’atmosphère , et il nous sera toujours impossible de calculer ces réfraction» partielles, non plus que la quantité dont elles diffèrent des réfractions moyennes.

Au reste, MM. Oriani, Borda et Laplace ont reconnu que jusqu’à 74° cet inconvénient était insensible, et quela réfraction ne dépendait guères que de l’état de l’atmosphère à l’ouverture de la lunette.

Autres effets des réfractions.

34. Les réfractions augmentent avec les distances au zénit. La réfraction du bord inférieur du soleil est donc plus grande que celle du bord supérieur, le bord inférieur est donc plus élevé que le supérieur par la réfraction , il se rapprocha de l’autre, et le diamètre vertical est diminué. Toutes les cordes parallèles à ce diamètre sont aussi diminuées dans la même raison ; car les variations des refractions sont propor-

tionnelles à celles de la distance au zénit dans l’espace d'ua demi-degré; le disque du soleil paraîtra donc elliptique au lieu de paraître rond , et cet effet sera surtout sensible auprès de l’horizon où les réfractions varient plus rapidement, il peut aller jusqua a' 3" sur le demi-diamètre du soleil.

35. Les demi-axes de l’ellipse du disque déformé seront l’un le demi-diamètre vrai, ou ï, l’autre le demi-diamètre accourci par la réfraction ; le rapport de ces demi-diamètres

, J — dr sera donc r .

Soit cos I ce rapport ; 1 — cosl = asin’ ± I =i / di

ï-dr

ein* 5 I = j (-7") * est c^anSement de réfraction pour

un changement dans la distance vraie au zénit, il 8e prendrait dans une table de réfractions pour les distances vraies , et l’on aurait

dV : dp : : d : dr, ainsi est le changement qui

dans la table répond à la variation dV de distance vraie ;

. „t dp dp dp dN

dV d(N — r) d(N— dr) “ dr '

1 ""dN

I sera l’inclinaison qui changerait le cercle égal au disque vrai du soleil en un disque elliptique égal au disque déformé par la réfraction ; or, soit a l’inclinaison apparente d’un demi-diamètre quelconque par rapport à l’horizon , j’ai prouvé que

l’accourcissement

ti5

l'accourcissement du demi-diamètre sera à — i' — 2<T tang’ i I sin* a-f ^sin1 a tangt \ I (^cos’a — 1) ; on peut se contenter du premier terme et faire

/'=aJ'tangaÎIsin,a=:^sin*u ( — ^ . J.

S ' peut être la ligne de» cornes dans une éclipse, ï‘ serait la ligne apparente.

Pour avoir l’inclinaison, il faut mesurer la ligne des cornes apparente c et la hauteur verticale h de cette même ligne ,

. fi on aura sin a =

3S. Le demi-diamètre horizontal éprouve lui-même une petite diminution qui provient de la convergence des verticaux vers le zénit.

Soit SMO (iig. 49) le diamètre du soleil ; Z S , ZO les verticaux qui sont tangens aux deux bords S et O , Z.M l’arc perpendiculaire qui coupe en deux l'angle SZO. La réfraction portera le centre M en m, le bord S en a , ensorte que le demi-diamètre apparent sera ma. Soit ma=xSr, les

triangles rectangles ZMS et Z ma donnent

sin SM : sin am , ou sin <T : sin :: sin ZM : sin Zm , tang ‘ (J'-O :tangi(«r-f^) :: tangi(ZM— Zm)

; tang £ ( ZM -|- Zm ) ,

tangi — <T) — tang J (J-f i') tang i r cot (Zm+ï r)

= tang i ( <f «H cot ( N-K r) A tang r, i = tang' (#' + i') tang(N— 3r) cot (N -fi r),

£ — y = tang J1 sans erreur sensible;

ce qui fait constamment o",5 pour lediamètre du soleil.

37. La réfraction accélère le lever des astres et retarde leur coucher. En effet , soit un astre A (lig. 5o) à l'horizon astronomique. ZA= qo°. Le lieu vrai de l'astre est dans le vertical ZS à 90° 35' du zéuit. Du pôlu P décrivez l’arc S B du

parallèle de l’étoile, sans la réfraction l’astre se serait levé

en B avec l’angle horaire ZPB, au lieu qu’il parait se lever

en A avec l'angle horaire ZPS, la différence est l’angle BPS;

cos ZPS = — sin R sec D sec II — tang H tang D cos ZPB = — tang H tang D

R étant la réfraction horizontale , D la déclinaison de l’astre, H la hauteur du pôle

cos ZPB — cos ZPS = sin R sec D sec II a sin £ dP sin ( P -J- j dP ) = sin R sec D sec II ,

d’où en développant et négligeant les termes du 3* ordre ,

.p R R sin R cot P

cos D CO' H sin P cos* D cos’ H sin*P R R sin R cos P

cos D cos H sin P cos’ D cos’ H sin3 P R R sin R tang D tang II

cos D cos H sin P ' cos’ D cos’ H sin3 P ’

ti la déclinaison était australe , tangente D serait négative, le second terme se retrancherait du premier , et l’effet serait moins considérable.

38. La réfraction qui varie rapidement près de l'horizort , fait que l’astre ne suit pas exactement un parallèle à l’équateur, et que si une étoile a* suivi un des fils du réticule , le ül perpendiculaire ne représente plus un cercle horaire; alors les différences de passage à ce fil ne sont plus des différences d'ascension droite; on peut corriger cet effet par le calcul, mais on évite autant qu’on peut d’observer près de l'horizon.

39. La réfraction produit les crépuscules. Quand le soleil est a plus de 90° 33',du zénit, la réfraction n’est pas assez forte pour que les rayons du soleil parviennent à notre œil , ils passent au-dessus de nos têtes, ils sont réfléchis irrégulièrement par les molécules atmosphériques ; nous «e voyons pas l'image du soleil , mais une partie plus ou moins grande

de la voûte céleste est éclairée-, cette lumière qui nous annonce le lever du soleil , va toujours en augmentant à mesure que le soleil approche de l’horizon ; on l’appelle le crépuscule.

Dèâ que l’on commence à distinguer les objets, on dit que le crépuscule du matin commence ; quand on cesse de les voir et de pouvoir se conduire , ou dit que le crépuscule du soir finit.

40. Si l’on remarque un certain jour à quelle heure le crépuscule aura commencé ou fini , on peut calculer pour cet instant la distance du soleil au zénit , l’excès de cette distance sur 90° s'appelle Y abaissement crépusculaire. Les anciens supposaient cet abaissement de 180. La Caille , dans la zône torride, l’a trouvé de 16 à 17» ; en France, suivant Lemonier, il varie depuis 17" jusqu’à ai. Cette observation n’est susceptible d’aucune précision.

Mais l’abaissement étant supposé, le triangle ZPA donn»

’ . sin 2 a „

cos ZPA =x — — tang D tang H.

cos H cos D 3 b

Quand le soleil est à l’horizon ,

cos ZPS = — tang D tang H ,

d’où l’on conclut comme pour l’accélération du lever

• , ,n, y, , sin 2 a

sjn 3 ( — ) — a #i „ i ’çp' p) cos h cos D’

(P' — P) divisé par i5, donnera la durée du crépuscule; cette expression prouve que la durée du crépuscule croît avec la déclinaison et avec la hauteur du pôle. Elle est la plu» courte, quand H et D sonti=o , car alors sin ;(P'+P) = », et (P7— P) = 20 = 1* ta'.

41. Le crépuscule ne finit pas quand le soleil au méridien inférieur n’est pas à 18' au-dessous de l’horizon.

L’expression générale du plus grand abaissement sous l’horizon est de ( 90° — H ) -f- (90° — D) — f)oa=zgo° — ( H -f- D ) , donc si 90* — ( H -f- D ) •< 1 8° ou 72' < Ç H + D ) , le cré-

io.-.

puscule ne finira pas; si ( II -f- D ) = 72“ le crépuscule du matin succédera immédiatement au crépuscule du soir; il n’y aura pas de nuit close , c’est ce qui a lieu à Paris vers le solstice d'été.

Le problème du plus court crépuscule a fort occupé les astronomes et les géomètres, mais il n’est que de simple curiosité. On a démontré qu’au jour du plus court crépuscule

cosrt

sin D = — taug a sin H; sin -j ( P' + P) = — ;

cos D

pour la demi-durée sin ; (P' — P ) = - - ‘ cos H

Tang a tang H = cos Z donne l’azimut du soleil au commencement du crépuscule; à la fin l’azimut est 180° — Z.

Des Parallaxes.

1. Tout ce que nous avons dit jusqu’à présent suppose que l’axe de la révolution des fixes passe par l’œil de l’observateur, et que cet œil est le centre de la sphère qui paraît entraîner tous les astres dans son mouvement diurne. Mais cette supposition ne pourrait être rigoureusement vraie que pour un seul lieu de la terre , et très-probablement elle est également fausse pour tous. 11 reste donc à voir si l’elfet de la distance de l’observateur à l’axe et au centre des mouvement est toujours aussi insensible qu’elle nous a paru jusqu’ici; et pour cela il faut avoir des formules pour calculer cet effet.

a. Soit O (fig. 5t) le lieu de l’œil , Z le zénit , C le centre des mouyemens , p le pôle , Cp le demi-axe de la révolution diurne ,

ZOp sera la distance du pôle au zénit pour l’observateur O , Z Cp la distance de ce même pôle au zénit pour le centre de» mouyeraens; or le triangle OPC donne

Cp : sin O ” OC : sin p = - — sin ZOp, ou

6in P =(g) sin (ZCp-f-OpC ) = (0 *in (N + p). (A) sin p = ^0 sin N cosp -4- Ç cos N sin p ,

tangp — ^0 sia N -f (0 cos N tang p ,

tangp=

cos N

ou (X. au ),

/ r \ sin N , / r\ P~ \lt / sin i* + (ïï)

r \» sin a N sin a*

r \3 sin 3 N sin 3"

+- etc CQ-

La formule (A) est connue de tout temsj j'en ai d’abord déduit la formule (B) nécessaire quand on ne connaît que la distance vraie au zénit; mais elle avait été donnée par Mallet dans les Transactions philosophiques pour 1706; et comme elle n’est pas très-commode , j’en ai tiré la série (C) que je n’ai encore vue que dans des ouvrages de beaucoup postérieurs à la publication que j’en ai faite en 178g.

3. Ce que nous avons dit du pôle , ou d’une étoile qui serait au pôle , nous le dirons d’un astre quelconque , et quelle que soit la distance R de cet astre au centre des mouvemens et la distance OC = r de l’observateur au centre des mouvemens; ainsi nos trois formules sont générales. La première sert quand on connaît la distance apparente au zénit, c’est-

,5o ASTRONOMIE.

à-un'e, la distance augmentée de l’angle p. Les deux autres sont plus commodes quand on connaît la distance zénitale vraie, c’est-à-dire, telle qu'elle serait vue du centre des raouvemens.

4. L'angle p se nomme parallaxe de hauteur de l’astre p.' Parallaxe est un mot grec qui signifie changement , et on entend spécialement par ce mot le changement qui s’opère dans la position apparente d’iui astre , quand on l’observe d’un point qui n’est pas le centre de ses ntouvemens.

Il y a diverses parallaxes que nous ferons connaître à mesure que l’occasion se présentera. Il ne s’agit dans ce chapitre que de celles que la position excentrique de l’observateur à la smface de la terre , produit dans les raouvemens diurnes.

Il est aisé de voir que l’effet de la parallaxe est tout entier dans le plan vertical Z Cp , ou eu général dans un plan qui passe par l’astre , le centre des nmuvemens et l'observateur.

5. Il suit de nos formules que la parallaxe est insensible, si le rapport — est fort petit; et qu’elle sera comme nulle

si la distance R de l'astre au centre des mouvemens est incomparablement plus ande que celle de l'observateur à ce même cenlre; et c’est ce qui a lieu pour toutes les étoiles en quvon n’a pu jusqu’ici reconnaître la moindre parallaxe.

Pour que la parallaxe fut absolument nulle, il faudrait que l<n eût R = 00 ou r — o, ce qui n’est nullement pos-

sible, mais si — »in 1' =

la parallaxe sera de

1* au plus , et il sera impossible de s’en assurer par les observations.

6. Dans la formule (A), supposons N -f- p = q o°, nous aurons sin p = (jî) *'n .9°D== ’■ l’astre paraîtra à l’horizon

et la parallaxe sera la plus grande possible. Cette parallaxe s'appelle horizontale ; désignons-la par la lettre <v. La pa-

LEÇON VI. i5i

rallaxe de hauteur ou de distance zénitale sera sin p = siu sin (N -f-p).

Le sinus de la parallaxe est donc proportionnel au sinus de la distance apparente au zénit, la parallaxe diminuera donc également, soit que l'astre soit au-dessus ou au-dessous de l’horizon , en quoi la parallaxe diffère des réfractions qui augmentent toujours avec la distance au zénit.

7. Si l’observateur, au lieu d’être en O au-dessus de l’axe , était au-dessous , la formule serait la même ; il suffirait de rendre négative la distance r, d’où il suivrait que » et p seraient aussi des quan^és négatives, et la parallaxe diminuerait les distances au zénit, au lieu de les augmenter.