Quand ZA> 90®, son cosinus est négatif et augmente
quand l’arc augmente; il faut, dans ce cas, que
cos PA cosPZ -J- sinPA sin PZ cos P soit une quantité négative.
CosPZ, sinPAetsinPZ sont toujours positifs; il faut donc que cos PA soit négatif et plus grand que sinPA tangPZcosP, cosZA augmentera donc à mesure que cos P diminuera , ainsi ZA augmentera encore avec P; mais si cos P lui-même e6t négatif, les deux termes seront négatifs , le second membre ira toujours croissant, ZA augmente doue toujours.
Si P — i8o® , cosP = î .
cos Z A = cos PA cos PZ — sin PA sin PZ = cos (PA -f-PZ) ;
ZA est le plus grand possible, puisque ZA = PA+PZ , et que dans tout autre cas, ZA<(PA-f-PZ, qui sont supposés ne pas changer.
5. L’équation ZA=PA — PZ, ou N=qo° — D — (90° — H) r= H — D donnera II=N-f-D; c’est ainsi qu’on trouve la hauteur du pôle en prenant au méridien la distance zénitale d’un astre dont on connaît la déclinaison.
La même équation donne D = H — N ; c’est ainsi qu’on trouve la déclinaison d’un astre , quand on connaît la hauteur du pôle.
Cos (PA — PZ) = cos (PZ — PA) = cos Z A; si PZ > PA,
ou si D>H, l’astre passe entre le zénit et le pôle,
N = PZ — PA = D — H, et cette équation sert à trouver de même la hauteur du pôle par la déclinaison , et la déclinaison par la hauteur du pôle.
Au méridien inférieur Z A = PA -f- PZ ;
N=go° — D + 900 — II =180° — (H-fD)j
cette équation sert aux mêmes usages que les précédentes , quand on a observé la distance zénitale d'une étoile au-dessous du pôle; il faut pour cela H-f-D>i8o° — N, ou go° N < 90°, et 1800 — (H-fDXgo0, ou (H-f-D)>go°; alors l'étoile ne fait que tourner autour du pôle sans se coucher ; ces étoiles se nomment circompolaires.
Le passage supérieur donne ZA = PZ — PA , le passage inférieur Z A' = PZ'-f- PA ;
d’où
ZA + ZA' = aPZ ; PZ = \ (N + NO , H=9o»--(N+N'j;
c’est la manière la plus simple de trouver la hauteur du pôle et la distance polaire de l’étoile tout à la fois , car PZ étant connu par les deux distances observées , on a
PA=PZ— -ZA et PA=ZA'— PZ.
