L’usage le plus direct de l’équation
cos Z A = cos PA COS PZ -f- sin PA sin PZ cos P
est de trouver la distance zénitale d’un astre dont on connaît la distance polaire ; il suffit alors de connaître l’angle horaire P, qui est proportionnel au tems écoulé depuis le passage au méridien.
En la retournant on a
cos P
cos Z A — cos P A cor PZ sin PA sin PZ
qui sert à calculer l’heure ou l’angle horaire par les trois côtés connus; nous avons vu comment on a modifié cette formule , pour l’adapter mieux au calcul logarithmique.
7. Les formules de Néper donnent un moyeu commode pour calculer à la i is les trois inconnues du triangle t quand on a> pour données 1 angle horaire et les deux cotés qui le
,ao8
comprennent ; faites
. .. cot J P sin j (PA — PZ)
u-eitz-A)^. ;-i(t,-/+PZ) '■
cot£P cos 5 (PA — PZ) n»8 KZ + A) = STiJPÀ 4 PZ"j •
n , tang;(PA 4- PZ) cos j (Z A- A)
tangïZA _____
cot Z sin P = cos H tang D — siu H cos P ,
cotZsinP-f-sinHcosP = cosHtangD,
cotZsinP , TI . „
-f- cosP = cot H tang D ,
sin H sin x
cosx
sin P -f- cos P = cos II tang D ,
sinP sinx-f cosP cosx= cosx cot H tang D , cos (P — x) = cos x cot H tang D.
"Voulez-vous l’azimut tout seul? vous aurez
cot Z =r£?) tangD — sin H cot P.
8. Nous avons vu que la direction des ombres indiquait le vertical du soleil. A un instant connu , au moyen d’une montre ou d’une pendule bien réglée , marquez dans une chambre la direction de l’ombre d’un mur bien vertical , ou si votre mur n’est pas assez vertical , marquez l’ombre de l’angle supérieur de la fenêtre. Par cet angle, et le point d’ombre , tendez une ficelle , au moyen d'un fil à plomb , abaissez deux ou plusieurs perpendiculaires de cette ficelle sur le parquet; par les pieds de ces perpendiculaires, tracez une droite sur le parquet jusqu'au mur où vous avez marqué le point d’ombre , continuez cette ligne verticalement sur le mur , elle passera par le point d’ombre et vous indiquera toute l’année le retour du soleil au même azimut. Au moyen de l'équation précédente , calculez l’azimut du soleil pour le jour et l’heure de l’observation , vous connaîtrez l'azimut de votre ligne. Calculez pour chaque déclinaison du
soleil
LEÇON IX. 20g
soleil l'heure à laquelle il aura cet azimut; faites-en une table qui vous donnera l'heure toutes les fois que l’ombre passera par votre ligne. Pour trouver l'angle P , faites „ cotZ
tangx— cos B = cos x cot H tangD ; PxsÇB+j;);
tracez ainsi autant de lignes que vous pouvez dan» la maison pour multiplier les moyen» de savoir l’heure , sans avoir l’embarras de tracer un cadran solaire.
9- Si Z=9o°, pour calculer l'heure on n’a besoin que de la distance zénitale et de la déclinaison ; en effet, le trianrle PZA rectangle en Z donne 6
sin p- lia ZA sjnN sin PA cosD’
On a donc l’heure indépendamment de la hauteur du pôle Le même triangle donne cos PA=cos SZ cosZA; sin D —
sin H cos N et sin H =
co s N
La même observation donnera donc l’heure et la hauteur du pôle : comme la latitude n’influe en rien sur l’heure au premier vertical , c’est aux environs du premier vertical, ou au premier vertical même qu'on observe la distance zénitale pour régler une pendule. *
10. On a mesuré les distances zénitales Z A et Z B de deux étoiles connues; on a marqué le tems des observations; on demande l'heure et la hauteur du pôle (fig. 63).
Si les observations étaient simultanées , le triangle APB donnerait le côté AB par les deux distances polaires PA PB et la différence d’ascension droite APB; il donnerait aussi les angles PAB et PBA.
Dans le triangle AZB on aurait les trois côtés, on calculerait
les angles ZAB et ZBA , on aurait PAZ— PAB ZAB et PBZ
^ZBA-PBA; alors dans le triangle PAZ on aurait les côtés PA , ZA et I angle compris, on calculerait PZ , APZ anele ho raire et PZA azimut : S
Dans le triangle PBZ on aurait PBZ, PB et ZB on Calculerait PBZ , PZ et PZB.
aie ASTRONOMIE.
Il est presque impossible que les observations soient simultanées, s'il y a un intervalle entre les deux ; il faut de plus une attention qui n’est pas difficile.
Quand on a observé Zli , l'étoile A aurait eu la distance ZA, ai les deux observations eussent été faites au même instant , si l'observation Z A a eu lieu une heure après, A sera descendu en A' à la distance ZA' qui a été observée, l’angle sera BP A', = (4f'— 4l+i5°t), t étant l’intervalle écoulé; avec cet angle, vous calculerez A'B et le triangle ZBA'.
Si l’observation a eu lieu une heure avant , A' sera entre B et A et l'angle sera ( 4V — 41 — 1 5° t ) ; ainsi les données générales du problème sont PB, PA et l’angle (4C — JL±zi5°t) le signe + ; si l’observation de A a suivi celle de B , le signe — si elle a précédé, si l’intervalle est nul t~o et l’angle (A' — yft) 41' est l’ascension droite de l’étoile B, .41 celle de l’étoile A. On suppose les observations faites après le passage au méridien.
n. Si l’on est pas sûr de son instrument, on observera les deux étoiles à la même distance zénitale , on aura (Kg. 64)
cos ZB = cos ZPB sin PZ cos PB + cos PZ cos PB cos ZC = cos ZPC sin PZ sin PC -J- cos PZ cos PC ,
d’oà par la soustraction ,
o= cosH (cos P cosD — cosP'cos D')+sinIl (sin D — sin D'),
,, cos P cos D — cos P' cos D'
et tang H = =r — pn
sin D — sin D
Soit P=i (P'+P)- i (P— P) et P'= i (F+P) + 1 (P'-P) , il viendra
tang H = tang { (D'+D) cos J- (P'+P) cos i( P'— P)
+cotKD'-D) sin i (P'+P) sin i (P'-P), ou
tang;(D'-P)tangH ’
v sin i (P — P) * 1 + '
+jang i (D'— D) tang i (D'+D) cot { (F—P) cos £ (P'+P) - sini ( P'+P) + tang x cos J (P'+P) ,
ai 1
sm x cos
i (F -j- P) 4- cos xsin I ÇP'-f- P) 5,0 k“T~ +X)
d'où
et
» i /tv
co s a:
/P'-f-P \ tang ;(D— D)tangHcosr
\ a / sin- (F— P)
on aura donc l‘angle horaire pour le milieu de l’intervalle par ces deux formules quand on aura fait
tang x= tang i (iy— D) tang i (D'-j-D) cot j (F— P).
On connaît î ( F — P) par l’intervalle écoulé et la différence d’ascension droite , car (P' — P) = (At — t), le signe •+• si l’étoile .41 a été observée la première , le signe — si l’étoile Æ a été observée la dernière ; Æ, D , P appartiennent à l’étoite plus avancée en ascension droite , jR' , D' , F à celle qui l’est moins.
Connaissant ; ( F-f-P) et j ( P' — P) , on aura P et P'; on pourra calculer les distances égales ZA , ZC , les comparer aux distances observées et connaître l’erreur de l'instrument.
ta. Une étoile circompolaire peut être observée deux fois dans un jour au même vertical ; chacune des deux observations peut donner l’azimut de ce vertical; ainsi l’on aura (Gg. 65)
cotZ=8‘n*v cosPA — coaPZcotP=S‘n^>.p cotPA' — cosPZ cotP'; sia P sin P
et comme PA' = PA on aura
cos PZ ( cot P'— cot P ):=sin PZ cot PA ,
v \sm P sm P /
cos PZ sin (P— P') sinPZ cot P A ( sinP — sin P' )
sin P fin P' sin P sin P' #
»in(P — P')= tang PZ cot PA asin j (P — P') cos ; (P-f-P') ,
coiî (P— P')= cotHtangDcos i(P-fP'), ,»
ou
cos ; (P-f P') = cos i (P— P'} cot D tang H.
413 ' astronomie.
i3. Ainsi, quand on aura observé l'intervalle des deux pas-^ sages au même vertical, on connaîtra { (P — P'), on en conclura î (P-j-P'|)et l’on $ura deux manières de calculer l’azimut Z. Si l’observation s’est faite à une lunette méridienne qui n’est pas exactement dan* le méridien, vous pourrez calculer la déviation Z. Si elle est dans le méridien , vous aurez cos { ( P — PO = cos oo° = o cos i ( P-f-P' ) = o et les deux angles horaires seront o -f- i8o°.
Si la lunette est hors du méridien , vous l’en rapprocherez jusqu’à ce que l’intervalle des deux passages d’une même étoile soit exactement de ia heures.
i4- Plus l’azimut Z sera grand , moindre sera l’intervalle entre les deux passages ; si le vertical est tangent au parallèle de l’étoile , les deux passages se réduiront à un seul. Au point de contingence le parallèle et le vertical se confondront , le triangle PZA sera droit en A , vous aurez
tang P A = cos P tang PZ; cos P=cot D tangH.
Cet angle P vous donnera l’instant où le mouvement de l’étoile se confond avec le vertical , et par conséquent l’instant où le mouvement en hauteur est le plut rapide ; mais pour cela il faut, comme on voit, que PA soit moindre que PZ; si PA = PZ le point de contingence est au zénit car P = 0 à l’instant du passage au méridien , et le mouvement est tout entier dans le sens de la hauteur.
i5. Si PA > PZ , le mouvement sera toujours oblique par rapport au vertical , il fera avec le vertical un angle d’autant plus grand, que l’astre approchera plus du méridien. Ce sera donc aux environs du premier vertical qu’il faudra observer la hauteur *pour en conclure l’heure, si l’on veut avoir la précision la plus grande. En effet, l’angle du mouvement avec le vertical est complément de l’angle du cercle de déclinaison avec le vertical; soit a l’angle que fait la direction du mouvement avec le vertical
cos <z : sin PZ G sia Z : sin PA ;
LEÇON IX. ’ ai3
sinPZ sin Z cos H sin Z .
COS a — : — vt-t = =r ,
sin PA cosD
cos a sera d’autant plus grand et a d'autant plus petit que Z sera plus grand ; car est une quantité constante pour
un même astre.
îS. Au lieu d'observer l'étoile deux fois dans un même vertical, on peut chercher l'heure par l’observation de deux étoiles dans un même vertical. On peut avec un fil à plomb suspendu devant l’œil , observer l'instant où une étoile circompolaire brillante se trouve dans le même vertical que la polaire; pour en déduire l’heure sidérale (fig. G6),
Soit A la polaire , B une autre étoile quelconque , ZAB le vertical commun; du pôle abaissez l’arc perpendiculaire PQ, faites a^APEss^®.'— -.Al; çr=APQ; a>-f-p=BPQ; 4 = QPZ* vous aurez
tangPQ=tangPB cos (a-f-ç) = tangPAcos^=tangPZ cos 4, = cot D' cos (a -+- 9 ) = cot D cos <p— cot H cos 4, .
d'où
tang D' cotD = tang ç = cot ® —
(cos«-f-0) cos <p
tang D7 cot D sin»
cos a — sin « tang y ;
zz cot » — cot y —
sin (y — ») sin a sin y
et
cos 4 =tang II cot D' cos (»-f-q>)*=tang II cot D cos <p ; enfin
mais faites
= + <p ) et développez,
yous aurez
tang (| » -f ip) = cos 4 comme ci-dessus.
sin ( D — D') cot J»> sin (D+D7) *
astronomie.
et î P = -f- ( » -J- p ) passage inférieur ,
P = 4 — ( a> + p ) passage supérieur.
Ces dernières formules sont de Lambert.
17. Si la hauteur du pôle était nulle, les deux pôles seraient dans l’horizon , l’équateur et ses parallèles seraient perpendiculaires à l’horizon , tous les astres se lèveraient perpendiculairement , parce qu’à l'horizon leurs parallèles se confondraient avec le vertical , l’équateur serait lui-même un vertical. On dirait alors que la sphère est droite, au lieu que dans toutes les régions où l’équateur est oblique à l'horizon , on dit que la sphère est oblique.
1 8. Soit (fig. 67) PZP' le méridien P et P', les deux pôlesdans l’horizon PEP' , QEZ l’équateur , VS l'écliptique, S le lieu du soleil , menez le cercle de déclinaison PSQP' par le lieu du soleil , le point Q de l’équateur tournera en même tenus que le soleil autour des deux pôles ; il arrivera à l’horizon en E, quand le sofeil sera à l’horizon en S'; il passera au méridien en Z, quand le soleil y passera en S". Le point Qde l’équateur, déterminé par le cercle de déclinaison PSQ, indiquera donc le lever ou l’ascension du soleil sur l’horizon de la sphère droite ; c’est de là que l’arc TQ de l’équateur a reçu chez les Grecs le nom d'ascension dans la sphère droite. Les modernes , en abrégeant l’expression , ont dit que l’arc TQ est l’ascension droite du point S de l’écliptique.
Ce point Q se trouvera avec le soleil , non-seulement dan3 l’horizon de la sphère droite , mais dans un cercle horaire quelconque , et dans le méridien ; il marquera donc le passage du soleil au méridien , non-seulement dans la sphère droite , mais dans une position quelconque de la sphère. C’est pour cela que les ternies d’ascension droite et de passage au méridien sont synonimes dans l’astronomie , tant ancienne que moderne.
19. Dans la sphère oblique le point Q n'indique pas le lever, le soleil S se lève avec un autre point qui s’appelle f ascension oblique , c’est-à-dire l’ascension dans la sphère oblique. L’ascension oblique diffère de l’ascension droite , la diffé-
LEÇON IX. ai5
rence de ces deux ascensions est la dilférence ascensionnelle ; l'ascension droite TQ se trouve en faisant
tan g Al=tang YQ= cos a tang TS = cos u tang©.
20. Pour trouver l'ascension oblique (fig. G8 ) , soit RPMH le méridien, MEDI l’équateur, FAOS l’écliptique. Le point O de l’écliptique passera à l’horizon avec le point E de l’équateur ; il passera au méridien avec le point B du cercle de déclinaison POB , AE sera l’ascension oblique de O , AB sera l’ascension droite de O , BE = AB — AE = différence ascensionnelle , or
sin EB tang OEB =tang BO ,
sin EB = tang BO cot OEB = tang D tang H.
Ainsi, pour connaître l’ascension oblique AE, il faut calculer l’ascension droite AB et la différence ascensionnelle EB. /
Soit une étoile quelconque T qui est à l’horizon en même tems que le point E de l’équateur,
sin EI=tang TI cot TEI = tang D tang H.
El sera la différence ascensionnelle de T dont l’ascension droite est AI et l’ascension oblique AE ; la règle est donc générale.
Ascension oblique t= ascension droite — différence ascensionnelle. Soit <f Al la différence ascensionnelle,
Al — dÆ = ascension oblique d’un point de l’écliptique ,
Al' — dAl' = ascension oblique d’un autre point,
( Al'— dAl' )— (Al— dAl)=(Al'— Al)— (dAV— dAl) = différence d’ascension oblique de deux points de l’écliptique ,
= tems que l’arc de l'écliptique emploie à traverser l’horizon dans la sphère oblique.
En effet, si le point O se lève avec le point E, et le point S avec le point E' , l’intervalle sera évidemment marqué par l’arc EE' de l’équateur.
ai. La différence ascensionnelle sert encore à trouver le lever ou le coucher héliaque. On appelle ainsi le tems où
l'on commence , et le tems où l’on cesse d'apercevoir une étoile le matin ou le soir à l’horizon dans le voisinage du soleil.
Soit (fig. 69) une étoile N qu’on aperçoit à l’horizon le matin quand le soleil est encore en S abaissé de l’arc MS au-dessous do l’horizon. Nous aurons sin RV=sin différence ascensionnelle, sin dAl ~ tang D tang H ; nous connaissons TY = jH, nous aurons TR = ascension oblique =>4t — dyfi.
Le triangle TRO où nous connaissons deux angles et le côté compris TR, donnera
cot TO = cot B=cos a cot(Al — fL4l)
sin « tang H sin (jR— cL4t)’
Nous aurons la longitude TO du point orient; nous connaissons pour l’instant la longitude Q =TS, nous aurons
