ot;R
* =9o»4-5e+e3+S7pg e'-f-etc.
E5 — etc.
Ces formules peuvent être utiles pour trouver l’excentricité par la plus grande équation observée.
5G. D’un point quelconque ( fig. 78) , menons aux deux foyers de l’ellipse les droites MF et MT, et partageons également l’angle FMT par la ligne MN.
MT
LEÇON X. a57
MT:MF::TN:FN::TC-f.CN:FC— CN ::e+y.e— y mt+mf : MT— MF: : 2e : 3J, , n:V— a +v::a:aV — a::i:v — i::e:y = e (Y— i )
= e (i-f-e cos x — i)= e* cos x,
c -4-y = e + eV— e=eW =TN et^=Ç = e, de N abaissez la perpendiculaire NP sur MT,
NP
tar,6NMT=4-=r
TN sin NOM
MP MT— TN cos NCM
e sin u i — e cos u ’
ÿjip sin NCM
I— mtcosNCM
NMT = esin u -J- i e’ siu a u -f" 3 e3 sin 3 u ,
Fangle au foyer supérieur
AFM = FTM + FMT= u -f a NMT
= u -f- a e sin u -f- j e* sin a u -f- | e3 sin 3 u ;
mais
z = u a e sin u -|* * «* **“ a « +7 «3 sin 3 b , AFM — z ^ e* sin a u -f- 7 e3 sin 3u.
C'est l’erreur de l’hypothèse elliptique simple; elle irait à 54* i pour une ellipse dont l’excentricité serait o,a5; elle ne va pas à i5" pour le soleil.
Par le point M , menez Mi perpendiculaire à MN , Mi sera la tangente à l'ellipse , donc
TMi = 90* — e sin u — i ea sin au — i e3sin 3u — etc. ‘
dont TMT est un angle aigu dans la première moitié de l’ellipse , depuis l’apogée jusqu'au périgée ; il est obtus dans l'autre moitié. Donc dans l’ellipse le mouvement doit s’accélérer , et la distance diminuer dans la première moitié ; le mouvement doit se retarder , et la distance augmenter dans l'autre moitié (3c).
5y. Dans le cercle l’angle reste toujours droit , le mouvement est toujours le même , la force tangentielle ou cen-
a 58 , ASTRONOMIE,
trifuge est exactement contrebalancée par 1a force centrale on centripète qui attire l'astre. Mais supposons que la force tangeatielle soit tant soit peu moindre , la force attractive prévaudra, la planète descendra vers le foyer, la courbure sera plus grande que celle d’un cercle, l’angle, au lieu de rester droit, deviendra aigu ; la distance diminuera, le mouvement s'accélérera, c'est ce qui arrive dans l'ellipse jusqu’au périhélie ; mais à force de s’accélérer , le mouvement fera que la force tangentielle qui était un peu plus petite que la force attractive, commencera à prendre le dessus, la distance augmentera , l'angle deviendra obtus , le mouvement diminuera jusqu'à ce qu’à l’aphélie il soit redevenu tel qutf’la force tangentieile sera de nouveau inférieure à la force attractive; ainsi l'attraction combinée avec une force tangentielle un peu moindre fait décrire une ellipse à la planète; mais sans que l'attraction cesse , les distances décroîtront et croîtront alternativement , le mouvement s'accélérera et se retardera.
Ainsi, pour que le soleil décrivît un cercle, il faudrait que la force attactive a , que la terre exercerait sur lui , fût = ~ tang* i* (147")*; 147" est le mouvement horaire moyen. On connaît donc a.
Dans l'apogée -- > } tang* 1 * ( mouvement apogée )* , (*■*■*}
l'angle devient aigu et le mouvement s’accélère' (3o).
Danslepérigée^— —
< i tang1 i* ( mouvement périgée )*
la distance augmente et l'angle devient obtus , le mouvement ■e ralentit (3o).
La force centripète et la force centrifuge sout à peu près égales, la force centripète varie peu; elle ne change guère que de4 ae, quantité fort petite; (mouvement horaire vrai)* varie plus considérablement , ensorte que le second membre A tang* i* ^mouvement vrai)* est alternativement plus faible et plus fort. A.' observation donne le mouvement horaire vrai dans toutes
LEÇON X. a5q
les parties de l’ellipse; c’est un fait que le mouvement est alternativement trop grand et trop petit pour que le soleil se maintienne à la même distance de la terre ; il s’éloigne donc ou se rapproche , la conséquence est nécessaire.
Ceci répond aux objections de Bouillaud , qni reprochait à Képler d'avoir donné au soleil une force attractive dans une moitié de l’ellipse, et une force répulsive dans l’autre moitié. La force attractive existe toujours , mais elle est tantôt dominante et tantôt dominée; elle domine quand elle est réellement plus faible , mais c’est qu’elle est relativement la plus forte ; elle est dominée quand elle est réellement la plus forte , mais c'est quelle est alors relativement la plus faible ; elle ne varie que d'une manière insensible, la force tangentielle , au contraire , varie bien davantage : ainsi tout est expliqué, c’està-dire, que les effets observés dépendent d’une combinaison qui n’est nullement impossible et dont l’existence est prouvée par ces effets mêmes.
58. Après cette théorie générale des mouvemens elliptiques, retournons au soleil.
Les distances au foyer sont égales à pareilles distances angulaires de part et d'autre, soit de l’apogée, soit du périgée,
puisque Y =s ^ ; quand les distances sont égales , les
diamètres apparens sont égaux ; ainsi quand on aura observé deux diamètres égaux en deux peints différens de l’ellipse, on en conclura que dans le milieu de l’intervalle le soleil a passé par l’apogée ou le périgée ; à égales distances de l’apogée ou du périgée , les mouvemens horaire; ou diurnes sont égaux ;
, abdz . . ,
car nous avons vu que du = ~\î~ > ainsi quand nous aurons
observé des mouvemens diurnes égaux en deux points de l'ellipse , nous en conclurons comme ci-dessus le tems et le lieu, soit de l’apogée, soit du périgée.
5g. En répétant après 600 ans des observations équivalentes, Albatêgnius s'aperçut que l'apogée du soleil avait un mouvement propre de 11 i ta* par an, suivant Poulie des
signes ; l'équinoxe rétrograde de 5o", i par an . Ainsi, la distance
de l’apogée à l’équinoxe augmente de 63" par an»
La méthode des anciens pour trouver à la fois l'excentricité et l'apogée, supposait des observations distantes de six mois, et l’apogée fixe ; elle ne pouvait donner le lieu de l’apogée qu’à quelques secondes près, puisqu’en six mois l'apogée avait avancé de 3T. D'ailleurs cette méthode supposait l’épicycle ou l’excentrique, qui ne sont pas la vraie courbe. Voici une méthode dont la première idée çst due à Kepler , mais qui a été perfectionnée par La Caille.
ho. Vers le maximum les variations sont insensibles ; ainsi le mouvement apogée est sensiblement le même pendant plusieurs jours. Il en est de même du mouvement périgée.
On a observé le soleil en B vers l’apogée (Gg. 80). Soit a le mouvement diurne apogée et x le terns qui a dû s’écouler jusqu’à l’apogée, T-4- x sera le teins du passage par l’apogée et axsera l’arc AB. VTB-f-ax ou B-f-ar sera la longitude de l’apogée.
Vers le périgée , vous observerez la longitude C ou T'TC comptée de l’équinoxe mobile V' ; pour la réduire à l’équinoxe primitif T , vous en retrancherez l’angle T'TT = a5" mouvement de précession en 6 mois. Ainsi VTC=V'TC — a5'=C— a5".
L’angle BTC des rayons vecteurs sera C — B — 25'; si l’apside AP était immobile , la distance au périgée serait CP ; mais en 6 mois l’apogée aura avancé de 6" , il sera en p.
Soit y le tems qui doit s'écouler jusqu’au passage en p , x le mouvement périgée , nous aurons xy=Cp : T'-J-y sera le tems du passage en p.
C — a5"+7iy'=:longit. p; C— aS'-f-iry — G' = longitude P = C — 3i " + xy;
1800 =longit. P — longit. A—C — 3T-J- xy — B — ax; iry—ax =i8o°-l-B — C-f-3i'; mais x]>n soit x a—a-\-ma,
ay-^-may — ax = moy4- a {y — x)= i8o°-l- B — C-+-3T =180° o' 3T-f-I3 — C; mayxx i8o°o' 3T-J-B — C — a(y — x);
LEÇON X. aGz
180° o' Zi" B — C y — x
ma m
l8o°of3il,+ B — C — a(£ R-f-T — T')
ma = x — a *
Car le tems du périgée = T' -+• y , le teins de l’apogée = T -+- x ,
; révolution = T' — T -h (y — x) ,
y — x=iR+T-r.
Nous connaissons B, C , a , T', T , x — a , si nous connaissions R , il ne nous manquerait rien pour connaître^, xr=T' -—T — £R; ax , longit. A = B-f-ax, c’est-à-dire la
longitude de l’apogée dans la première observation , celle de p — 180° -f- x-4- 6* ; enGn T'-+y et T -f-x les teras des deux passages, et le problème serait résolu. Or 36o° — Bo#,i : 36o° + n*, 8 ” durée de l’année tropique ; tems de la révolution du soleil sur son ellipse =R=
35 ~u 5q' g" ) ® 49 nous trouverions ainsi
R = 365' 6* 10' ai* et i R = 18a' i5*5' io".
En effet , il est évident |que le soleil partant de l’apogée \ pour y revenir, auraà décrire 36o° plus les u",8 de mouvement de l’apogée en un an ; tandis que pour revenir à l’équinoxe il n’a à parcourir que 35j)° 5ç)' 9", 9 ; les tems sont proportionnels aux espaces.
. bdz . ^[(«4-g)*—
(t+e)1’ C*— O1' (•— e)\i+eT
4ebclz 4edz( 1 — e*) * 4e(^z (• — <*)* fadz
a __(i -e)\ / x \ __ bdz (1— e«)*
» — a 4e ' — a/ (1 — e)1 4edz
(»-eT(»-ef (»-«*)‘ (»— (i-f-e)--
aSa ASTRONOMIE.
Les roonvemens apogée et périgée suffisent donc pour donner une idée de Texcentricité.
L’observation des diamètres fournit un autre moyen. Soit d le diamètre apogée , D le diamètre périgée , $• le diamètre moyen.
et e* D+2’
6a. La plus grande équation a lieu dans les deux points de l’ellipse, où du — dz\ la différence entre les deux longitudes donnerait le double de la plus grande équation. Ou aurait dans l’une u = Z — E , dans l'autre u' = Z'-+-E,
u'— u = (Z' — Z) + aE , aE = (u !—u) — (Z— Z) , E =
Si l’on a observé deux longitudes , on aura les deux équations
Z = u -f- « sin u -f- b sinau -f- c sin 3u ,
Z'= u'-f- a sin u1 - f- b sin au' -J- c sin3u'.
(Z' — Z) — (a' — u) = a(sina' — sinu) 4- A^inau'— sinau)
-f- c(sin3u' — sin3u)
= aasin -j (u — u)cos J- (u'4-u)
-f- aisin | (u' — u)cos l (u'4-u)
