Mais supposons que nous n’eussions eu aucune idée de

la parallaxe, et que nous eussions été obligé de la négliger

au méridien, j’ai trouvé qu’on aurait encore fort exactement

la parallaxe horizontale, par la formule

sin(N-f-p)-

sinN

(coslIsinA — sinHcosAcosP)-f- ; sin-arsin-’/icotN

(N-f-p) est toujours la distance observée près de l’horizon, N la distance calculée , n la distance dans le méridien.

On négligerait d’abord le petit terme i sin sin3 n cot N » pour avoir une première valeur de sr avec laquelle on calculerait le petit terme, pour l’ajouter au dénominateur.

On aura de cette manière, à quelques secondes près, la parallaxe horizontale pour l’instant de l’observation ; par la parallaxe comparée au diamètre observé, on connaîtra la rapport constant de la parallaxe au diamètre , et en répétant ces opérations plusieurs fois dans le même mois , on aura ces diverses quantités avec une précision assez grande.

45. C’est ainsi que les anciens auraient pu déterminer la parallaxe, s’ils avaient eu de meilleurs instrumens; c’est ainsi qu’on pourrait encore la vérifier aujourd’hui, si l’on n'avait pas de meilleures méthodes. Telle est entre autres celle de La Caille : elle suppose deux observateurs placés à la plus grande distance possible sur le globe, et à peu près dans la même méridien.

4S. Soit C le Cap de Bonne-Espérance (fig. 89) , et Z son zénit; B Berlin, et Z' son zénit , L la lune. Un observateur au centre de la terre , observerait ZKL distance de la lune au zénit du Cap , et Z'KL au zénit de Berlin ; la somme ZKZ' serait la différence des deux latitudes : mais les distances observées seront

ZCL = ZKL -+- CLK Z'BL = Z'KL 4- BLK

Somme ZCL + Z'BL = ZKZ'-f- CLK 4- BLK

== ZCZ'-f « (sin ZCL + sin Z'BL) ,

N + N' = H •+■ H' 4- « (sin N 4- sin N'),

* ~ 2 sin 4 (N - N') cos i (N 4- N')*

On suppose les deux observations simultanées et les deux observateurs sous le même méridien : s’il y a une petite différence, on calcule de combien la distance polaire de la lune a dû changer dans l’intervalle des observations. Soit </N ce changement, on emploie (N -f-N'4-dN) au lieu de (N 4- N'). Je suppose que dN ait rapproché la lune du zénit du second observateur j si le contraire a lieu, on fait dN négatif.

47. La Caille , en partant pour le Cap , avertit tous les astronomes de son projet , en les invitant à observer de leur côté tous les passages de la lune au méridien; Bradley , Wargentin firent des observations correspondantes. Lalande fit tout exprès le voyage de Berlin , avec le mural de Lemonnier. La Caille, à son retour, calcula toutes ces observations, et en déduisit la parallaxe, eu tenant compte de

l'aplatissement de la terre, ce qui se réduit à faire JÏ-f-N' = somme des deux latiiudes géocentriques (VI. 33) , et à mettre çsinN et {'sin N' au lieu de sinN et sinN', c’est-àdire à faire ç sin N — sin A , {' sin N' = sin B , et

(N 4- N') — (H — <i4-ir — a)

m asm à (A — B) cos i (A + B)

48. Duséjour a refait tous ces calculs par ses méthodes, et il a trouvé que la parallaxe devait être connue à fort peu près à la seconde. J’ai refait tous les calculs de Duséjour par les formules précédentes, qui sont beaucoup plus expéditives et au moins aussi sûres , et j’ai retrouvé avec beaucoup moins de peine exactement les memes résultats.

4g. Le rapport du demi-diamètre à la parallaxe est le rapport du rayon du globe lunaire au rayon du globe terrestre;

ce rapport est a fort peu près î ( ) ( 4° ) = -

= 0.27292; le rapport des surfaces sera donc (o.ayaga)* = 0.074484; celui des volumes (o.272ga)ï = o,oao3a8, ou en fractions ordinaires,

3,3b'4t 10,0923* i3,4aG 4°»278’ 49»t95’

le rapport des masses dépend ensuite des densités.

5o. Nous somme.' en état maintenant de calculer les observations de la lune au méridien, d’en conclure les ascensions droites et les déclinaisons vraies, et par conséquent les longitudes et les latitudes. Nous aurons le mouvement vrai entre chaque paire d’observations, et nous verrons que ce mouvement est très-inégal ; nous trouverons que la lune est presque toujours ou au-dessus ou au-dessous de l’écliptique, que son orbite coupe l’écliptique en deux points qu’il s’agit de déterminer , et que cette orbite fait avec l’écliptique un angle d’environ 5° qu’il faut aussi déterminer avec plus de précision.

5t. Parmi nos observations, choisissons les deux plu? voisines du passage pfcr l’écliptique. Soient L et V, fig. go, les

deux lieux de la lune ; LA , Y B les deux latitudes, l’une boréale et l’autre australe , et AB le mouvement en longitude :

tang AL = tangC sia AC ; tang VB = tangC sinBC,

.. , „.D sin(AL-fVB)

tang AL -f- tang VB = -T„

° ' 0 cosALcosvB

= atangC sin (AC BC) cos | (AC — BC) ;

donc

sin (AL + BV)

tang C acoS'jCAC — BC) cos AL cosBV sin £ (AC + BC )

accs a cos a' sin 5 AB cos £ (AC — BC)'

De plus ,

= t3nSAL :tanSBV :: ®nAC : sinBC;

tang AL -f- tang BV : tang AL — tang BV ” sin AC + sinBC ; sin AC — - sin BC ,

sin (AL -f- BV) : sin (AL — BV) : : tang ; (AC -f- BC)

: tang i (AC — BC) sin(\ + A') :sin(\ — a') ” tang j AB

5a. Nous aurons donc à la fois la longitude du point C; qui sera celle du nœud et l’inclinaison C de l’orbite ; mais le nœud sera mieux déterminé que l’inclinaison.

Les deux nœuds de l’orbite lunaire , comme ceux de toute autre orbite , s’appellent l’un ascendant , «» , qui fait monter au-dessus , et l’autre descendant , K*r*j3i/3*Çv* , qui fait descendre au-dessous; l’un se désigne par le symbole $ , l’autre par le symbole y • Les nœuds de la lune s’appelaient anciennement la télé et la queue du dragon.

53. Si nous faisons des observations pareilles à chacun des passages de la lune par son nœud , nous trouverons que le nœud rétrograde de 1° a8' par mois lunaire , ensorte qu’en comparant des observations éloignées , ce mouvement rétro-;

3ao ASTRONOMIE.

grade se trouvera de 1 90 1 9' fi" par au , et que le nœud fait le tour du ciel en 6798 jours.

On trouvera que l'inclinaison est sujette à plusieurs inégalités, et que la principale, qui a été découverte par Tycho, est d’environ 8' 3, puisque l’inclinaison va de 5° à 5° 17'; nous pouvons, en attendant , supposer 5® 8'.

54. Le mouvement sur l’écliptique n’est donc pas le véritable mouvement de la lune. Il faut réduire chaque longitude à l’orbite, eu y ajoutant (IV. 69).

tan5*’Isina((Ç— Q) sin 1"

tang^Isin 4 ((£—&)

sin a"

+ etc. ,

ou -f-7' 4",iôsin2((£— Q) +o",4ab'a sin4((£ — Q).

55. Donnons encore un moyen pour déterminer la parallaxe et l’inclinaison tout à-la-fois.

Ou choisira le tems où le nœud de la lune se trouve dans l’équateur à l’un des deux points équinoxiaux, ce qui arrive tous les neuf ans.

Soit EQ l’équateur (lig. 91), ECQ l’écliptique, ELQ l’orbite de la lune , Z le zénit , ZA = H , ZC— ZA — AC=H — a> t ZL = ZA — AC — CL = H — w — I.

La parallaxe abaissera la lune en l , d’une quantité

L/ = ir sin Z / = «• sin N , d’où

Z/ = N=H — a — I-j-'iasinN et I=H — » — N -f- -3 sin N,

Quinze jours après, dans la partie australe de l’orbite , on aura '/il' ou

N' = H4.* + I.f<ar'sinN' et I = N' — H — « — «'sin N'.

Retranchant la première équation de la seconde , il viendra

N' + N — ail — <3' sin N' — n sin N = o :

,s' ! * t; S' £ \ donc <a/

donc

LEÇON XIY.

o = N' -f- N — 2H — tb Ç ~ sin N' -j- sin N^

= N' + N — aN — ( sin N" + sin N )

= (N'+ N) — aH — air sin i (N*-f-N) cos ; (NB— N)

N' + N — aH

W “ asin i (N*+ N ) cos KN* — N )*

La parallaxe ainsi connue, on aura l’inclinaison par l’une des deux équations primitives.

56. Cette méthode , qu’on appelle celle des plu3 grandes latitudes , a fort bien réussi à Lemonnier. Ptolémée n’avait pas été aussi heureux ; on peut être fort étonné qu’il s’y soit trompé si considérablement ; elle suppose à la vérité que la lune est à la fois au méridien , à qo° des nœuds , et le nœud au point équinoxial. Ces circonstances difficiles à réunir dans l’une des deux observations sont tout-à-fait impossibles à réunir dans les deux. 11 faut donc ajouter quelques considérations nouvelles, pour ne rien supposer qu’on ne puisse obtenir tous les neuf ans.

57. Soit donc Ta l’équateur (Gg. qa) , TC-^ l’écliptiquç, Ç^L£3 l’orbite de la lune , Z le zénit , Zu=dist. zénit. observée au méridien=N, P le pôle, PZ lua le cercle de déclinaison; /u='®-sinN,

Z u= N = Za — cZ-f-'jrsinN = Za— ac— cl-f-'a-sinN = H — D — cL-j-'srsinN.

En nommant D la déclinaison du point c de l’écliptique , nous avons

tang ac = tangD = tang* sinT a = tang* sinÆ.(£ , tangl sin Qc

tang cl —

sine -j- cos c cosQc tangl

= tang E.

Nous connaissons assez bien I et Q pour calculer E, qui est un petit arc ; nous avons

sin Ta sin JR

cote = tang • cos Te , c = -?Tc = ^ *

cos c = sin» cosT a = sin* cosyfl, sin Qc= sin(90°-|- S(l) >

donc

tang E = - —

° sin A\

tangl cos Q

4* sin « cos JR cos (90°+ j^)tangl

cos Q

tangl co>*Q

sin At — sin» cos JRsin ^ cos Q tang l" On voit que E différera peu de I ; nous aurons donc

N — II — D — E + tr sin N.

Une seconde observation faite quatorze ou quinze jours après la première, donnera

N' = 11 + D'+ E'+'o'sinN',

N'+N = ali— (D— D') — (E— E') + «srsinN + VsinN', (N+N') — 2II +(D — D') + (E— E')

* ~ ssinKiT+N) cos i (N '—N )

E et E' différeront très-peu de (I — I') et se détruiront presqu’entièrement j on aura donc ir fort exactement ; mais il serait bon pourtant de connaître un peu les inégalités principales de la latitude, pour en dépouiller IV et N'.

58. Cherchons d’abord celles de la longitude, et commençons par l’excentricité.

Nous y emploierons, avec quelques modifications, la méthode qui a réussi pour le soleil.

Soit Z, Z', Z" trois anomalies moyennes inconnues, (u — p ), u , (u + q) les trois anomalies vraies inconnues ■, on sait feulement que

Z = (u — p) + a sin (u — p) + R , Z' = u + a sin u + R',

Z"— (u + q) + asin(u+q) +R";

en désignant par R, R', R" les petits termes de l’équation du centre ,

Z'— Z =p + « Cs‘r u — s‘nC“ — /03 4- R' — R ,

Z" — Z' ~ g -f- fi j^sin (u -f- g ) — sin uj -f- R" — R',

Z' — Z — p— (R' — R ) — ausiu jpcos Jpcos[/-f-'?a*ineipMnu, Z" — Z' — g (R* — II') = nusinJgcosigcosu — nasiu^gsinu , Z'— Z— p— (R— R) sin p