a cos u

a cos u -f- a tang ’ p sin ti, «tangàg sinu ,

(Z' — Z — p) , (Z" — Z' — g) sont les différences de« mouvemcns moyens aux mouv. vrais en longit. (M' — M) — (L' — L) , etc.

p = mouv. vrai en loogit. — mouv. apogée = L' — L — m, <] — L" — L' — n ;

ainsi

(M' — M) — (L' sin (L'— (M" — M') — ( L'an (L*-

-L')— (R"— R') L' — nj

=acosu-f-asinutang|-(L' — L — m) =acosu — asinutang7(L" — L' — n)

Ces deux équations donneront (acosi/) et (asinu), tang u et a ; le calcul sera du reste le même que pour le soleil.

5q. INous combinerons ainsi trois à trois differentes observations de la lune, et nous serons surpris de Irouver pour a des quantités assez différentes ; un peu de réflexion nous fera penser que ces différences doivent venir des pertu. bâtions.

La lune a fourni la première preuve de la pesanteur universelle. C’est un fait constaté , que par l’effet de la pesanteur, un corps élevé de a1, 6173 au-dessus de la terre, y tombe en une seconde de teins j si tel est l’elfet de la pesanteur à cette distance du centre de la terre , nous pouvons calculer ce qu’il serait à la distance de la lunej car l'effet de la pesanteur est en raison inverse du carré des distances.

La distance de la lune à la terre = -■ . : l’effet de la

sin 07 ’

pesanteur dans la région de la lune sera

ni..

* a',5 1 73 sin1 57' = o . 000693 ;

voyons maintenant de combien la lune tombe en efTet vers la terre, en 1" de tems.

La chute d'une planète qui décrit un cercle est (X. 27)

ir&fcO'tangV; r = du = 5s", 94 = o’^go ,

i rtang“i (o. 54g)* = 0.000699 »

à très-peu près comme ci-dessus.

Donc la lune pèse sur la terre à la manière des graves; c’est ce calcul qui a conduit Newton à la loi de la pesanteur universelle.

60. Si la terre agit aussi sensiblement sur la lune, le soleil, qui est un million de fois plus gros , doit encore agir sensiblement, quoiqu’il soit près de 400 fois plus éloigné; et s’il avait

meme densité que la terre , son action serait —?r-i = ,

iboocc îb

environ 6 fois aussi forte; d’où il résulte qu’il est d’une densité moindre , mais dont l’effet cependant est probablement très-sensible , puisqu’il agit sur la terre pour lui faire décrire son ellipse.

61. Le soleil en S (Gg. g3) attire la terre T, la distance à la lune devient fL et au lieu de TL, l’angle LTS devient LtS; il augmente de

TLt = (jft) sin T + i sin aT -f etc.

Le soleil attire la lune de L en l ; l’angle en t diminue de LU — sin L -f- -J Çjj) s‘n + etc.

“(ïOSinT — ’(ïe) siû2T + etc i

car T= 180° — L à fort peu près. La différence de ces deux effets est de la forme

sin aT + etc.

3aB

Or TL rayon vecteur de la lune = 1 -f-ecos A-j-etc A étant l’anomalie moyenne de la lune ,

z= î — e cos A -{- e* cos* A — e3 cos3 A -f- etc.

Sin T et sinaT seront multipliés par cos A et ses puissances •, en développant ces termes , il en naîtra des teymes dépendans de (T-j-A) et (T — A), T-f-aA et T— aA-+-etc. , (aT-f-A) et (aT— A) + etc.

T est la différence vraie des longitudes du soleil et de la terre ; si l’on veut mettre a la place de T l'angle moyen T — somme des inégalités, les développemens deviendront plus longs et plus difficiles. Mais on voit quels seront les principaux arguraens des inégalités; on peut même soupçonner que les termes dépendans de (aT — A) pourraient être les plus sensibles , parce que (6 — n) sont deux valeurs à pe* près égales qui se détruiront presqu’entièrement.

6a. La distance de la terre au soleil est m(i -f- ecosa), a étant l’anomalie moyenne du soleil ; cette anomalie se combinera donc avec tous les argumens précédens.

63. L'orbite de la lune est inclinée à l’écliptique d’un angle de 5° ; cette inclinaison modifiera les effets de l’attraction , selon la latitude qui dépend de la distance au Q ■ la longitude du nœud se combinera donc aussi dans les développemens , avec tous les argumens précédens.

Les principales inégalités delà lune seront aesin A, équation du centre, b sinaT et csin(aT — A).

64. Dans les éclipses de lune qui ont servi aux premières recherches , T= 180°, aT =36o°; l’équation isinaT se réduit à zéro , csin(aT — A) devient c sin(3So° — A)= — c sin A.

Les trois équations réunies = (ae — c)sinA ; ainsi l’équatioa dn centre aesin A a dû paraître (ae — c)sinA.

Hipparque trouva de cette manière (ae — c) = 5°o'; il

SaS ASTRONOMIE.

dut donc rester persuadé que l’équation du centre n’était que de 5°; cependant les observations de la lune, dans d’autre» circonstances , et surtout dans les quadratures , lui avaient indiqué des variations dont il ne put découvrir la loi.

G5. Ptolémée s’attacha plus particulièrement à observer des quadratures pour vérifier les inégalités entrevues par Hipparque.

Dans les quadratures, T^go®, 2T=i8o°; les trois inégalités sont aesinA, Asini8o°s=.o et esin(i8o’ — A)^=csinA. total, (ar -f- r)ein A.

L équation du centre déterminée dans ces circonstances, était donc (ac+t)»in Aj on la trouve de.... 70 40'

mais ci-dessus (ae — i)sinA.. 5. o

d’où 4e 12.4°

2e 6® ao'

c 1 . ao ;

ainsi l’équation du centre sera 6® 20' sin A , en négligeant le .second terme qui dépend de sin aA , et se trouve o quand A = 90".

L’équation csin (aT — A) = 1® 20' sin(aT — A).

66. Ptolémée conserva l’équation d’Hipparque 5°sinA;il l’expliquait par un épicycle qui, s’approchant de la terre , soutendait des angles de plus en plus considérable» et qui , de 5°, pouvaient s’accroître jusqu’à 7° /,o' -, et comme il avait remarqué que ces accrois»emens dépendaient de l’angle 2 1’, il iuiaei a une combinaison de mouvemens qui le forçaient à corriger l’anomalie moyenne d’une équation de ir>“siu aT; ensorte que le tout, réduit en formules, ni’a donne à trèspeu près l’équivalent des deux équations G® ao'smA et 1° 2oVm(aT — A).