A'sin B"-f- c'sin a B

-f- X sin X+x' sinaX.

Toutes les équations de la lune sont de cette forme : d’où

o = — d\ 4- dM -f- da sin A -f* ad A cos A 4- db sin B -f- db' sin B'4- dB'-j- etc. 4” x sin N -f- x'sin aX ;

d\ est la différence entre la longitude observée et la longitude calculée , dM la correction de la longitude moyenne , da , db , db' , db" les corrections des coefliciens employés dans la formule ; dA = (correct, longit. moy. — correct, périgée).

73. On ne fait pas varier les argumens connus qui n’ont pas d’erreur sensible, x est le coefficient d’une inégalité inconnue à deux termes ; on la néglige d’abord , et pour déterminer tontes les corrections, il faut au moins autant d’observations qu’on a d’inconnues, mais on en prend un bien plus grand nombre. Supposons qu’on ait 10 inconnues, on prendra 1000 observations; on réunira les 1000 équations en 10 groupes ; dans chaque groupe on réunit les too équations ou a mèm e inconnue aies plus forts coefficiens , qu’on rend tous de même signe en changeant, s’il le faut, tous les signes de l’équa-'

LEÇON XIV. Sag

tion où ce Fort coefficient aurait le signe — ; on en fait autant pour chaque inconnue. On élimine les inconnues , on en tire les valeurs, qu’on porte dans chacune desicco équations. Si les observations étaient parfaites et les formules complètes, tout se réduirait à o; mais à cause des erreurs inévitables, et des termes qui manquent, il restera des erreurs. Alors on peut essayer des équations nouvelles; on en calculera les sinX et sinaX. Soit y la quantité à laquelle se réduit l’équation de condition ci-dessus ; vous ferez

y =. xsin X -f- r'sin aX ;

vous rassemblerez en un groupe toutes celles où sinX est considérable et dans lesquelles par conséquent sin 2X est fort peu de chose ; vous ferez un autre groupe des équations ou sinaX est beaucoup plus fort que sinX; vous donnerez le même signe à tous les termes 2X; les termes X, tant qu’ils seront plus petits , n’auront pas l’uniformité de signe ; il se fera une compensation qui les réduira à peu de fchose; vous déterminerez x et x' . Vous pourrez introduire ainsi plusieurs équations inconnues , il ne faut qu’avoir un nombre suffisant d’observations.

73. C’est encore la meilleure méthode que l’on ait à suivre pour la lune , car la théorie même la plus approfondie peut bien vous indiquer les équations les plus probables , mais il est trop difficile d’en calculer analytiquement les coefficiens; on ne les a jusqu’ici déterminées que par observation , sauf quelques inégalités qui sont liées par une loi analytique à quelque grande inégalité connue précédemment par expérience.

74. C’est par cette méthode que j’ai fait les tables du aoleil , de Jupiter, de Saturne , d’Uranus et des satellites de Jupiter; c’est ainsi que MM. Biirg et Burckhardt ont fait leurs tables de la lune; que M. Bouvard a perfectionné, d’après les observations plus nouvelles, les tables de Jupiter et de Saturne , et que M. de Lindenau a fait les tables de Vénus et de ' Mars ; c’est ainsi qu’on se propose de perfectionner celles de Mercure et des nouvelles planètes.

33o ASTRONOMIE.

75. Cependant pour les planefe» on a beaucoup d’avantage ; parce que leurs perturbations sont bien déterminées par la théorie , du moins quand les planètes qui les produisent ont une masse suffisamment connue , c’est-a-dire qu’elles ont des satellites bien observés. Mais meme pour les perturbations de Jupiter nous avons tenté de corriger, par les observations , la masse de Saturne, déduite des mouvemens et des élongations des satellites.

7S. La latitude de la lune a des inégalités; mais elles sont beaucoup moins fortes et la théorie en est plus facile; la seule qui soit vraiment importante est celle que Tycho a

reconnue par ses observations; elle a pour argument

ssT — ((£ — Q). Comme l’évection dépend de 2 T — ((£ — périg.), il y a entre ces deux équations une ressemblance qui pourrait aujourd'hui mettre sur la voie , si elle n’était pas encore connue. Cette équation est de 8' 4$* J les plus fortes ensuite «ont 25", 16", 9*, 8". Cette dernière est due à M. Laplace. Les argumens sont des combinaisons de (£ — Q > de A et jJJ , comme on pouvait s’y attendre.

77. La hauteur perpendiculaire de la lune au-dessus de l’écliptique est fonction de l’inclinaison, de la distance au

et du rayon vecteur; le soleil, eu attirant la lune en ligne droite, approche de lui cette perpendiculaire, et elle diminue de hauteur ; mais en s’approchant du soleil , elle peut ou s’approcher eu s’éloigner de la terre , et quoique toutes les perpeadiculaires soient diminuées par l’action du soleil, elles peuvent soutendre, pour l’observateur placé sur la terre, d^ angles souvent plus petits, mais aussi quelquefois plus grande.

78. La parallaxe, nui dépend de la distance doit avoir des inégalités correspondantes à celles de la longitude , mais elles doivent dépendre duosinusau lieu ou sinus, comme les rayons vecteurs elliptiques dépendent du cosinus de l’anomalie , tandis que l’équation du centre dépend du sinus. Ces inégalités sont aisées à calculer quand on connaît celles de la longitude; elle»

LEÇON XIV. 33t

ont toutes été, déterminées par le calcul ; on pourrait faire la même chose pour la latitude.

79. Le diamètre qui est en rapport constant avec la parallaxe , doit avoir des inégalités qui soient dans le même rapport; mais on se sert du rapport constant pour avoir le diamètre, quand on a calculé la parallaxe.

80. Quand on connait bien toutes les inégalités périodiques , on est en état de déterminer exactement la longitude moyenne; on en fait le calcul pour deux époques éloignées, et l'on en conclut le mouvement moyen, comme nous avons fait pour le soleil (XIII. 1 4). En essayant ces comparaisons à différens intervalles , on a remarqué une accélération dans le moyen mouvement. Des astronomes l’ont trouvé de n'pour le premier siècle , et ils ont supposé qu’elle croissait comme les carres des nombres de siècles; mais cette supposition était trèsprécaire. Les géomètres avaient essayé vainement d’en trouver la cause. M. Laplace l’a reconnue enfin ; elle provient du changement d’excentricité de l’orbite solaire; elle s’exprime par une série dont le premier terme dépend en effet du carré des tem«, le second dépend du cube, et les termes ultérieurs, des puissances supérieures M Laplace a expliqué par là la d:-!F< rence constatée qui se trouve entre les mouveraens actuels et les mouvemens déterminés par les Arabes , vers l'au tooo, et par Ptoléraée , vers l’an îao; il n’est plus possible de la révoquer en doute.

8r*. M. Laplace a trouvé, pour le3 mouvemens du périgée et du noeud , des équations séculaires qui sont en rapport constant avec relies de la longitude , et qu’il eût été bien difficile de détermiuer par observation.

Tous les termes des équations de la lune sont de la forme a sinA; dont la différentielle exacte est

a cos Ad A — an sin1 j dA sin À.

Soit d A le mouvement horaire de l’argument , et dM le mouvement horaire moyen; le mouvement horaire vrai sera

dM 4- a cos Ad A — r a sin’ ! dA si n A ,

53a ' ASTRONOMIE.

pour l’heure qui suif, mais pour l'heure qui précède, il sera — dM — a cos Ar/A — aasin’-jdAsin A.

C’est sur ce principe que j’ai calculé les tables de mou— • veulent horaire dont on se sert aujourd’hui. Jusque-là les astronomes avaient négligé les termes du second ordre , et leurs tables n'étaient pas d’une exactitude suffisante.

Mois lunaires de differentes espèces.

8a. La lune a , comme le soleil , differentes espèces de révolutions, elles sont même en plus grand nombre.

Nous avons déterminé le mois synodique , qui ramène la lune en conjonction avec le soleil ; elle doit avoir une révolution tropique qui la ramène à une même longitude comptée de l’équinoxe mobile , une révolution sidérale qui la ramène à la même étoile , une révolution anomalistique qui la ramène à un même point de son ellipse mobile, enGn une révolution draconitiqne qui la ramène au même nœud mobile; une de ces révolutions bien connue , on en déduit toutes les autres facilement.

83. Nous avons déterminé ci-dessus le mouvement relatif, le mouvement propre et le mois synodique ,

. moissynod.fM — m)

m . M — m : ; mois synodique ; mois trop. = — — ÿj ;

on en conclut,

mois synod. — mois tropique = ^ (mois synodique)

Le mois tropique ainsi trouvé et p étant la précession pendant la durée de ce mois ,

, 3So°.T

5Go° — •p:3So!>:: mois trop. : mois sidér. =S'= u ,

=TD +(t^G~0+(^96=c~') +e,c*3>

S'— T = T + ( 1296000") + 6tC' D

îagbooo

Soit M le mouvement de l’apside en une révolution en longitude ;

36o° — M : 36o° mois tropique : mois anomalistique ,

moisanom. —

-TC1 + 3^ + (3^) +etc-]>

moisanom. — mois trop

36oB

Soit M le mouvement du nœud pendant un mois tropique ; 36o° + M : 36o° :: mois tropique : mois draconitique,

et

mois trop. — mois dracon. =■

84. On peut déduire tous ces mois des mouvemens séculaires de la lune , du soleil , de la précession , du périgée et du nœud, ainsi que nous l’avons montré pour le soleil. J’ai trouvé de cette manière, que la révolution se fait, par rapport au nœud, en 27Ç2 122222; par rapport à l’équinoxe, en 27,32i5255; par rapport aux étoiles, en 27,32 i583o; par rapport au périgée, en 27,5545704; par rapport au soleil, en aq,53o5885.

85. Si ces nombres étaient tous des entiers, en les multipliant tous les uns parles autres, on aurait une révolution composée qui serait un multiple de chaque révolution particulière.

En construisant des tables des multiples de chacune de ces révolutions, on verrait d’un coup d’œil les nombre» qui seraient comramuns à plusieurs de ces tables; on y reconnaîtrait les périodes qui ramènent les conjonctions et les oppositions voisines des nœuds , et par conséquent les éclipses.

86. Les anciens s’occupèrent beaucoup de ces périodes composées, soit pour régler leur calendrier Iuni-solaire , soit pour éviter le calcul des éclipses, qui présentait alors des diiTicultés qu’on ne savait pas résoudre.

Le plus célèbre est le cycle de Méton, connu sous le nom de nombre d’or; il est composé de 19 ans, ou 6qqo jours, dans lesquels la lune devait revenir à son nœud 255, 04 fois, c’est-à-dire a55 fois à fort peu près , a5 4 fois à la même longitude, a5i ,8 fois à son apogée , et 255 fois en opposition.

87. Calippe , en quadruplant cette période et retranchant un jour pour la rendre plus exacte , la lit de 37969 jours , qui donnaient îono, 1 3 retours au nœud , 1016,0a à l’écliptique, 1016,83 à l’étoile, 1007,43 à l'apogée, et g4o,oi au soleil.

88. Hipparque trouva une période de 126007 l iours, qui est encore plus exacte. Cette période , qui estd’environ 545 ans, était la plus juste pour le calendrier, mais elle ne ramenait pas aussi bien les éclipses dans le même ordre. Les anciens avaient remarqué qu’elles revenaient presque les memes au bout de 18 ans et 10 jours, ou plus exactement en 6585', n3i i5. En effet, pendaut cet intervalle,

la lune revient au nœud 242,01, à la même longitude. . . 241, o3,

à la même étoile 240,99,

à l’apogée 208,99,

à la syzygie..

Une période qui ramènerait les éclipses de même grandeur et de même durée , au même jour de l’année et à !a meme longitude, ne pourrait être qu’un multiple exact des difTérens mois lunaires. Le retour à la même distance du nœud donnerait l’éclipse de même grandeur ; le retour au même point de l’ellipse donnerait la même durée; le retour à la même longitude donnerait le même jour; rien de tout cela ne peut être parfaitement exact ; mais on voit par ce raisonnement comment llipparque et Ptolémée ont pu trouver à peu près les mouvemens de la lune , de son nœud et de son apogée, par la période des éclipses, dont les Babyloniens avaient fait, dit-on, une ample collection, qui ne suppose d’ailleurs que des yeux, de l’attention, et le soin d’écrire ce qu’on a vu.

89. Au moyen de la période chaldéenne , on pouvait donc d’après les éclipses observées, prédire les éclipses futures; et c’est ainsi sans doute que Thalès prédit cette éclipse célèbre que rapporte Hérodote, et qui fit jeter bas les armes aux îlèdes et aux Lydiens , effrayés de l’obscurité profonde qui avait subitement succédé au jour. Hérodote en indique l’année d’une manière si vague , que l’on doute si elle est arrivée en l’an 58 1 , 585, 5q7 ou 607 avant J.-C. ; encore aucune de ces éclipses n’a-t-clle dû être totale et ramener cette obscurité qui n’est peut-être qu'une fiction d'Hérodote ou de ceux qui lui en parlèrent.

go. Aujourd’hui que le calcul des éclipses est devenu bien plus facile et plus sur, on ne fait plus aucune attention à ces périodes; les astronomes ont d'autres moyens pour reconnaître les éclipses qui doivent avoir lieu dans une année , et même pour les calculateurs d’Ephémérides , tous ces moyens sont inutiles. On a les lieux de la lune pour midi et minuit de chaque jour; on voit d’un coup d’œil quelle sera la latitude à l’instant de la conjonction et de l’opposition , et par conséquent s’il est possible qu’il y ait éclipse de soleil ou de lune.

91. A défaut d’Ephéraérides , le moyen le plus simple est celui que j'ai indiqué dans la Préface de mes Tables solaires.

Ces tables donnent pour le i,r de janvier de chaque année la distance angulaire de la lune au soleil et le lien du nœud. Ces angles sont en parties décimales de la circonférence.

Pour qu'il y ait éclipse de soleil , il faut que la distance angulaire soit o ou fort petite; pour une éclipse de lune, il faut que la distance angulaire approche beaucoup de la demicirconférence ou de 5co.

La distance étant donnée pour le 1er janvier, on voit ce qu’il y faut ajouter pour qu'elle devienne 1000 ou 5oo ; ou cherche dans les mouvemens pour les jours du mois , celui où le mouvement relatif est de ce nombre de parties; on a par ce moyen le jour de la syzygie moyenne ; on peut même corriger cette syzygie moyenne, de l’équation du centre, de l’évection et de la variation , et jSar conséquent avoir à peu près la syzygie vraie ; on voit aussi quelle est la distance au nœud. J'ai trouvé que si cette distance est au-dessus de i3° 53' à la syzygie moyenne , l’éclipse de soleil est sûre , et qu’elle est impossible , au contraire, si elle surpasse 19° 44* . Pour l’éclipse de lune, les limites sont plus étroites; l’éclipse est sûre jusqua 7* 47', et impossible à i5° ai'. Entre ces limites, il faut un calcul plus exact pour lever le doute.

Des Éclipses.

1 . Le soleil , la terre et la lune sont trois corps sensiblement sphériques; quand leurs centres se trouvent sur une même ligne droite, dont le soleil occupe toujours l’une des extrémités, la terre et la lune doivent projeter derrière elles line ombre conique ; si la terre est entre la lune et le soleil , la lime est enveloppée dans le cône d’ombre, elle cesse de recevoir

eevoir la lumière du soleil et de la réfléchir, l’habitant de l'hémisphère obscur de la tertre observe une éclipse de lune.

3. Si c’est la lune qui est entre le soleil et la terre, l'ombre de la lune atteint la terre le plus souvent, et l’habitant de l’hémisphère éclairé se trouve momentanément dans le cône d’ombre, il perd de vue le soleil. C’est ce qu’on appelle éclipse de soleil, i«A«iV« , sol déficit. Le mot éclipse signifie défaillance.

3. Les éclipses de lune sont plus fréquentes que les éclipses de soleil, surtout pour un pays donné; en effet, quand la lune est éclipsée , elle perd réellement sa lumière , et l’éclipse est vue de tout l’hémisphère tourné vers la lune. Au contraire, si c’est le soleil qui parait éclipsé, il ne perd rien de sa lumière , il nous est simplement caché par la lune ; or la lune étant beaucoup plus petite que la terre , son ombre n’est qu’une tache qui ne couvre qu’une partie de l’hémisphère éclairé. La lune fait alorsà peu près l'effet que produisent soin vent les nuages qui nous dérobent la vue du soleil , tandis qu'à quelques pas nous voyons des édifices fortement éclairés.

4- La première chose est donc de déterminer , pour ces deux espèces d’éclipses , les dimensions du cône tronqué lumineux qui a sa base au soleil , et celles des cônes d’ombres de la terré et de la lune.

Soit SO (fig. g4) Ie rayon du globe solaire, TE celui dn globe terrestre , L le centre de la lune à l'instant de l'opposition,; les trois centres seront sur une même droite STLC. Soit OENC un rayon solaire tangent au globe solaire en O, et au globe terrestre en E ; SU et TE seront perpendiculaires au rayon OC, SC sera l’axe du cône; en effet, imaginez que le plan STCEO tourne autour de SC , la droite OC décrira la surface d'un cône lumineux entre le soleil et la terre, et obscur depuis la terre jusqu’au sommet C.

5. Soit LuK une portion de l’orbite de la lune , sa tangent» LN sera le demi-diamètre d’une section du cône, faite perpendiculairement à l'axe dans la région de la lune , et cette section sera un cercle ; u sera le point par lequel le bordde

oa

la lune entrera dans le cône d’ombre, quand le centre de la lune sera en K, si l'on suppose uK = demi-diamètre de la lune vu du centre T de la terre.

Soit TE =s i ,

TS=dist. du soleil à la terre s= -

TL=dist.delalune àla terre

TC= axe du cône obscur ,et par conséquent,

sinparall. 0 sin*-*

sinparall. (£ sin-s-’

sin C *

LC = TC - TL =

sin C

sin tsr 1

ou

LC =

sin -v — sin C asin^-» — C) cosi O + C)

sin sin C sin® sin C