III. L'égalité

est satisfaite lorsqu'on y remplace x par 11; car 3 fois H fort! 33; 33 — 1 font 32; 32 divisé par 8 donne bien 4. Mais cette égalité cesserait d*étre vérifiée si Tony mettait à la place de x toute autre valeur que le nombre 11 .

On donne le nom d'équation à toute égalité de cette espèee , exprimant une relation entre une quantité inconnue et des quantités données, et qui ne peut être satisfaite que par certaines valeurs déterminées de l'inconnue.

(Nous considérerons plus tard lecasoù il y a plusieurs inconnues.)

Remarque. On peut remarquer que les simples relations d'égalité deviennent des équations lorsqu'on y regarde comme inconnue l'une des lettres qui y entrent. Si, par exemple, dans la relation

trois seulement des quantités a^b^c^d étant supposées données, b^c^d par exemple, on se proposait d'en déduire la quatrième a, cette simple relation d'égalité deviendrait une équation où a serait l'inconnue.

60. On peut faire subir aux égalités toutes les transformations qui n'empochent pa^ les deux membres de rester égaux; ainsi, on peut ajouter une môme quantité aux deux membres, soustraire une même quantité des deux membres, multiplier les deux membres par une même quantité, diviser les deux membres par Une même quantité.

I. Les deux premières propriétés servent à faire passer un terme d*un membre dans un autre^ transformation qui est très-fréquemment employée. Pour l'effectuer, il suffit d'effacer du membre où il était le terme que l'on veut changer de membre, et de l'écrire dans l'autre avec un signe contraire à celui qu'il avait.

Prenons pour exemple l'égalité

a + b^zc-^d ,

44; : W^UIWONS' FONDAIWJWALÈS : ' " *•

el supposons, qu'onveoillefait^ pusserle tenbe 6 datlè'ié'k^é6^d\ membre. Si, d'abord, on l'efface dans le premier, comme if ëcàtt ' additif, on diminue ce membre delà quantité 6; pour ne pas troubler l'égalité, il faut donc diminuer aussi le second membre de 6, ce qui se fera en écrivant — b. On aura ainsi ...

az=LC — d — b .

Supposons me^intenanl qu'on veuille faire passer k terme A âa second membre dans le premier. Si d'abord on l'efface dans le second, comme il était soustractif, on augmente ce second membre de la quantité d\ pour ne pas troubler l'égalité, il faut donc augmenter aussi le premier membre de if , ce qui se fera éû écrivant -+- ^ ; ©t l'on aura

a-|-rf = c — b :

Ainsi , pour faire passer un terme d'un membre dans un autre, il faut changer svn signe.

Remarque. Cette faculté de faire passer un term^ d'un membre dans un autre, permet de réduire entre ei^x les termes semblables qui se trouvent dans les deux meml^res. Ainsi l'égalité

peut s'écrire 3a^—6ab+b^—ia^—2ab+lSb^= ou, plus simplement, o*— 8aA-[-16ô*=0 .

Lorsqu'un même terme se trouve dans les deux membres avec le même signe, on peut le supprimer de part et d'autre; car cela revient à retrancher une même quantité aux deux membres si ce terme est additif, ou à l'ajouter aux deux membres s'il est soustractif .

61. II. La troisième propriété, qui permet de multiplier les deux membres par une môme quantité, sert à faire disparaitre les déno^ minateurs lorsqu'il y en a. Pour cela, on commence par réduire tous les termes de l'égalité, tant entiers que fractionnaires, au mêiLe dénominateur (^8,53) ; il est alors permis de supprimer ce dénominateur, car cett^ suppression revient à multiplier tous les termes de l'ègalîtè, et par conséquent les deux membres , par ce dénominateur même (55, Rem.).

Soit, par exemple, l'égalité

Digiti

EQUATIONS |£T,Pil&B|.ÈlieS DU i»R£Mteil DEGRÉ. 46 <

en , ré4iiiâ^n<^. tous ..les termes au méitte dënomiiiateur^»), on a d'abordj . .

i • fl^ 6^ ae*,ad^

; . -ac oc oc ' ôc ^

et, en supprimant le dénominatear commun, ce qui revient à multiplier les deux membres par ac, il vient

kiiïsi^ pour faire disparaitre les dénominateurs d'une égalite\ il suffit de réduire tous tes termes au même dénominateur^ et de supprimer ensuite lé dénominateur commun,

es. m. La quatrième propriété, qui permet de diviser les deux membres par une même quantité, sert à supprimer les facteurs communs aux deux membres, quand il s'en trouve. Cette suppression simplifie les calculs. Soit pour exemple Tégalité

4a'— 8a^6 + 4aA*=6a**— 6ô^ ;

si Ton met en évidence (44), dans chaque membre^ les facteurs communs à tous les termes, il vient

• 4a(a*— 2a6 + 6*)— 6ô(fl* — **) , " ou id(â — by=m(a + b){a — b).

Sous cette forme, on voit que les deux membres sont divisibles par 2 (a — b) . Effectuant cette division, il reste Tégalité plus simple

2a(a — 6) = 36(a + 6), ou ^a* — 2ab == 3ab + 3i^

63. Ces diverses transformations s'appliquent aux équations comme aux autres espèces d'égalités. On peut démoaCrer, de plus, que, sauf certaines restrictions, que nous aurons soin de signaler, elles n'altèrent pas lesvaleursde l'inconnue, c'est-à-dire celles qui, mises à la place de l'inconnue, rendent le premier membre égal au second (59, IIl).

Les équations^ qui, sous des formes dijBférentes, sont néanmoins satisfaites par les mêmes valeurs de l'inconnue, sont dites équivalentes.

On peut d'abord, sans changer les fmleurs de Vinconnue^ ajouter une même quantité aux deux membres. 'En effet, soit, par exemple, l'équation

ax^ — bx=cx — d; [l]

ajoutant aux deux membres une même quantité m, nous curons

(ax^ — bx) -{-m^=(cx'-'d) + ^ ? [2J

46 OPÊllATIONi POÎ^AUfeNTALES :

équation ôft noud avons à dessein enveloppé de pârcnlhùses les membres de Téquation primitive. Il est clair que si une certaine valeur attribuée à 2r Satisfait à Téquatton [1], elle satisfera aussi ' à Inéquation [2] ; car les quantités entre parenthèses étant égales de part et d*aulre, puisqu'on suppose l'équation (!] saltlsfaite, ces quantités, augmentées chacune de m, sont encore égales. Récî- |)roquemettt : si une certaine valeur mise pour x vérifie Téquation [2], elle vérifiera aussi l'équation [I] ; car, pour qoe les deux membres de l'équation [2] deviennent égaux, comme ils ont une partie commune w, il faut que les parties non communes 'misés entre parenthèses deviennent égales elles-mêmes ; or, ces quantités ne sont autre chose que les deux membres de l'équation [f]; donc cette équation est vérifiée. Les deux équations [1] et [2] admettent donc exactement les mêmes valeurs ; ce qui démomre la proposition énoncée.

On démontrerait de la même manière que /'on /}^«tt,s/inj changer les valeurs de Nnconnue, retrancher une même quantité aux de\ix membres.

Il résulte de ces deux propriétés que /'on peut^ sans changer les valeurs de ïincomvae^ faire passer un terme d'un membre dans im au^r^ [en changeant son signe, comme il a été dit plus haut (60, 1)].

64. On peut^ sans changer {en général) tes valeurs de V inconnue^ multiplier les deux membres d'une équation par une même quantité.

Soit encore l'équation

oo:* — bx=Lcx — d . \V\

; , ^n inuttipliant les deux membres par une même quantité m.. on obUenl,

{ax^ — bx)m^(cx — d)m. [2]

Si une certaine valeur mise pour x satisfait à l'équation [1], elle satisfera à Téquation [2] ; car les deux membres de l'équation [1] devenant égaux, il en est de même des facteurs entre parenlhèses dans les deux membres de l'équation [2] ; et comme le second facteur m est le même de part et d'autre, les produits sont égaux; c'est-à-dire que l'équation [2] est vérifiée. . Réciproquement : si une certaine valeur mise pour x satisfait h l'équation [2], c'est que ces deux membres deviennent égaux; et comme ils ont le facteur commun w, il faut que les facteurs entre parenthèses deviennent égaux. Or ces facteurs ne sont autre chfose que les deux membres de l'équation [1] ; donc cette équation est vérifiée. '

• 'Les équations [1] et [2] sont donc satisfaites par les mêmes valeurs de x^ ce qui démontre la proposition énoncée.