DE U SOUSTRACTION

entre paren(hèse& tous les termes qu'on regarde comme composant ie polynôme ajouté ou soustrait, et Ton fait précéder ces parenthèses du signe + dans le premiçr cas, ou du signe — dans le second. Mais, afin d'avoir égard aux règles données (27, 30) pour Taddition ou pour la soustraction des polynômes, si l'on met -^ devant les parenthèses, oti écrit les termes entre parenthèses chacun avçc le signe qu'il avait; tandisque'siTonmet — devant les parenthèses, on écrit les termes entre parenthèses, chacun avec an signe contraire. Si, dans la suite des calculs ou des raisonnements, on vie^t à supprimer les parenthèses, c'est-à-dire à effectuer réitération indiquée sur le polynôme qu'elles renfermaient, ses termes conservent leur signe si les parenthèses étaient précédées du signe -|et chacun d'eux en change au contraire si les parenthèses étaient précédées du signe — . Dans un cas, comme dans Tautre, on reproduit ainsi le polynôme total, tel qu'il était. avant Tintroduciion des parenthèses.

Soit, par exemple, le polynôme

a + ft— c + ^— ^+/ — ff + A .

On pourra l'écrire de chacune des manières suivantes :

a+h-c+d-{e^f + g-h) , etc. ,

et, en supprimant les pnrenthèses, c'est-à-dire en effectuant l'addition ou la soustraction indiquées, on reproduira le polynôme primitif

§ III. De la multiplication.

32. D'après les restrictions établies au commencement de ce chapitre, le but que nous nous proposons dans la multiplication algébrique sera le môme qu'en arithmétique; c'est-à-dire qu'étant données deux expressions algébriques, monômes ou polynômes, nous chercherons à en former une troisième dont la valeur numérique ou^ absolue soit le produit des valeurs absolues des deux premières.

Supposons donc d'abord que les deux facteurs soient deux monômes , par exemple Sa^6*ar et 3a*6j/*

Alo. s. 2

16 OPÉRATIONS 1?0NDÀMENTAf.£S :

' Le'pnemier tooaome bê^b*x représente le» résultat qd'ôki obtiendrait en mullipHant 5 par le produit de trois facHenrs èg^àx à«tt,pui& en multipliant le résfuUatde cette première multiplJca^ lion par le produit de deux facteurs égaux à ô, et en multipliant enifln te résultat de celle Seconde multiplication par le facteuk» a^. Or, on a vu en arithmétique que multiplier un nombre par im çrcfduii de plusieurs facteurs revient à multiplier ce nombre successivement par chacun deces facteurs; et ce principe subsiste pou^ les quantités fractionnaires comme pour le» nombres entiers. Le monôme 5a'fr*a? pourra donc s'écrire ,

^Xaxaxaxbxbx^ De même, le monôme 3a*6y* pourra s'écrire

3xaxax*xyxy . . .:

Eti en vertu du principe déjà invoqué ci-dessuâ, bn oHiemdra le produit demandé en multipliant le premier monôme successlvemeftt par chacan des facteurs du second, ce qui donnera

5xaXaXaX6xSxa7X3xaXax6Xî/X^ ,

Mais dans un produit de plusieurs facteurs, entiers od fraction^ naires, on peut intervertir Tordre des facteurs sans changer' le produit. On pourra donc, en rapprochant les facteurs égaux, écrire le produit de la manière suivante :

.. Sx3xaXaXaXaXaXtX6x6xa:XyXî^.

Le produit de 5 par 3 est 13. Ce produit doit être multiplié successivement-par cinq facteurs égaux à «, ce qui revient à le multiplier par le produit effectué de ces cinq facteurs, ou par â*. On aura donc ainsi 15 X «^ Ce produit doit être multiplié à son tour . successivement par trois facteurs égaux à 6, ce qui revient à lé multiplier par le produit effectué de ces trois facteui-s, ou par 6^. On aura ainsi 15Xa*Xft'. Multipliant par x, il vient l^xa^Xb^Xx, Multipliant enfin successivement par. deux facteurs égaux à y, ou, ce qui revient au même, par le produit effectué de ces deux facteurs, ou par y*, il vient enfin 15 x a' X 6^ X a? X y* ; ou en supprimant les signes de multiplication :

^5a^b^xy^ .

On voit 1® que le coefficient 15 du produit est le produit des coef ficifentsSet 3 des deux facteurs monpmes; 2^ que toutes les lettres qui entrent dans Tun quelconque des deux facteurs entrent au produit ; 3*^ que rexposant 5 de la lettre a au produit est Ta 'somme des exposants 3 et 2 qu'elle avait dans les deux monômes;

4?jqBi? illçxpp?f^ut^3 (îe U JeUre b au produil e^t ja comme ides jB;^pa$anls â ^t 1 qu'aile aTait dans les^ deux monoiBes ; 5^ que Je (auteur 07^ qui B'entre qu'au multiplicande, entre au pçodqit )aifeç.lei,,même,expoj^aût 1 ; 6^ enfin que le facteur y^, qui n'entre qu'au multiplicateur^ entre, au prcduit avec le.méma (sxp^y- ^mi 2 . . .

De là cette règle : Pour multiplier Vun par l'autre deux montm^B p0sitif^^ il 4wt faire le produit de^ dei^x coefficients, écrire à la mite toutes les lettres gui entrent diaus les deux facteurs mononm^ et affecter chacune d'elles d'un exposant égal à, la somme de ceuas quelle a dans ces deux facteurs. (En appliquant cette règle, on voit que toute lettre qui n'entre que dans l'un des deux monômes entre au produit avec le m^me exposant. ) : • î

Exemple. Le produit de 7â^6'cd* par iab^dx^ est 2Sa^b^cd^x^ .

- RtiMAHOi^s; I. Il résulte de la règle de la multiplication des manonves, que le degré (21) du produit est la somme des degrés dep deux monômes facteurs. Ainsi le degré de 5«'6*a? étant 6 , et le degré de ^a^by^ étant 5 , le degré de leur produit 15rt^6Vy*est 6 4" 5 ou 11. De même le degré de "Ja^b^cd^ étant 11 , et le degré de 4fl6*rfa?* étant 7 , le degré de leur produit ^Sa^b^cd^aé^ est H + 7 ou 18 .

II. Lorsque les deux monômes sont égaux, leur produit est ce qu'on appelle le carré de l'un d'eux. D'après la règle qui précède', le coefficient du produit est le carré du coefficient de l'un quelconque des facteurs ; et l'exposant de l'une quelconque des lettres du produit est le double de l'exposant de la même lettre dans l'jan quelconque des facteurs. Ceci revient à dire que, pour former l^ carré d'un monôme^ il faut faire le carré de son coefficient, et doubler les exposants de toutes les lettres qui y entrent.

33. Soit maintenant à multiplier un polynôme par un monôme, par exemple a+* — ^ P^^ *^- Les lettres a, 6, c, m représentei^t des quantités numériques entières ou fractionnaires. Pour fixer les idées et faciliter le discours, supposons que le multiplicateur monôme m ait pour valeur-; la multiplication aura pour but âe

prendre les x du multiplicande. Si celui-ci se réduisait à a + 6,

on obtiendrait évidemment le produit en prenant les ^ de a , puis

les| de 6, et en faisant la somme des produits partiels obtenus ; c'està-dire.qu6 le produit total s'obtiendrait en mqUipliant sêparéia^nt

pi!Ojiuîitî;obtenu am^rbi^e^t donc tarop.gçî^odiAes.g.d^ ^.9ijj%pù*

pt*èflti^tîr/»i ; pour lui rendre sa' véritàbie taWur, i( faulidbaojem retrancher Cl» , ce qui donnera ' . i: : • ju

■■' \. • aw + âi» — cm . ,. ;.. . .....; ..r-....,,.

^jtonimè on pourait réçéîèr ie même ratsonnemeiit pou r^ cira ij[uc^ lermQ s^ouslractif, on voit que pour faireje prodiiit if un polifnothj^^' paruninonome (positif), il faut multtplkr séparément chaque tem^^ Aumlymrne multiplicande par le monôme multiplicateur^ en donnant' à chaque terme du produit lé signe du terme du multiplicande qiii Ta fourni. ^ ' ' ' '

Ainsi le produU de Sax^ + 3a*a: — 4a' par 6a^bx serait 30o»*x'*+18rt*6x* — 24a'*a: .

I>e m^e, le produit de Sa^ô— 2a*ôV+5a6^,rr /^* par 4p5*.ç^ serait. ^2a'b'e — Sa^b'c+(Oa^6^c — ^ia6'^. ^'^^^

34. Soit enfin à multiplier un polynôme par un polynôme, p^* eJœmpiB^ — *para — rf pour plus d» simplicité. . - --. ,,r. jLejprodiiit de deux quantités, eatièi:ess»oafractioiiQ.iires, ros^t . le même, quel que soit l'ordre des deux facteurs, nouspourroni^ftopi ! poser qu'on ait à multiplier c — d par a — b . Représenjoi)^^ a — b par m , nous aurons. à multiplier c^rd par m , ce qu,k; . donnera, en vertu de la rè^le ci-dessus, cm—dm. Ceci revient à me — mrf ou à (a — b)ç — (a — b)d. Mais (a — i)c équîtaut* h; acrrbc , etî(a— 6)rf équivaut à ad — bd. En opérant la sous-;: tracùoû indiquée, on aura donc pour résultat final

ac — àc — ad + bd . ^

,jEp examinant ce résultat, on voit qu'il contiennes produits par- ^ lipJ,^, de.çh^^^e. .terme du multiplicande a — b pour chaque tèi'me ' du fnuUipljçatieurc — fjf. Quant au, signe dontcnaq^^ produit par-' tiej est affecté, on remarque 1® que les termes a et c , qui avaient (oa, étaient, censés avoir) le signe -rf- , ont dpnné un produit; âç/ qui.ifigUTe au résqUat avec le signe + ; i^ que les termes J et '^'/' dunl l'un ftyait le signe — et Tautre le- signe -f > <>ut foiirrii' a!à^I

résiliât le' ièiW^'hégaiif — fe ; 3^'qué'les térinfes tf cïd.^dmt l'\in avait Ile signe 4- et Tautre le signe. ^,. ont foorai aâiiwa^» tajL 1q tfirmç n^aitU r^ ad,; 4^.epfin que |e§ termes ^.et d^ (jui avçieol tpus fiçux J^esijgqb — » ont fpuraiaii résultai, le terme! positif -^ bd-

' EiiVés\iiiiàïit, oh vôi!quedeu?t termes 4é même sîgnri ôntdônné un-jM-oduil posiijf,» et qîie dwx ler^nes de signq çoi^^yme ^Rlj^ané^ un produit négatif. . U . i .. ■ /i

Les mêmes raisonnements appliqués à deux polynômes quelconques montreraient que ces règles Wnt générales, et que deux termes ; dç , même sig^ne donnent toujours un produit affecté du 5fjjfn^ 4-.V <st !^^ dfiux termes de signe cààtrair^e dànnètit Hk prb-. duit^fp^cté (in signe -^. C'est en cela que consiste ce qii'on ap-' pelle \dk règle des signes dans la multiplication. ' '\ ' . |^

On Vé^iionce quelquefois en disant d'une mani^^e abrégée qu'e; -f- multiplié par + donne -1- • ' ^.'

On dira donc que, pour multiplier deux polynômes l'un par tatiirelil faut iàutlipUèr chaque terme du inùU^mnde pêr ^aqUe terme dumultipliaateu^^ en ùyant, égard à to règle, 4fis\signes.

Si le résultat présente des termes semblables, on en opère la réduction, . . V V

3». Soit, par exemple, à multiplier 8oA^—3a*jt:*^- 4a'* ^-n«^' par 605?* — 2«*a? + ào^: On disposera \m calculs de la infi|niè^e suivante : :• m : îi ^I

Muïtiplîcande* 5âfar®— 3aV— 4«®^+â* ^ ^ ' • 1

Multiplicateur ^ax^—'ia^x 4-3a^ • ; »

l?*" produit partiel 30rt V— 18a V— 24a*a:^+6a V '• ' *^

2^ » 10aV+ 6a*^'+8aV— 2àV'^ "'

3« » + 1 5a'^^— Qg'a:^— 1 2>7'^gr-^3a'^ '-^

Produit total rédui 1 30a V— 28a=^a:*— âa*a:^+5a V— 1 4a'*a:-i-3a*' ' '

On écrit d'abord le multiplicande ; on écrit au-dessous le multiplicateur ; on lire un trait horizontal au-dessous du multiplicateur. On fait le produit du multiplicande par le premier tei-mé fiùiijiiiWV plicaleur ; c'est le premier produit partiel, qti'bnëcî^îî^àu-diéfedhïè^^^ dutraithorizontal. On fait le produit du toùltîplicànde pair lie fe^côhd *| terme de multiplicateur; t'est le second produit partiel qu'on^ écrit' au-dessous du preinier. 0:i obiîeiit ainsi autant de pi-oduïts' ' pli^rlielsqully a dé termesau multiplicateur. Au-dessousdii'défriièk»!' produit partiel, on tire un second trait hbrizotî'tal; et aù-dcsi^ûs'Se'^

2\y OPÉRATION^ FONDAMENTALES :

ce trait on écrit le produit total, c'est-à-dire la somme desprtdiilts partiels, somme dans laquelle on effectue, Vil y a lieu, la réduction dés termes semblables.

irconvient d'ordonner (24) le multiplicande, le multiplicateur et le produit total par rapport aux puissances d'une même lettre; les calculs ayant alors plus de sym^rif» sant plus faciles à vérifier. Il convient aussi d'écrire chaque terme d'un produit partiel au-dessous du terme semblable, s'il y en a, dans le produit partiel précédent ; la réduction des termes semblables se trouve ainsi facilitée ; il est aussi plus facile d'ordonner le produit total,

36. Nous placerons ici trois produits dont on fait un fréquent usage en Algèbre, et qui fournissent autant de théorèmes de calcul.

a + b a*4- ab ■4- ah + b'

a'-{-iab+b^ Il en résulte que l'on a

(a-{-*)' = a» + 2aé-f-A*

c'est-à-dire que le carré de la somme de deux quantités renferme le carré de la première^ plu$ le double produit de la première par la seconde^ plus le carré de la seconde.

(On se rappelle qu'en arithmétique on nomme carr^' d'une quantité le produit de cette quantité par elle-même.)