II. en résulte que l'on a

(a— *)* = a' — 2aA + d*

c'est-à-dire quefe carré de la différence de deux quantités renferme, le carré de la première, moins deux fois le produit de la première par la ' seconde, plus le carré de la seconde.

a—b a*-\-ab • 1

— ab — b'- ■ .r.

Il ea.rés^Itç que. Ton a . ,

c'est-à-dire que le produit de la somme de deux quantités par leur différence^ éq^uivaut à la différence de leurs carres.

37. Remarques. I. Si le multiplicande et le multiplicateur soiU homogènes (83), le produit est lui-môme homogène. Car chaque' terme du produit ^'obtenant en multipliant un terme du mullipli*cande par un terme du multiplicateur, le degré de ce terme du produit est la somme des degrés des deux termes qui lont fourni (352)^ c'est-à-dire la somme des degrés du multiplicande et du multiplicateur, puisque ceux-ci sont homogènes. Tous les termes du produit sont donc du môme degré, c'est-à-dire qu'il est homogène.

On voit de plus que son degré est la somme des degrés des deux polynômes facteurs.

Ainsi, dans l'exemple donné au n^3S, le multiplicande est homogène et du 4« degré, le multiplicateur est homogène et du 3® degré, le produit est homogène et du 7® degré.

38. IL Par suite des réductions qui s'opèrent entre les termes semblables, certains termes du produit peuvent disparaître; c'est ce qu'on voit dans l'exemple III du n" 36. Mais il y a toujours au moins deux termes qui ne disparaissent pas : ces termes sont, si le multiplicande et le multiplicateur ont été ordonnés par rapport aux puissances d'une môme lettre, le produit du premier terme du multiplicande par le premier terme du multiplicateur, (et le produit du dernier terme du multiplicande par le dernier terme du multiplicateur.

En effet : si, pour fixer les idées, on suppose ces polynômes ordonnés par rapport aux puissances décroissantes d' une môme lettre, le premier terme du multiplicande et le premier terme du multiplicateur contenant chacun la lettre ordonnatrice à une puissance plus élevée qu'aucun des termes qui suivent, leur produit contiendra cette môme lettre à une puissance plus élevée qu'aucun autre terme du produit, et ne pourra conséquemment se réduire avec aucun autre. De môme : le dernier terme du multiplicande et le dernier terme du n^ultiplicateur contenant chacun la lettre ordon- . natrice à une puissance moins élevée qu'aucun des termes qui précèdent, leur produit contiendra cette môme lettre à une puissance moins élevée qu'aucun autre terme du produit, et ne pourra' en conséquence se réduire avec aucun autre. Tels sont, dans la multiplication du n® 35, le premier terme 30a V du produit et le dernier -f-3a'' .

Quelles que soient les réductions qui s'opèrent, il restera donc

^. 0PÉIUTIQN3I WQWM^»lXhm :

au moins iâeii^ tei^mes au produit. La anlliplicaiitmsaiYadOte offre un eKomplo 4u cas.oii il ne reste que ces <d6QK termes. .

a'+a'b^-^a'b'4-a^b^-ià'b''^

.30, lit/ Jl'pemt'arciver que plusieurs termi^s du muUij^iaw»^ contiennent la le^rç ordonnatrice avec le ui^me;e;xpû3^nt; f^xi pvv dopne. alors ces termes entre eux. par rapport à, uneseoofti^JiÇttre^ compie on Ve^ vu (24) J Joà mên^ c^^cç^stanc^ peut sç; présente^, ^il niuïtiplicatpu^. .

On écrit ordinairement les termes d'^in méflie groupe (34) 4pps une même colonne yeriicale, afin de mieux distiqgn^ les différents groupes. La multipijcatioQi s'effeçtuç d'aillieur^ . comme à r^rdini^re. ....

ExfliiPLE. 8fl*a:*+eû*»ar— '4»*** ' '

— 2fl6a:«

3ax — kab +ibx

9a V — 12fl«6a:» — 12a*6V+16a'6* — 4aA';r»+26a*6 V— 32a*A^j?

^ ■• ^ •• ••• +12aèV "',;''

^ Lorsque, comme dans l'exemple précédent, il y a au maltiplicfinde etau multiplicateur plusieurs termes affectés delà plus hautepuissance de la letl^e ordonnatrice, on peut remarquer que le pro» duit de ces deux groupes de termes donne le groupe le plus! élevé (i24) du produit; c'est-à-dire que les termes provenant de la n^ultiplication de ces deux groupes peuvent bien se réduire eqtre eux, majs ne sauraient se réduire avec ceux qui proviennent desigroujges suivants, attendu qu'ils contiennent la lettre ordonnatrice prlc^cf pa}fî;^Yieç, jun plus haut exposant. Ainsi, dans, l'exemple ci-r dpssus, |ês!texmei$ 3aV*-^ 2abx^, du multiplicande, et les tenue»; 3a^+ 26a: du multiplicateur, ont fourni au produit guatretecmesL qui. se sont réduits à deux 9a V — 4aftV ;. mais ces. termes.: n'aiiraient pu se réduire avec les autres qui eontienae&t.tottstla * lettre ordoppatrjce:a?av£Q un exposant jpapindrç que .3 . . ;;

? iba BiéMnotc^OBBî^Jzrati llens'ily avait au «mkiplioaade et avi mhl^ tiplicateur plBsievrBAermas affe^és de la moindriis pUis^HKîè de li^ lettre ordonnatrice ; ces de^if x ;grpapeis |ij[e. teripes 4PP^f aient Iç groupe le moins élevé (84) du produit., , Ces remarques nous seront bientôt utiles.

40. IV. On "a vtf/en ariltbmètiquie, et nous avons déjà rappelé, qu'un produit de facteurs entiers ou fractionnaires ne change pas, dans quelque ordre qu'on effectue les multiplications. Les (quantités ïïkmmes oti poffynomes que nous considérons jusqu^ici'ii'étant, d'iftprès lès rei^rictrorts établies au comînencemerit de ce chapitre!^ que'désq^dantilês niimérlques, on peut leur appliquer le même' ^ricipe:€!tette remarque fournît un moyen d^ vérifier une muitîplication algébrique ; il suffit de la recopxmencer en prenant le mtrliîpKcatettrpôtirmultrpficîinde et le multiplicande pour multiplicateur ; le produit doit rester le même. On pourrait encore re^ cdBMnénojerFt^pêration en changeant de lettre ordonnairfcè.

Mais il est préférable d'acquérir de bonne heure assez d'habifudé di} calcai pour pouvoir sa passer id« ces ^rtes de vërificaftioQ»/ J

§ IV. De la division.

41. La division^ en algèbre comme en arithmétique, est une opération par laquelle, étant donné un produit de deux facteurs et l'un de ces facteurs, m se propose de retrouver le second facteur. Le produit donné est le dividende, le facteuif donné est le diviseur, le facteur cherché est Iç quotient.

Soitd'abdrdà diviser un monôme (positif) par un autre monôme (également positif), par exemple l^a^b^xy^ par 5aVa? .

D'après les règles de la multiplication des monômes (32 j le coefficient 16 dtt dividende a été formé en multipliant le coefficient 5 du diviseur par le coefficient inconnu du quotient ; on obtiendra donc ce eoefficient inconnu en divisant 15 par 5, ce qui donne 3 . Le quotient ne peut contenir aucune lettre qui ne soit pas au dividende. Or, l'exposant 5 de la lettre a au dividende est la somme de l'exposants de la même lettre au diviseur et de l'exposant inconnu de cette même lettre au quotient ; on obtiendra donc cet exposant inconnu en retranchant 3 de 5, ce qui donne pour le reste 2, et montre que le quotient doit contenir le facteur a^K De mêmç, ' Tei- ' posant 3 de la lettre b au dividende^ est là somme de rèipôsant . 2 de cette même lettre au diviseur et de l'exposant inconnu de cette mômelettreau quotient; on obtiendra donc cet exposant inconnu^ enî retranchant 2 de 3 , ce qui donne pour reste 1, et montre*; que le quotient contiendra le facteur b . La lettre x- entrant avec

le même exposant au dividende et au diviseur, ne saurait entrer a^. quotient. La lettre y n'entrant pas au diviseur, doit entrer an quotient avec le même eTLposant qu'au dividende. Le quotient sera donc 3^%* .Et, en effet, en multipliant 5a'6*z par 3a%* , on retrouve bien 15a^i'a:y* .

De là cette règle : Pour divwr deux motiomes (positifs) /'un par r autre, divisez le coefficient du monôme dividende par le coefficient Ai* monôme diviseur y vous obtiendrez le coefficient du monôme quotient.' Examinez, successivement chaque lettre du dividende.. Si elle est commune au dividende et au diviseur ^ et que son exposant au dividende, surpasse son exposant au diviseur , écrivez-la au quotient avec un exposant égal à la différence de ces exposants. Si elle a le même exposant au dividende et au diviseur, dispensez-vous de récrire ou quotient. Si elle n'entre qu'au dividende^ écrivez-la avec le même exposant au quotient.

Exemple. Le quotient de 2Sa^^cd^x^ par Ic^h^cd'^ est iab^dx^ .

42. Remarques. L La division serait impossible : 1^ si le diviseur contenait une lettre qui n'entrât pas au dividende ; 2* si une lettre avait au diviseur un exposant plus élevé qu'au dividende ; 3® si le coefficient du dividende n'était pas exactement divisible par le coefficient du diviseur.

IL Lorsqu'une lettre entre au divrdende et au diviseur avec le même exposant, si on lui appliquait la même règle qu'aux autres lettres, on devrait l'écrire au quotient avec un exposant égal à la différence des exposants qu'elle a au dividende et au diviseur, c'està-dire avec l'exposant zéro. Ainsi le quotient de l^a^b?x par 3a^b serait Sa^bx .

Or, nous avons vu que le quotient doit être ^bx ; le symbole a® représente donc un facteur qui n'altère pas ie produit ; c'est-à-dire qu'il représente l'unité.

On se sert quelquefois de ce symbole pour conserver au quotient la trace d'un facteur du dividende qui disparaîtrait sans cela. Mais il faut bien se rappeler qu'une expression telle que a^ est le symbole de l'unité,, ou que a^ est égal à 1 .

43. Soit maintenant à diviser un polynôme par un monôme (positif), par exemple, 30a^fta?* -)- 18 a*fta?^ — 24 a^topac 6a^x .

Le quotient sera un polynôme, car le produit d'un monôme par un monôme serait un monôme. Or, on a vu (33) que le produit d'un polynôme par un monôme est un polynôme composé du même nombre de termes affectés des même signes, et qu'ils s'obtiennent en multipliant respectivement chaque terme du polynôme multiplicandeparlemonome multiplicateur. On formera donc le quotient

dèmâflàfteh dïvî^ant chaque tet-mè du polynôitie dividende par le moHiiaÉle diVî^eur, et affectant chaque terme du quotient du Tnêmc* sîgne qbe je terme dà dhridende aui Ta fourni . -

■ Le'^uotlent de'30dr^&ar* par oa^bx est 5ar* ; on l^écrira au quotient total, où il sera censé avoir le signe +» attendu qu'il sèW fe- premrei'. Le quotient de I8a*bx^ par Ga^x est 3a*x; on l'i!feri^a avec lé signe -f- à la suite du premier terme du quotient total.' Le quotient de 24a*topar 6a^bx est ia^ ; on t'écrira avec le^îg^rie — à la suite des deux premiers termesdu quotient total. Le qtiotiiant complet sera ainsiSa^* -f- 3^*^ — 4^1^- On peutvérifier, en effet, qu'en multipliant ce quotient par le diviseur 6a*te on reptoduipait le polynôme dividende.

On voit que pour diviser un polynôme par un monôme (positif), il faut diviser chaque terme dur polynôme dividende par le monôme diviseur^ et affecter chaque terms du quotient du même signe que le terme du dividende qui l'a fourni.

Ainsi, le quotient de 12a*6^c— 8aVc + IQa^b^c — kàb^c par kab^c est 3tt^6 -- 2a*6* + 5a6^ — b\

Remarque. La division serait impossible si un terme quelconque du polynôme dividende n'était pas exactement divisible (42) par le monôme diviseur.

44. Lorsque tous les termes d'un polynôme admettent un facteur commun, il est souvent utile de mettre ce facteur m évidence^ c'està-dire de décomposer le polynôme en deux facteurs dont l'un soit le quotient du polynôme proposé par le facteur commun ; ce quotient au ce facteur polynôme se met alors entre parenthèses. Par exemple, on a vu tout à l'heure que le polynôme

30a»6a:^-f- 48a*Aa;*— 24a^Air

était divisible par 6â*te et donnait pour quotient

On peut donc écrire ce polynôme de la manière suivante :

qui exprime le produit du quotient par le diviseur (13). Le facteur monôme peut se mettre indifféremment à droite ou à gauche de la parenthèse.

Soit de même le polynôme t2a*6^c— 8a^6*c + 20a*fr^c — 4at^e. On reconnaît que le facteur 4aè*c est commun à tousses termes; on peut donc mettre ce facteur en évidence, en écrivant entre parenthèses le quotient du polynôme proposé par le faaeur mis hors parenthèses. On aura ainsi :

4oft^(5(3<ï^i — 2â*6*-f 5aA^ — **) .

; Lorsqaun polyporae. coaMent.p)pM(5Ucs. i^fl^ ^Lflfepl^T4e!i* mi5me| pu.issaijce dé I4 letlre brdoxïpfitricp,,qn.4ï>t;fl^liiWfe^ ces lçrjipçs.dai>s.uae,mêm^ çolopiie verUcaja; jpais l^j(^^rf i;ir490b natrice ne s'écrit qu'upe fois d/ins cette €oloaoia,^t di^J|asi^PfU;ejde^ a^tr«s .%tears par ah ^^p vertlca), qui tieat lieu 4e.pac€in(b^s. Àin§^,.î|ùJiçud*ècrxfe, ,1 :•,..,- j luf j

!..-^H,|4.ii6«»W(« ', . •■ • - •• .;• •• • • ■■ •T..--i -in-Ab ■ ,.-.. ,. ■■■■■!:!., :. : : , '• • ■ .; . l : ■ i' /-l'ili •>))

On voit que x^ est mis en facteur commun par un Irait vertical pour les doux premiers termes, x* pour les trois suivants, et a: pour les deux suivants.

4{5. Soitepfih à diviser un.poîynpme par pri poiynome;.p,aç,

exemjiic,. ; .;; ;■.!;.;./; ,:; ." . ..'.•"...,.,.. '...;. .:,';..'i .,.,«1

pat* • •»• "i Mz^^^^âii^^Aâ^x^a^ . '■ ■-'• "" ' ' -V^

. jOa CQiatfteDpenafiiar écrire le dkifteùr à 1«, droiififcdiaDdivitlëiidë,

en Iqs ordonnant par nuypi^rt attK puiftsaocos d.*uBe ipéiiiei^tre; i

s'jlsi^'étaiçnt pas d^'à oraonnés ; eton lea séparera pa^ un trai4ver*.>

ti(:9ilw Oa tirera un trait horizontal au^-dessous du aÊviâeur. pour te

séparer du quotients Ces dispositions dont indiquées dans: le tan ;

blêau ci-dessous; :1e» polyaorncft y sont ordonnés par mpjpoii aus

puissances décroissantes de la lettre o^. . ^ : ^

JJiyidenac. , limôQUi,'. -

Dividende. . . , DiyiôQUi;.

"— 28a^j?*— 2a\v^'{''6a^x^~\ia^x-{^a"

2* rcsie . . . i . ^ . v^-l ta^^—f)d^x^^i U^-\^Qa^ \ M «- . • • ib

.•. . . : •■ -iSa*^tfM-Ofl^^H-l Và-^rra/t^ , .1 .], ^ ••.,-^ tir- ' -j.Mjob

3« Ee4ç>,.>f ,. • 0... .. •:.|:i .!. Mi; ''liU" -'fl)- tfJS

Concevons que \e quotient inconnu soit ordonné par rapport aux

; - •M/l /' iK/fl/it I ^' 'M I / l'il l'i ' -

puissances décroissantes de la même lettre. Comme le (lividende eëtiléi^rWdlîH'ftkf dWisètf^pàf le qbdtrcriti lepro^ mier terme du diviseur par Je premier terme du tjuofieftl (toit dôntlêr Idpi^ètniérifertneflu ttIVidëniïé* pat' ôïi d v^ (^é)! ^ue ce pt^flt!iiï partiel h'a' pu se Wdtiire àVec àucuii autre. On obtiendra dènfe 1è pYéïÀrdr te^hie du quotient en dîvisàiit' le premier terme du ditiâôhde pàf t&' pr^rtiiër térnaé du' diviseur. ' i ' ' '

Mè^îs-fôi*iliseiiai*n^ésfe{ïire'd*a+oii^ égardaùx 3^^ cat'ert ordbn-f nant les deux polynômes, il peut également ârtivèi'* que lé t)remîer ternia ait le.sjgnç + ou le signa tt- . Orv la tègle des signes donnée pour ta miiltiplicatron (34) nous apprend qa# si ttef produit de deux termes est positif, ces deux termes sont de même signe ; et que si le produit est négatif, les deux termes sont de sijgHé ébrt^' traire. On peut donc formef le tableau ?ifivaiït ; ^ ,

-}- divisé pai* '-Ç donné au ({uotient -(-

ce qui montre que le quotient de deux termes de même signe a le signe -f- , et que le quotient de deux termes de signe contraire a le sipie<^\ règle qtiî est la même qiie pour là iaiuliiplicatiori! '

Dans Texemple actuel, le premier terme du dividende et le premier terme du diyiçei^r étant positifs^ le premier terrn^ d^,-quotient sera positif. On divisera' donc 30aV par ^ax^ , ce qui donne ^x^ , et Ton écrira ce^ preip^Hér temjiejiu qupUent au-dessous du , diviseur.

Lerdividèndie ëtiantlei produit du diviseur pajrile'qirofièiit, ijàhtient) tous- les pixMini^spartieis^dn diviseorpar les dtAètrenlstermeiâ du quotient; Le premier ierme du quotient; étant trouvé, on peut donc> mpllipVier lei diviseur par ce terme, et retrancher le pirioéuit * aiuâi obtenu du dividende ; le reste ne contiendra plus que les proéduLts du diviseur par les termes suivants du quotient, et sera f^ar ' conséquent un nouveau dividende plus simple sur lequel on pourra opérer comme sur le premier. Ce calcul se fait de la manière suivante : -fr ^ax^ multiplié par + 6aa?' donne + SOa*^'^ , et, ' pour soustraira, — 30«V , qu'on écrit au-dessous du . pemier terme dû dividende; — 3a V par + Gaa:* donne ^rruiSa^a:* ,? et, pour soustraire^ + ISaV , qu>n écr+t Au^d^esscmsidiu dividende, à la suite du term^^ précéidfent '; ^h- 4ula? .par.+ SdKt* . donne — 24aV , et, poùr soiisfràirè +24 «V., qu'on écrit au-dessous du dividende à la suite des deux termes précédentîi; enfin ,7f- a* par -f- Gax* donne -^ pa^x'^ , et,, poyr soustraire.

86 OPÉRATIONS. FONDAVBiarALBS :

— 6a-aî* , qv!'oa4qriteQcofeau-de&so|]S:dudivideiidtt4Ift «niWïies trois termes précédents. On tire un trait horizontal aa*4i«6S«iii& dH polynoQiespustrait^on opère la réduction des ^rmes sembtaMes, et l'on obtient pour premier reste.

Ce premier reste étant Fe produit du diyiseur par l'ensemble* des termes inconnus du quotient, et se trouvant ordonné cômtne le di* viseur et le quotient par rappoit aux puissances décroissaDtes de la lettre x , son premier terme est le produit exact du premier terme da diviseur ^par le premier des termes tncbnnus du qtpotiës^; pufâque ce produit partiel n'a pu se réduire avec aucim autre: @û aura donc le second terme du quotient en divisant le premier terme du premier reste, ou second dividende, par le premier tenn^ du diviseur; Or — 10 a^ar* divisé par,-f- 5aar* donne — *2a^ar ; on écrit ce quotient partiel à la suite du premier terme du quotient total.

Connaissant le çecond terme du quotient, on peut faire le pro*duit du diviseur par ce second terme, et retrancher ce produit dti premier reste ; le second reste qu on obtiendra ne contiendra plus que les produits partiels du diviseur par les termes suivants du quo> tient. £n effectuant ces calculs de la même manière que ci-4essoà, on obtient pour second reste

Ce second reste étant le produit du diviseur par Tensemble des termes inconnus du (juotient, et se trouvant ordonné par rapport aux puissances décroissantes de la lettre x , son premier terme est le produit exact du premier terme du diviseur par le premieit* des termes inconnus du quotient, puisque ce produit partiel n'^ pu se réduire avec aucun autre. On obtiendra donc le troisième terme du quotient en divisant le premier terme du second reste par le premier terme du diviseur. Or, + 15fl*a:* divisé par 4-î'^'^' donne +3a' ; on écrit ce quotient partiel à la suite des deux premier;^ termes du quotient total.

, Connaissant le troisième terme du quotient, on peut multiplier le diviseur par ce terme, et soustraire le produit du second reste; le troisième reste qu'on obtiendra ne contiendra plus que les produits partiels du diviseur par les termes suivants du quotient, s'il y en a. En effectuant ces calculs, on trouve zéro pour le troisième reste; il en résulte que l'opération est terminée, et que le quotient total est

Digiti

DE LA DIVISION. iSd

iEn multipliant^ enelTet, le diviseur par ce quotient, on reproduirait le dividende (8^).

De lout«e^ttî précèd^^, on tire lu règle suivante : Po^r dktset deux polynômes hin par l'autre^ on écrit le diviienr à la droite du dividende en les ordonnant par rapport aux puissances d'une même lettre; on les sépare par un trait vertical^ et Von tire un trait horizontal au-dessous du diviseur powr le séparer du quotient. On divise le premier terme du dividende par le premier terme du diviseur ; on obtient ainsi le premier terme du quotient^ quon émt au-dessous du divùeur. On multiplié le diviseur par ce terme; on soustrait le pr(^ dmt dm dividende^et ton obtient un premier reste. On divise le premier terme de ce premier reste par le premier terme du diviseur ; on obtient aimi le second terme du quotient; on V écrit à la mite du premier ; oa mulliffie le diviseur par ce second terme ; on soustrait le produit du premier restCj et Ton obtient un second reste. Ori opère sur ce second reste et sur les miva^s^ comme sur le premier; on obtient ainsi les termes successifs du quotient. Si le dividende est le produit exact du diviseur par un polynôme entier^ on obtient zéro pour dernier reste ^ eî X opération est terminée.

{Dans chaque division partielle de monômes, il faut observer la règle des signes, qui consiste en ce que deux termes de même sign^ donnent un quotient positifs et deux termes de signe contraire un quotient négatif).

46. Il peut arriver que le dividende et le diviseur contiennent plusieurs termes affectés de la plus haute pissance de la lettre ordonnatricr ; dans ce cas, la môme circonstance peut se présenter au quotient. Or, on a vu (39) que le groupe le plus élevé du multi-

Slicande, multiplié par le groupe le plus élevé du multiplicateur, onne le groupe le plus élevé du produit, sans réduction avec les autres groupes. Si donc on divise le groupe le plus élevé du dividende par le groupe le plus élevé du diviseur, on obtiendra le groupe le plus élevé du quotient, lequel groupe pourra n'avoir qu'un seul terme, mais en renfermera ordinairement plusieurs. On multipliera le diviseur par le groupe de termes obtenus; on retranchera le produit du dividende, et Ton obtiendra un premier ^ reste, sur lequel on opérera comme sur le dividende, et ainsi de suite.

Le tableau qui suit offre un exemple du cas qui nous occupe :

30 OPÉEATIONS FONDAMENTALES :

Dividende. Diviseur^

9a» a,»— I2a»6 +i2afe5 —9a» laî«— i8a*6»

aî«+6a6*àî— 4a^6«

!•' reste — 12a»6

Quotient.

x*+i^cfib*]x 3a Ix— 4aô

ar«— 24a»6»aî +f6a«6»

+!2a»6 Ij5*+24a«6»aî — <6a»6»

2« reste.

Après avoir disposé le dividende et le diviseur comme ce tableau rindique, on divise le groupe le plus élevé du dividende, c*est-adire (9a' — iab*)x^ , par le groupe le plus élevé du divisçur, savoir (3a' — iab)x* . Le facteur 9a' — 4a6* divisé par le facteur 3a+2aft,

-~9ag+6g»6 3a+2!^

donne pour quotient (Sa-f-^^) • Et comme le facteur a? divisé par le facteur x* donne pour quotient x , le quotient des deux groupes considérés sera (3a+26) x . On écrit ce groupe de termes au quotient total; on multiplie le diviseur par ce groupe, on soustrait le produit du dividende, et Ton obtient le premier reste.

Le grou pe le plus élevé de ce premier reste est ( — 1 2a»*+8a*6*)£c* . Pour le diviser par le groupe le plus élevé du diviseur^ ou par (3a*— 2ab)x\ il suffit de diviser— l2a'i+8a*J* par 3a*— 2a*, puisque x^ divisé par x^ donne. Tunitë. Effectuant cette division partielle

— 12a56-f.8a«6« |3a«— 2a6 +i2ag6---8a»6« — 4afr

on trouve — iab , qu'on écrit à la droite du premier groupe de termes du quotient. On multiplie le diviseur par le nouveau terme obtenu, on soustrait le produit du premier reste : et comme on

• ' ÉQUATIONS ' fer' PitÔfetÉMÉS DtT i^ftEl^lEH DEGRÉ. * 47

RiiHÂRQuçs. I.' Cette dé.mQpatratian suppose e$sentieUemenl que le facteur m introduit n'est pas nul ; et il faut admettre par conséquent qu'il ne contient pas l'inconnue x . S'il la contenait, il se pourrait qu'une certaine valeur de x annulâ^t le facteur m ; celte valeur annulant par suite les deux membres de Téquation [2], cette équation se trouverait satisfaite; tandis qu'il arriverait en général que l'équation [1] ne le serait pas. Ces deux équations ne seraient pas alors équivalentes.

Soit, par exemple, l'équation très-simple

multiplions ses deux membres par x — 1, il viendra .

Cette équation est vérifiée par la valeur i ,qui annule:!^ facteur introduit x-^l ; tandis qu'il est facile 'de s'assurer, que cette • même valeur 1 ne satisfait pas à l'équation primitive.

IL II y a cependant une exception à cette exception ; c'est-à-dire que la proposition générale subsiste lot-sque le facteur par lequel on multiplie les deux membres d'une équation est le dénominateur commun à tous $es termes, qu'il contienne ou non l'inconnue.

Cela tient à ce que la suppression du dénominateur commun, bien qu'elle soit équivalente à une multiplication (55, Rem., et 61), n'introduit pas réelletaeat de facteur dans l'équation ré£ai)taii<le(,< ëi l'oQ a pris leplus petit déuommateuroopfimufi, comme ii estfacil^e de le faire dans les cas qui se ptésen^tent ordinairement. .. Il résulte de la propjOsitix)Q précédente et de la dernière remarque q}^^l'mpe]ii>t^ mns changer ks valeurs de l'inconnue^ fmre^iipariritre les dénominateurs d'une équation.

65. On démontrerait exactement de la même manière que Ton peut^ sans changer les valeurs de l'inconnue^ diviser tes deux membres d-^tUe équation par une même quantité ;et, par conséquent, supprimer les facteurs communs aux deux membres. '

Il faut cependant faire ici la môme restriction que ci-dessus, et supposer que le facteur supprimé n'est pas nul, et qu'il ne contient pas l'inconnue. S'il la contenait, il se pourrait qu'une certaine valeur de l'inconnue annulât ce facteur et satisfît par suite àl'équation primitive, sans satisfaire pour cela à l'équation résultant de la suppression du facteur. C'est ainsi que l'équatidn

dans laquelle les deux membres sont divisibles par x^r-i > €ist

satisfaite par là valeur 1, qui, mise pour x , annule ce facteur

Alg. s. ' 4

4ë OPéftATlONS FOriDAMENtALteS : •

ccHhtnun iet J)at* suite les deux membres ; tandis que cette méiuc valeur < ne satisfait pas à J'éqoatloti

(Ju'ôn obûent en supprimant le facteur x — 1 .

66. Les équations aune seule inconnue se distinguent les unes dea^autres. par leur é^,7r^';on nomme degré d'une équation, le plus baiit exposant de rinco'nnue lorsau on a lait disp^iraître les dénomil>at,çi>r$^ effectué les calculs indiqués, et opéré la réduction .^es termes semblables (60).

L'équation 3x+l=4 — 2x est da premier degre\ parce que le plus baut exposant de x est l'unité.

L'équalionox* — J>: = ca? — d est du second degré\ parce que le plu?, haut exposant dç x est 2 .

..L'équation ax? + 6-^* = c est du qmtrième degre\ parce que le plus haut exposant de a? est 4 . El ainsi de suite.

L'équation:- . (rr^— «)* — a?*=:=6*,

qui paraît du second degré au premier abord, n'est réellement ^'ue du premier, parce que, lorsqu'on a développé (x — a)* et fait la réduûtïon des termes semblables, il reste

' , . , a*-— 2aar;=A* . *. . .

b L'équation ax-\--=^c •

âtticô*H)^ffira4 dans laque^Ue a? n'entre qu'à ta première puissance,est réellement du second degré, parce que, loreqa'oo a fait dtspa*^ ttitl¥ele«'déiioîûiiiiaitears, ellê<levient : '

fla?* + ô=ca7 , '

oà âTieotre avec l'exposant 2 .

. .Naas ne. âoas occuperons d'abord que des équations du premier

degré. .,,

On distingua encore les équations en équations numériques et en

équations /iWrate, suivant que lesjquantités données qui y entrent

sont exprimées par des nombres ou représentées par des lettres.

§ II. De la résolution dés équattions du premier degré à tine seule inconnue!

67. Résoudre une équation, c'est déterminer les valeurs qui, mises à la place de l'inconnue, rendent le premier membre égal ad second, et fliangent par cpnséqaeîjt l'équation en identité.

Pour résoudre une équation, on cherche à la transformer en une équation équivalente (63), dans laquelle l'inconnue soit seule et 'à

EQUATIONS £T PROBLÈME DU IM)GMIfiA DEGRI^.. 4j^

la.piremière puiissance dans un membre, l'autre membre ne ^mU^rnant que des quantités connues. Si, par exemple,, en opé^raçt.de, cette manière, on arrive à une équation telle que x:=i , comme cette équation est évidemment satisfaite quand on y remplace x par 4, et qu'elle ne peut être satisfaite par aucun autre nombre, >ii s'ensuit que le nombre 4 est la valeur de Tinconnue, puisque Téquation proposée est équivalente à rp=4 . ' /' .

Si, de même, on parvient à une équation telle ([ne x=^ — 5 ';,* il s'ensuit que a — h est la valeur de l'inconnue.

Potir résoudre une équation quelconque du premier degré à uûe seule inconnue, on suit une marche uniforme que l'on peut reçumer dé cette manière : . •

1® Faire disparaître les dénominateurs (61). • •

2** Effectuer les multiplications indiquées, s'il y en a.

. 3® Faire passer dans un même membre tous les*^ termes qui comtiennènt ririconnue, et dans l'autre membre tous les termes qui en sont indépendants (60).

4® Opérer la réduction des termes semblables (22). 1

Il poiivieat deicboisir le membre où l'on réunit, les termes affectés de l'inconnue, de manière que, si les facteurs qui multiplient l'inconnue sont numériques, l'ensemble des termes positifs l'emporté sur l'ensemble des termes négatifs, et que, si ces facteurs sont littéraux, il y ait au moins un terme positif; ce qui sera toujours possible. T

5® Mettre l'inconnue en facteur commun (44) dans le membre où elle se trouve (s'il y a plusieurs termes affectés de l'inconnue qui n'aient pu se réduire).

6® Diviser les deux membres par la quantité qui. multiplia l'inconnue (68).

De cette manière, on aura passé par une suite d'équations équivalentes (63), dont la dernière présentera l'inconnue seule dans on membre et des quantités connues dans l'autre; c'est-'à-^ire que Ton aura obtenu la valeur de l'inconnue.

Soit pour premier exemple l'équation numérique

2a?— i o ag+3

Faisant disparaître les dénominateurs, nous aurons

Effectuons les multiplications, l'équation deviendra

16.r— 8— 120r±:5.r-hlS • Faisons passer dans le premier membre tous les termes en x ,

$0 OPÉBATIONS FOMPAMENTAIfSS :

et d9,ns le second tous tes ternies indépendants de :o , il viep^ra

ou, en faisant la réduction des termes senriblables,

Ha:=143 .

Divisons les deux membres par le nombre H qui multiplie x , iHHiB aurons enfin

a?= " , ou, en effectuant la division, a?=13 .

On peut vérifier, en effet, que si dans l'équation proppsée on met 13 à la place de x , chacun des deux membres se réduit à 2 ; en sorte que l'équation est satisfaite.

Soit pour second exemple l'équation littérale

Faisons dispai:altre les dénominateurs, nous aurons

(<ix+8b)(a—b)=(x—2a){a-{-b)+S(a-\'b){a—by ,

ou, ep efifectuaut les mutiplicalion- indiquées,

2^+8(tô 2te— 8A*=^.r— 2a*+Aa?— 2aA+5a*— 5** .

Faisons passer dans le premier membre tous les termes affectés de X , et dans le second tous les termes indépendants de a: , il viçndra

2«^~2A«?— aoî— ^x=~2a*— 2a6+5a'— 5Â^— 8a64-86* . :

ou, en o](>érant la réduction des termes semblables,

Mettons x en évidence . dans le premier membre, Téquation prendra la forma

(a— 3A)a;z=3a*— 10aA+3A* .

Divisons enfin les deux membres par la quantité o-^3fr qui multiplie X , nous obtiendrons

3a^~J0ay-36«- . . . ,. ^~ «-^^ . ■ ' ou, en effectuant la division indiquée,

La valeur de Tinconnue est donc 3a ^— 6 ; et, en effet, il est facile de vérifier que si Ion remplace x par cette valeur, les deu^. meïnhre$ de. Téquaiion proppsée se réduisent tous deux, à 6 . //

ÉQVATIONS mr PROBLÈMES DO PRESIEH DEGRÉ. ' ^t

' Exemples. Le lecteur pourra s'exercer sur les exemples suivants' : 5fÇ^6=i^ (d'où a;=7);

'^-*=IS (d'où ..^3«-2d) .

68. Remarques. I. La valeur obtenue satisfait toujours et équatiôti proposée; car elle satisfait évidemment à la dernière équation, ^ui est équivalente à la proposée.

IL Une équation du premier degré à une seule inconnue n'admet pour cette inconnue qu une seule valeur ; car ^ pour qu'une valeur ss^-, tisfasse à Téquation proposée, il faut qu'elle satisfasse à 1^ dernière équation obtenue, qui lui est équivalente; il faut donc qu'elle aoit égale au second membre de cette dernière équation.

Par -exemple, dans l'exemple numérique ci-dessus, on arrive àa?= 13; pour qu'une valeur, mise à la place de a?, satisfasse à la proposée, il faut qu'elle satisfasse à aj^=;13;il faut' donc qu'elle soil égale, à 13.

m. L'habitude du calcul permet souvent d'exécuter en même temps plusieurs des opérations que nous avons détaillées. Ainsi, ^ en faisant disparaître les dénominateurs, on peut en même temps effectuer les multiplications. Ainsi, encore, en faisant passer les, termes d'un, membre dans un autre, on peut en même temps effec-,' tuer la réduction des termes semblables.

IV. Si, par suite du choix qu'on aurait fait pour le membre dans' lequel on fait passer les termes^ affectés de l'inconnue, il arrivait qu'après la réduction des termes semblables, tous les ternies affec-,, tés de l'inconnue fussent négatifs, on pourrait changer les signes de tous les termes, ce qui ne troublerait pas Téquation : car ce changement revient à faire changer de membre à tous les teriaes,' et à intervertir ensuite l'ordre des deux membres, ce qui estévir ; demment permis.

69. &sMÀBQUi:s SUR LES mÉGAUTÉs. Lorsquou veut exprimes^ i qu'une quantité doit être plus petite ou plus grande qu'une autre^., on a vu (14) qu'il suffit de les écrire à la suite l'une de l'autre en les séparant par le signe < dans le premier cas, ou par le signe > dans le second. Une pareille expression est ce qu'on nomme une inégalité. Ainsi ' ' ■' •

sont des inégalités. '

On peut évidemment leur faire subir les mêmes transformations

qu'aux égalités, puisque ces iransfonuationjs ne troublent pas Tinêgalïté. Mais les différentes inégalités auxquelles on parvient ainsi ne sont pas équivalentes (63), comme cela a lieu pour les égalités. En outre-, il ne serait pas permis d'intervertir Tordre des deux membres ; il faudrait dans ce cas renverser le signe de Tinégalité. On ne pourrait pas non plus changer les signes de tous l^s termes, sans reBver&er le sens de Tinégalité, puisque ce changement de signes revient à transposer les deux membres.

On a quelquefois besoin de transformer une inégalité en une autre. dans laquelle une certaine quantité se trouve isolée dans Tun des deux membres, et précédée du signe + ; cette transformation a pour but de déduire de l'inégalité une limite pour la quantité dont il s'agit. C'est ce qu'on appelle, par extension, résoudre l'inégalilé par rapport à la quantité considérée. Cette résolution s'opère d'après les mêmes règles que pour les équations, çauf les ^restrictions énoncées plus haut.

Ainsi de aî+S>42 on tire a?>12— 5 ou a?>7 .

De ^~i^^~2~ ^"^ ''^^ successivement

2a— 2a?<3A— 3» , puis 3a?— 2a;<36 — 2a ;

On traiterait de même toutes les inégalités qui sont à.\x prmii&r degré par rapport à la quantité considérée, c'est-à-dire qui, après la suppression' des dénominateurs, ne contiennent cette qufintité qu'à la première puissance.

§ III. Problèmeg qui conduisent à une équation du premier degré , à une seule inconnue.

70. La résolntîon d'un problème d'Algèbre se compose nécessairement de deux parties. Dans la premièreon cherche à exprimer les reiationsque l'énoncé établit entre les inconnueset les données, ce qui conduit toujours à un certain nombre d'équations, si le problème est réellement du ressort de l'Algèbre. Dans la seconde on cherche à déduire de ces équations les valeurs des inconnues.

L'Algèbre donne des règles certaines pour la résolution des équations; quant à la première partie, qu'on appelle la mise en équations^ elle ne saurait être astreinte à des lois aussi certaines, vu l'immense variété .des problèmes qu'on peut avoir à réèoudre.^II , existe cependant une sorte de marche à suivre qu'on peut forinuler de cette manière : Indiquer sur les lettres qui représentent les 'm connues et sur les données numériques ou littérales, les opérations

Digiti

QUE L or^ EFFHjCTUKRA^T, si^ apvès avoiv trouvé les valeurs des inconnuesj on se proposait de les vérifier. L'usage que nous ferons de ceUë règle en fera comprendre l'esprit et la portée.

Nous ne nous occuperons dans ce paragraphe que des protilètnes qui conduisent à une seule équation du pi'emier degré à iHie seule inconnue.

71. Premier problème. Un père a 27, ans ^ son fils en a ii': on demande dans combien d'années fdge du père sera le doublé de cielui du fils.

Désignons par x le nombre d'années cherché. Si ce nombre d'années était connu, et que l'on voulût le vérifier, on dirait :

Le père ayant 37 ans, dans x années il en aura 37-}-ic';. à la môme époque, le fils en aura 12 + ^ ; d'après l'énoiicè, fe double de cet âge, c'est-à-dire (12 -{-x) X 2 doit valoir l'âge du père. On doit donc avoir l'égalité

et l'on a ainsi obtenu l'équation da problème. En la résolvant (^7), on trouve .

,■.-■-.' • a?=tl3. ' y - •• - -

Et, en effet, danslS ans, le fils aura 12 -f- 13 ou 25 ans ; le père en aura 37 -|- 13 ou 50, qui est bien- le double de 25.

72. Deuxième problème. On a 60 hectolitres de blé à 30 /r. r hectolitre ; combien faut-il y joindre de blé à 22 fr. pour faire unmélange valant 25 fr. r hectolitre ? *

Désignons par x le nombre d'hectolitres cherché, et opérons comme si nous voulions vérifier ce nombre. Le prix dés 60 hectolitres à 30 fr. est 30' X 60 ou 1800 fr. ; le prix des x hectolitres à 22 fr. est 22' Xx ou 22 .r ;. le prix total çst,,donc 1800 + 22^. Pour avoir le prix d'un hectolitre du mélange, il faut diviser le prix total par le nombre total d'hectolitres, qui est QO-^-x . Mais, d'après l'énoncé, ce prix doiUétre de 25 fr. : on doit donc avoir l'égalité .

c'est l'équation du pfoblème. En la résolvant, on trouve oè= 10(| . rll faut donc prendre 100 hectolitres à 22 fr. ' . \

Le même problème, traité généralement, donnera une formule

.pour résoudre toutes les questions analogues. Soient n le nombre

,,d'hectolitras donné à a francs l'hectolitre,, x le nombre