iMJi<m MomAMmjJ

(i'h^U>li!(i'e^i<çt^rcfaâ à.fr fraac& l-beetolUri», . soil enfio, e te. prix d'un hectolitre du mélange. Le prix total du blé sera na 4* âr et le nombre total d'hectolitres n + oî ; on devra donc avoir

na+bx

d'où Ton tire x^^^^^ ,

c'est-à-dire qu'il faut multiplier le nombre n d'heçtolitreî^; donnés par la différence a — c entre le prix supérieur et le prix moyen, et diviser le produit par la différence c — b entre le prix moyen et le prix inférieur.

' Si, par exemple, on suppose/! = 40; a = 24, i=:i9 ; c=21, on trouvera

73. Troisième problème. Une paysanne^ chargée de vendre des œufs au marchéy vend à une première personne la moitié de ces œufs.^ plus la moitié d'un œuf ; à une seconde' personne la moitié de ce qui lui reste^ plus la moitié <t un œuf ; enfin, à une troisième la moitié de ce qui lui reste de la seconde vente, plus la moitié d'un œuf. Après cette troirième vênte^ il lui reste 7 omfs; combien en avait-elle en arrivant au marché?

Soit X te nombre d'ofeufs qu'avait la marchande en arrivant.

Çlle vend à un^ première personne uû nopibre d'œafs marqué

par.Jrf-^ .;. il lui eU: reste dpnc après cette première yente/

de ce qui lui reste, c'est-à-dire "t—t , plus la mohiîd'un oeuf, ou -— ;^+2 , ou ençpre -+t ; il lui en reste donc

Elle vend à une troisième. personne la moitié de ce qui lui reste de celte seconde vente,^ ^c'est-à-dire | — ^ , plus la moitié d'un œuf,

ou|— -+-, ou encore J+g-:; Uilui r^iitedjwc

Elle vend à une seeonde personne là môkié

ÉQUATIONS ET mOâLÂMÊd DÛ PReHISR DEGRÉ. 55'

Mais d'aprè8 l'éttencé» ce reste doit être égal à 7 ; on a dotoe ' ïég^Mié ^ '

c'est l'équation du problème. En la résolvant, on trouve

En effet, à la première personne, la paysanne vend la moitié de 63 plus la moitié de 1 , ce qui est la même chose que la moitié de 64, c'est-à-dire 32; et il eh reste par conséquent 3i . A la seconde personne, elle vend la moitié de 31 plus la moitiéde 1 , ce qui est la même chose que la moitié de 32 , c'est-àdire 16 , et il en reste par conséquent 15 . A la troisième personne, elle vend la moitié de 15 , plu« La moitié de 1 , ce qui est la même chose que la moitié de 16 , c'est-à-dire 8, et il en reste bien 7 , comme l'exige l'énoncé.

74. QuATBiÀHB PROBLÈME. Uti ouvriev peut faire un certain ou^ vragie en 18 heures de travail ; un second ouvrier ferait le même ouvrage en 24 heures de travail; un troisième le ferait en 36 heures^ On demande combien d'heures les trois ouvriers travaillant ensemble emploieront à faire ce même ouvrage. :.

Soit X le nombre d'heures cherché. Le premier ouvrier faisant

l'ouvrage proposé en 18 heures, fera en 1 heure -^ de cet' ouvrage'. En a? heures il en fera donc une fraction marquée par ' ' ^g . Par une raison analogue, le second ouvrier, en x heures,

fera 5^ d^ l'ouvrage proposé; et le troisième ouvrier en fera ^ • .

Or la somme de ces fractions de l'ouvrage doit faire l'ouvrage entier, qui est pris ici pour unité; on doit donc avoir

ou . ïi^±P=l, d'oii .=^1^8; ., , ■,',

les trois ouvriers emploieront donc 8 heures^ . , "

On voit, en effet, qu'en 8 heures , le premier ouvrier fera les

jg ou les - de la tâche; le second jCU fera, tes ^^ on le tiers,

M OPÉRATION rONDAVENTALtS !

qui revient à - ; le troisième en fera les ,« ou les - . Or, la

somme

û + 5 + 5 f''^»' 5 Ott * >

c'est-à-dire la iiche tout entière.

On obtient facilement une formule générale pour résoudre Jes problèmes analogues. Soient a ^. b , c les nombres d'heures employées par chaque ouvrier pour faire la tâche à lui seul ; en raisonnant comme ci-dessus, on arrivera facilement à l'équation

qui donne ''^^iô^tï^rc '

7&: Cinquième problème. Plusieurs personnes puisent dans un vase contenant du vin : la première y prend 1 litre ^ plus le quart de ce qui reste ; la seconde vient ensuite prendre 2 litres^ plus le quart de ce qui reste (flprès avoir pris ces 2 litres ) ; la troisième vient ensuite prendre 3 litres , plus le quart de ce qui reste {après avoir pris ces 3 litres)^ et ainsi de suite ;ilse trouve alors que le vin a été également partagé entre toutes les personnes, (hfi demande la quantité de vin contenue dans le vase ^ le nombre des personnes et la jpart de chacune d'elles.

il n yaréellement qu'une inconnue dans ce problème, bien qu'il semble y en avoir trois, les deux autres se déduisant immédiatement de la première. Soit donc x le nombre de litres de vin contenu dans le vase. La pari de la première personne sera

. , x—i x4-d ... ^ aî4-3 3a;— 3 j

1-j — 7- OU -^ ; et u restera x ^ ou — r— . Lorsque la seconde personne aura pris 2 litres, il restera — p — 2 ou ^ : la part de cette seconde personne sera donc

2+i(3£=ii) ou -2+^, ou enfin '-^ . Mais, les

parts devant être égales, on a immédiatement l'équation du problème en égalant la première part à la seconde, ce qui donne

d*où x=i9 .

Le vase contient donc 9 litres de vin.

ÉQUATIONS ET PHOBLÂMBS DU PBBMIER DEGRÉ. 57

Su|)stitaantcetteyaleurdan8lapreinière part, on la trouve égale

à ^-~— OU 3 litres ; et puisqu'elles sont toutes égales, le nombre des personnes est !e quotient de 9 par. 3, ou 3.

On voit que l'égalilé des trois parts est une conséquence de l'égalité des deux premières, et par conséquent l'énoncé du problème contient j>lus de eondîtions qu'il n'est nécessaire.

Il est facile d'ailleurs de vérifier que ces conditions sont remplies.

La première personne prend 4 litre , il en resté 8 ; le quart de ce reste est 2 ; la part de la première personne est donc 1+2 ou 3 . Il reste alors 6 litres dans le vase. La seconde personne en prend 2 ; il en reste 4 ; le quart de ce reste est 1 ; la part de la seconde personne est donc 2+1 ou 3 . Il reste alors 3 litres dans le vase. La troisième personne prenant ces 3 litres , plus le quart de ce qui resie, ou zéro, la part de cette troisième personne est donc égale à 3 comme celle de chacune des deux autres.

76. Il n'est pas sans intérêt de traiter le même problème d'une manière générale, en supposant qu'au lieu de prendre chaque fois le quart de ce qui reste dans le vase, on en prenna une fraction

marquée par -,

Dans cette hypothèse, la part de la première personne est

Iof» 4 j» I j2 4 /t» 1 1 yt 1 ■ 1 4 -- — ou --^ , Il reste dans le vase x -^ n n . ' »

OU ^^-^— . La seconde personne prenant 2 litres sur

ce reste, il reste alors dans le vase ; , ' : .,

ou encore ^~^~ ^"^ . La part de^ la seconde personne

sera donc ; ^+i{^^=^'^^)\

ou 2+ »^-^7^»-»-* oa encore nx-œ^in^-^n^i '

Égalant les deux premières parts, on obtient l'équation ac+w — i nx — a?+2n*— 3w -^ 4

88 dPÉnAflONTS FOISTDAMENtALES :

d'où îTrrrn'— 2w4-l OU Xr=:(n — iy .

Cette valeur de x , substituée dans Téxpression de la première part, donne pour la valeur de cette part

....■■ ?'^^.^t^ . + . ^-^ V ou 2î=:2 ,, ou enfin n^l -r "^

Divisa^ h vateui? da x fiar la valeur d'une part, on (n^-1)* ]fVif \n—iy ,,on obtieatpovr qiMUieiit k nombre des 'patts, qui est n — l . ' .

. H.rçs^eà|v^rifi?r régalUéde toutes les parts; Or, d'abord, < les deux^ premières sont égales, puisque c'est an écrivant cette égalité qu'on a obtenu l'équation du problème. Gela posé,. pour démoittrer l'ég^l^té 4e toutes tes autres, nous emploierons bd mo(te de i démonstration dont. çn Xaiiun fxéquent usage en Algèbre* IlcoÂslsIe, £^faire vqir au^si la proposttioaa été vérifiée pour oneertain nombre de parts, elfe sera vraie encore pour la part suivante ; et, en ^flét, si cela était démontré, comme les deux premières parts sont égateft,^ il en ré$u lirait que \% ti^isième est égaie à chacune des deux pr^nâièrçis; les trois pre^ièr^s étant donc égales, il en résulterait que . la(}uatriëme est égale à cbacune des trois premières, et arnst d& suite : donc îl serait démontré que toutes les parts sont égalés;

Supposons donc que lesp premières parts sont égales, H dé* montrons que la part suivante, ou la (p+*)'*°" ? ^st égale à une' quelconque des précédentes. Pour cela, remarquons que la première ,paj;t ayant pour valeur n — 1 , la somme des p premières parts est (n — 1);^ . Quand ces p premières parts ont é^é^, prises, ilreste dans le vase (n — i)* — (n^l)p . Or, la première personne prend 1 litre avant de prendre - de ce qui

reste ; la deuxième personne prend de même 2 litres , la troisième prend 3 litres ,♦ la ;?""• prend donc p litres , et la (p-|-l)""' prend p+l litres. Il restera donc alors dans le vase

• (n~iy^(n-l)p^(p + l) .

La part de la (j»+l)""' personne sera donc

ou n(p+i)+(n-i)«~(n~i)p-(p+i)

OU, en effectuant les multiplications, et réduisant

np+n+ri'—^n+i—np+p—p—i '^^*^~'"'

ou enfin, w-^l. . . V

ÉQUATIONS et; . PBQfgM^M^S m W^%m DEGRÉ. ^

La (ji + !)**""• part est donc égale à. la première* ,Donc, d'après les raisonnements faits plus haut, toutes les paris sont bien égales;.

NoijsfiyQusj^ insisté sur ce problème^ parce qu'il offre, un- utile exemple ^e mïse en équation et de bons ejtercicesde;Catoulu i

77. Le Ipctenr pourra&'exercer sur quelques-«ûs de? problèmes dont les énoncés suivent :

I. Parl»ger M: m deux parties telles que fe S»^ de h premiirer'pimie 7«* de tu secouée^, fas$evu 4 .(Réponse r fO et 14.) ' ' . *

Il Un enfant interroge sur sen dge^ répond : ^ Dans 16 ans mon dge sera le trijffe de ce quil était il g a 2 ans . 'j On demandé l'âge actuel de l'enfant, (Réponse : 11 ans .)

IIL' Une fontaine peut remplir un bassin en 6 heures , une autre peut le remplir en 8 heures ^ une trotsième en iO heures . Lorsqu'elles coulent ensemble pendant i hettres , ïl sen faut de 26 hectolitres que le bassin nesoitrempli. Quetleest saeapacité ^(Réponse : 120 hectolitres .) . .

IV. Une personne charitable partage 50 fr. entre 20 pauvres y parmi lesquels il y a un certain nombre d'hommes et de femmes, et m seul enfant ; elle donne 3 fr. à chaque homme, ^ fr, à chaque femme, et 1 fr. à Venfant, On demande combien il g avait d'hommes, et combien il y avait de femmes: Réponse : 11 hommes et 8 femmes )

V. Un père laisse 10 000/r- à ses quatre fils, et ordonne pat testament que le premier aura 2 foà autant que le sêèond, moins 2000 fr. ; h second 3 fois autant que le troisième, moins 3000 fr. et le troisième^ fois* autant que le quatrième, moin^ 4000 frj Quelles seront lesparts de^ quatre fils? (Réponse : 4000 fr. , 3000 fr., ,.2000 fr, . et 1000 fr.)

VL Un vase contient un mélange d'éafi etde viti. On en retire le quart et -on h remplace par db l'eau; on retire ensuite le quart de ce nouveau mélange, et on le remplace également par' de i*eau; enfin on retire le quart de ce troiàème mélange, et on le remplace encore par de Veau. Il arrive alors que le vase contient^ fois plus Seau que de vin. On demande dans quel rapport étaient Veau et le vin dans le mélange primitif, (Réponse- : comme 11 est à 16 .)

§ IV. Résolution d'un a^tôme de deox équiitidmi chi pt'émiér degt-é.

78. Lorsque». dans nn problème, il y a. deux inconnues, il faut que l'énoncé fournisse deux équations entre ces inconnues.. Simien.

effets il n'en fournissait qu'une, on pourrait altribuer à Tune des inconnues une valeur arbitraire; on n'aurait piusalors qu'une équation ne contenant que la seconde inconnue, pour laquelle on trouverait nn nombre limité de valeurs (une seule, par exemple, si réquation était du premier degré par rapport à cette inconnue) ; et comme on pourrait répéter ce calcul pour toutes lés valeurs arbitraires attribuées à la première inconnue, on voit qu'il y aurait, en général, un nombre illimité de systèmes de valeurs propres à vérifier Téquation. On dit, dans ce cas, que le proMème est indé^ terminé.

Si; par (exemple, on n'avait entre deux inconnues a? et j/ que réquation unique ,

on pourrait attribuer à y une valeur quelconque, la valeur correspondante de o) serait

ou la valeur attribuée à y augmentée d'une- unité. Il y aurait donc une infinité de solutions, et le problème serait indéterminé. Nous supposerons donc dans ce paragraphe que l'énoncé du problème fournît deux équations du premier degré à deux inconnues.

79. Une équation à deux inconnues est dite du premier degré lorsque après y avoirfail disparaître les dénominateurs, leî inconnues n'y entrent qu'à la première puissance, et n'y sont point multipliées entre elles. D' après cela : une équation du premier degré à deux inconnues, a? et y , ne peut renferiper que trois espèces de termes, savoir : des termes contenant a? à la première puissance, •des termes contenant!/ à cette môme puissance, et des termes indépendants de x et de y . Concevons qu'après avoir fait disparaître les dénominateurs (61), on ait réuni dans un même membre tous les termes qui contiennent les inconnues, et dans l'autre membre les termes qui en sont indépendants : puis, qu'après avoir opéré les réductions, on ait mis x en évidence parmi tous les termes qui le contiennent, et qu'on en ait fait autant pour y ; l'équation se présentera sous la forme

ax-\-by=c ,

dans laquelle a , 6 et c peuvent être des quantités numériques ou algébriques^ monômes ou polynômes.

La <ïuântilé a se 'nomme ordinairement le co^/jUcten^ de a:, et la quantité b se nomme le coefficient de y .

Nous admettrons donc que le problème fournisse deux équations de cette forme:' Résimdrè ces équations, c'est trouver les valeursquNI

ÉQUATIONS £T PIVOQLÈH£$ . DU P^EMIGîa DEGRÉ. (}{

faut attribuer aax \mmt^m^ pour satUfa^ire à la fois aax4euxéqualions. Pour y parive^ir on remçtrque d'abord que, si l'une des deux équatiQnsjf>ropo8êe§ ne renfermait queTiane des deux iacoonuesr 1|3S vaieujrs des deux lne<>anu6s $ obtiendraient imaiédi^tem^nt. Soit, en effet, UQè équation à deux inconnues

Qt uneéqqatioa à une seule inconnue, qu'on peut toujours suppo^ ser, résolue; par exemple

Si l^on'met poiir x- la taleur S dans Téquation [1], elle devient

d'où 2^=33— 25::r=8 et y=L

Et ces valeurs a;=5 , j( = 4 sont les seules qui puissent satisfaire aux équations proposées [1] et [2]; car la seconde exige que a: soit égal à 5 ; et si x est égal à 5 , l'équation [1] se change en Téquation [3], qui revient à 2^= 4 , et n'est satisfaite que quand on y met 4 à la place de y.

On voit donc que si l'une des équations proposées ne contenait que Tune des inconnues, x par exemple, cette équation donnerait immédiatement la valeur de a: ; et en substituant cette valeur à la place de x dans l'équation à deux inconnues, on en tirerait la valeur correspondante de «/ ; et l'on aurait ainsi. Iç sysjtèmQi (inique de valeurs de a: et de y propre à satisfaire à la foâs aux deux équations*

Tout l'artifice de la résolfilion d'un Système de deux équations, du premier' degré à deux inconnues cousine donc à déduire de ce système d'équations un système de deux autres équations équivalentes {c'e^t-h-dire admettant les mêmes, valeurs pour les inconnues),, et telles que l'une d'elle ne contienne que l'une des deux inconnues. C'est ce que l'on appelle f'/imm^ une inconnue. Il y a pour celaplusieursmélhodes,quenousallonsexposer,entraitantd'abord des exemples particuliers.