Soient les deux équations
S^+2y=:33 [IJ
proposons-nous d'éliminer l'inconnue y *. Observons pour cala qu'il est toujours permis d'ajouter ou de soustraire deux équations, membre iàTnembre;car^i deux quantités sont respectivement égarles à deux autres^ quantités, la somme oula différeiice^d^sdeux pre^.
62 OIȎllATIOfrS FOKDAIieNTALES :
mièrefiedt évidemment ('*irale à la somme oa & ta difTërence des depx dernières. Or, si y avait le même coefficient dans les deux équations, on ferait disparaître celte inconnue en retranchant ces deux équations membre à membre ; et si y atait dans les dé^x' équations des coefficients égaux et de signe contraire, on atteindrait le jBéme but en ajoutant ces deux équations membre à membre.
Dans Texemple qui nous occupe, y n'a pas le même coefficient dans tefideux équations; mais il est facile de faire en sorte quMl en soit ainsi : il suffit pour cela de multiplier lous festonnes de la preguère équation par le oœiBcient 3 de y dans la seconde, et tons le» terme^^ de la sBoonde par le coefficient 2 de y dans la première, ce qui est permis (64).
On obtient ainsi les équations
! 15tr+%=99 , [3]
^t, en les ajoutant membre à membre, puisque y a maintenaut, <ians les deux équations, des coefficients égaux et de signe contraire., il vient
'd'où ^='2? ^" x=S . [5]
Nous sommes ainsi ramenés au cas du numéro précédent, et nous avons vu que les valeurs qui satisfont aux équations [f] et [5] sont
x=z^ et y=r:4 .
. Dq Jà cette règle :
Lorsquon a deux équitiens du premier degré à deux inconnues, pour éliminer lune de ces inconnues^ il faut multiplier to^ts les termes de la première équation par le coefficient de cette inconnue dans la moièàe^ et tous les termes de la seconde par le coefficient de cette même inconnue dans la première. On soustrait alors ^ ou bien ton ajoute^ les deux équations membre à membre., selon que f inconnue à éliminer se trçuve aeoir dans les deux équations des coefficients de même signé ou de signe contraire.
Remahques. 1. Cette règle, qui a beaucoup d'analogie avec la réduction des fraçlions au même dénominateur, est aussi susceptible des mêmes simplifications; si les coefficients de T inconnue à éliusiner î^vaient des facteurs communs, il suffirait démultiplier tous lestetoes de chaque équation par les facteurs non communs; du coefficient de l'inconnue à éliminer, dans l'autre. • . ■
II. Si l'inconnue à éliminer n'avait dans l'une des équations
ÉQUATIONS E'^ PH0U^4li|ES. W, Pt^filfl^R' DEGRÉ. 1)3
d'autre coefficiept que ru|[)|(é vil suffirait^e^muUiplier ioas les termes de cette équation par le coeOicient de cette iBconaue. dans l'autre; ce qui rentre au reste dans la règle générale.
81. Il faut démontrer maintenant que Téquatian obtenue par cette élimination, jointe à Tune des équations proposées, forme un système équivalent à celui des deux proposées. Mais on peut 4è' montrer plus généralement que, si Ton maltiplie la première équation par une quantité quelconque m, la seconde par un« qusintité quelconquie »» et qu'on les ajoute ou qu'on les retranche membre à membre, l'équation ainsi obtenue, jointe à l'une des deux proposées, Torme un système équivalents celui des deux proposées.
Soient, en effet, les deux équa.tions
multiplions la première pur m, et faisons passer tous les termes dans le premier membre; multiplions la seconde, par n, -et faisons de même passer tous les termes dans un môme membre; nous obtiendrons les deux équations
(aX'A-b^—c)m=0 , [3]
(a'xJ^b'y—c')n=0 ; • [41
et, par des raisonnements analogues à ceux du n® 64, on démontrerait aisément qu'elles sont équivalentes aux deux premières. Retranchant membre à membre, on obtient
(aX'-\-by—c)m~(a'œ^b'y^c')n=0. ^ [51
11 s'agit de démontrer, par exemple, que le système des équations [1] et [5] équivaut au système des équations [l}et [21.
Or, tout système de VJîleurs de a: et de y qui satisfera aux équations [1] et [2], annulera les premiers membres des équa^tions{3] et [4], et par suite le premier membre de l'équation [SI qui en est la différence ; ces valeurs satisferont donc à l'équation [5], et conviendront par conséquent au système [1] et [5].
Réciproquement : tout système de valeurs de x et de y qui satisfera aux équations [Il et [51, annulera les premiers membres des équations [51 et [31 ; et par suite, le premier membre de l'équation [4] qui en est la différence; cesvaleurs salisferoAt do.i;ic, ^ l'équation [21 qui est la môme que [4], et conviendront par conséquent au système [1] et [21.
Donc enfin le système [1] et [b] équivaut au système [t]et[2]i.
Il en serait encore de môme si, au lieu de soustraire membre à membre les équations [1] et [21, on les eût ajoutées. ^ :
Alg. s. 5
Remarque. Si, en particulier, les valeurs de m et de n sout telles que y disparaisse de l'équation [5], notre conclusion subsiste, et la légitimité de Télimination effectuée plus haut se trouve démontrée.
82. Nous donnerons ici deux exemples du mode d'élimination exposé cî-déssus.
