I. Soient les deux équations citées plus haut

Supposons, pour un instant, que la valeur de x ait été déterminée par un procédé quelconque; en la mettant pour a; danl l'une des deux' équations proposées, dai?s la première, par exemple, on en tirerait la valeur correspondante de y . Or, si l'on tire de la première équation la valeur de y , en y regardant x comnie connu, on obtient - !i

Cette valeur, jointe à la valeur qu'on suppose avoir trouvée pour f, doit satisfaire à la seconde équation proposée. Si donc oh met dais l'équation [2], à la place de «/ , la valeur [3], l'égalité •

à laquelle on parvient, sera wnQconditkn ^ laquelle ja,ta^^urd,(f^ devra satisfaire. Cette condition, trai.tée comme MP éq^ftij 9^1 ><*^ l'inconnue est x, donnera donc la valeur de a; . En la résolvant, on trouver = 5, conime on l'a trouvé pur une autre méthode ; el cette valeur, mise pour x dans f équation [3], donne «de même y = 4.

On voit que dette méthode consiste à prendre la ^valeur de lîuiie

66 OPÉRATIONS FONDAMIilxNTALKS :

des inconnues dans l'une des deux équations, en y regardant l'autre ii'iconnne comme déterminée, et à iubstituer cette valeur dans la seconde équation; qui ne contient p*n.s alors qu'une seule inoûmmei En conséquence on a donné à cette mélbçde le noni de méthodiî par substitution.

Elle a, dans la pratique, Tinconvénient d'introduire des' dénominateurs qu'il faut ensuite faire disparaître. Mais elle offre l'avantage de pouvoir être généralisée, et appliquée, comme on le verra, à des équations de degré quelconque, toutes les fois que Tune de ces équations peuts^ résoudre par rapport à Tune des inconnues.

Remarque. Il est, en général, indifférent d'éliminer Tunç ou I-autrç.des inconnues. Néanmoins, dans les applications de l'algèbre à des questions de géométrie, de physique, de mécanique ou autres, il peut arriver que les coefficients des inconnues ne soient qu'approcncs; les valeurs qu'on obtient pour ces inconnues ne sont alors elles-mêmes qu'approchées ; mais, pour diminuer les erreurs, alors inévitables, du calculjl faut avoir le soin d'él iminer l'inconnue qui a Je plus grand coefficient, en prenant la valeur de cette inconnue dans l'équation où elle entre avec ce facteur. On congoit , en effet, que ce plus grand coefficient passant alors en dénominateur, les erreurs commises sur les autres coefficients se trouvent diminuées par ladivision, tandis qu'elles pourraient être au contraire augifténtée^ si l'on avait résolu par rapport à l'inconnue qui a le plus pe^tit.coeflTiçieq^.

, Si l'pn a par exemple les deux équations:

173,206ar+2,828y=304 , 8.66x — 0,141y=14,8 ,

on prendra dans la première la valeur de x pour la substituer dans la seconde; on obtiendra ainsi une équation en y seul qui donnera y=z 1, 4149, valeur qui, mise à la place de x dans la première équation donnera aî= 1, 7320

' 84. * H. Enfin, reprenons une dernière fois les équations [1] et [2] du n^ 83. Si Ton multiplie la première par une quantité indéterminée m, et qu'on les ajoute membre à membre, on obtient*-

.; , 9/wa:-f-7a;-|-2wy— 3y = 33m+23 . [5J

On a démontré au n^ 81 que l'équation ainsi obtenue, (Combinée avec l'une quelconque des deux proposées, forme on système d'é^ quations équivalentes aux proposées. Or, la quantité m, ètbnt

quelconque, on peut en disposer de manière k faire disparaître ^6 réqualion [5] tous Jes termes en y. PourceU^ il suffit de poser

2m===3, d'oùm::^:^- Cette valeur, mise pour m dans Téqua*

tioâii [jSJ, larMaità

d'où Ton tire encore ap= 6, et par suite y^:i=4.

Si les coefficients de y dans les deux équations proposées avaient eu le môme signe, il eût fallu soustraire les équations au lieu de les ajovler. ' '

Cette méthode, qu'on désigne sous le nom de méthode des coefficients indéterminés, offre, comme les deux précédentes, Tlnconyéuient des dénominateurs. Mais nous verrons bientôt ijii'on peut s'en servir de manière à tirer à volonté d*une seule et môme èrjuation (ranalogue de l'équation [5]), soit la valeur dé op, soit la valeur de y. Elle se rattache d'ailleurs à l'une des méthodes les plus générales et les plus fécondes de l'Algèbre. Nous y reviendrons plus loin; il nous suffil ici de l'avoir signalée.

85. Remarques sur les inégalités. Une question fournit quelquefois deux conditions exprimées par deux inégalités, dans lesquelles entrent deux quantités pour lesquelles on veut obtenir des Hmîtiefs'; c'estce qu'on appelle résoudre ces deux inégalités. On peut, en gê+ néral, employer à cet effet la méthode par réduction ; mais il faut bien remarquer : i^ Qu'on ne peut ajoujter deux inégalités membre à membre qu'autant que Içs signes ^^'m^gdXM sont dans le môme sens. Ainsi de

a^b et c>rf on peut déduire a-\-c>b^d ;

mais on ne pourrait savoir si a — c- est plus grand ou plus petit que h — d,

2^ Qu'on ne peut soustraire deux inégalités membre à membre qu'autant que les signes d'inégalité sont de sens contraire : ainsi de

7>5 et 2<3 on peut déduire 7 — 2>5— 3 , : ,

en retranchant l'inégalité avec le signe < de l'inégalité avec le signe > „ et en menant le signe > dans l'inégalité résultante. Mais on ne pourrait rien conclure, en général^ pour leur somma. îî La résolutioBide deux imVgalité^ du premier degré rie sera donc pas toujours possible.

' Si Ton a, par exemple, les deux inégalités

4j?~3y>41 et 7y— ar>3 ,

on en tirera par multiplication et addition, comme pour des équations,

mais si Ton avait les inégalités

/. î .4;ir:+3y>U et 7y — 2a:>3 ,

ou en tirerçiit bien y. >1, parce que x s'élimine par addition; mais on ne pourrait pas en déduire une limite pour x , parce ç^u'ij faudrait 30ustraire pour éliminer y .

Si. Ton av^it, au contraire, les inégalités

on en* tirerait bien ar>— , parce que y s'élimine en retran-

cliantla second^ inégalité de la première ; mais ou ne pourrait pas en tirer ]une liç^îte pour y , parce qu'il. faudrait. additionner. pour éliminer jr . .

§ V. Prolilfettes <tui conduisent à deux équations du premier degré . . à deux iuooQuues.

• ' 8ft. Parmi les problèmes qui présentent plusieurs ijacounues, il • en est un grand nombre qu'on peut résoudre en n employant. qu'une seule inconnue.

Prenoiiis pour exemple ce problème : Partager 15 en deux

parties telles^ que la première surpasse d'une unité tes :^ de la

seconde.

Si Ton appelle ar la première partie, la seconde sera 15 — jr , et dénoncé du problème fqurnit immédiatement l'équation

. d'où Ton tire x=^9 . Les deux parties sont donc 9 et 6 ; et, en effet, 9 surpasse d'une unité le nombre 8. , qui est les

5 de 6 . 1

Mais lorsqu'on traite ainsi, à l'aide d'une seule inconnue; uttpto-

ÉQUATIONS KT PilOBLÈMES PU PBEMIER DEGRÉ. .^ÎP

blême qui en comporte plusieurs^, c'est qu'on opère mentalemj^nit une véritable élimination. Dans le problème qui précède, par exemple, si Ton désigne par x la première partie jet par y la seconde, on a les deux équations

et si Ton tire de la première la valeur de y pour la substituer dans la seconde,* c'est-à-dire si Ton' élimine y entre les deux équations, on retombesur réquation[l]. C'est cette élimination de y qu'on a opérée mentalement quand on a traité le problème avec la seule inconnue a:. * ' , .

Ces éliminations tacites^, qui abrègent évidemment le calcul feçtift, compliquent souvent en revanche les opérations mentales que nécessite la mise en éqaationjdu problème; en sorte que, hors des cas trèssimples, comme celui qui précède, ou ceux des problèmes I, IV, propoiSés au n^77, on perd plus qu'on ne gagne à diminuer le nombre des inconnues. C'est même comme exercice d'intelligence seulement que nous avons proposé alors au lecteur le problème VI, du n^ 77, que l'on traitera plus aisément avec deux inconnues, quoique leur rapport seul soit l'inconnue demandée.

Nous croyons donc devoir donner comme conseil général d'introduire dans le calcul toutes les inconnuesque le problème comporte; si, parmi les équations qui les lient il y en a de très-simples, comme l'équation a;+:y=iS de tout à l'heure, on opérera par écrit lès éliminations très-simples qu'on eût opérées meritàletnènt; voilà toute la différence.

Nous ajouterons, par anticipation, que l'introduction de toutes leâ inconnues facilitera, en général, la discussion du problôtaie; nous verrons, en effet, qu'il se présente parfois des circonstances inexplicables en apparence, lorsque l'on a réduit mal à propos le nombre réel des inconnues.

Quant à la mise en équation, elle est soumise à la seule règle générale que nous avoiis donnée au n<* 70. Il ne nous reste doncqii'à .donner quelques exemples de problèmes conduisant à deux équations du premier degré à deux inconnues.

87. Premier problème. Deux espèces de monnaie sont telles, que 2 pièces de la première, plus 5 pièces de la seconde, font 13 /r. ; et que 18 pièces de la seconde surpassent de A fr, 5 cent, la wileur de 5 pièces de la premiète. Quelle $$t la

7(1 T • • < opiinjirrNiNs ' roicMHrKrALES • :

raiêW^ 0k' frmm et cenHmeê^ de ckaeutèe 4e een dêU» étfèeés de monnaie ?

Pésignons par x la valear d'qne des pièces de la première espèce, et par y la valeur d'une des pièces de la seconde. Noas adron», d'àlfirès renoncé, les deux équations :

On éliminera x en multipliant la première équation par 5 , la seconde par 2, et ajoutant; on trouve ainsi

36y+25y=65'+2',10 , ou\', i. , 6iy=67M0 , d'où y^lMO .

Cette, valeur, mise pour y dans la première équation, doane

= 2.r-f y,50— 13' , d'où x—Vjn . .

Chaque pièce delà première (espèce vaut donc 3^, 75, et cbaijd^e ' pièce de la secondé espèce i^ 10*. •