Deuxième problème. Trouver une fractions telie ^ «î fçn

ajoute. i^^^ unité à chacun de ses terme$ , elle devienne égajle ^ i J.^^ï

qtjeidjl'o^ f^ttefndie m contraire une unité de cha^iéik de ses termes

elk'dèni^lMiê^^h^é'^. •!.:..' , -

Soient jx le nuraéraiear et y le dénominateur; Ténoncé fournît sur-le-chkmpiïésdietix équations suivantes :' •. ■■ '^

OU 3y— 4a:=l et Sa?— 2y=l ,

qui d^Qpnent ^^^5 et y=7. La fraction demandée est donc r . Si, ett -effet; on. ajoute une unité à chacun de ses termes,' elle devîein^l; ttd 7 J' 'et si Ton retranche au contraire une uhité de '

chacun de ses termes, elle devient ^, ou r .

■ Mil ...^ " à

89. Troisième problème., fj/i^ nombre est confposé de deux chif^as^,^ dont la somme absolue est 14 \ et si oh tehtourne, il augmente cfe 5è;"^

ÉQUATIONS ET PACmiâMCS «VU- I^RIIMl^ DEGRÉ. 71>T

Sol^ft X lé chiffire 4es4i£aîlies et y celatr das uniM^^ (m aotsk; d'abord. :î . . < .,

Maintenant, le nombre demandé a pou^ valeur dOi^^-y^ ^1 • le nombre retourné a pour valeur lOy+x . Or d'après Ténoncè, ce second nombre surpasse le premier de 36 ; on a donc

ou' * â^— 9arir=36 ; . f

ou encore y — x=i .

On connaît donc la somme et la différence des deux chiffres; en vertu du théorème' ÎSéinonfré au h^ 3 t^W.), le^ pltis grand , y ; est égal à la moitié de leur <:omme plu^ la moitié de leur différence, ^ c'est-à-dire k ' l'^i ou 9; et le plus petit! , x , est égal à la moitié de leur^içme moins la moitié do Jei^r différence, c'està-dire à 7 — 2 ou à 5 ; c'est ce qu'on verrait d'ailleurs en résolvao/ùte'systèmerdes^éqttiallionsH] et,{2]. - »

Le nombre demandé est donc 58; an effpt la 30iûme de ses ; chiffres est 14; et lorsqu'on le retourne, on obtient 95, qui surpasse S^ âe^\3ê^' ' \ •• < ^ • "V •.-. - • "I ':•{.

ÔO. OuATÂiÈMÊ PROBLÈME. Une personne qui possède 60000 /r.,' en a placé um pm'He à 4| ptmr 100, et fanlreà Z^ pour 100 ; ce qui lui fait un revenu de 2500 fr. On demanda eomèim^^iku' placé mtay>(i; c^f A~^. çt cqmbien.mi taux fie, Z{. .^ ^

Soient x eiy les deux sompties placées ; on aura d'ab^opà ; . .

Maintenant, le capital a:, au taux de 4^ ou |, donne un

revenu annuel de -^ ^^ 2Ôô * ^^ capital y, au taux

^^î'^i 9f? l V doupe un revenu annuel de -^ 9ti.>2ôô* • Lapinmede ces revenus partiels 4oil faire le revenu total 2800 fr.,;.. on à donc pour seconde équation ' .

Mettant pour y sa valeur 60000' — x tir^e de ia •'ppcmièl'e .

72 OPÉRATIOP^ FONDAMBNTALeS :

équation, et effectuant la multiplication par 7 , il>iënt> -

9^:4-420000— 72:=500000' , d'où x=40000' ;

par suite y =20000' .

En effet, 40000 fr. à 4| pour 100 rapportent 1800 fr. , et 20000 fr. à 3Î pour 100 rapportent 700 fi.; la somme de ces deux revenus fait bien 2500 fr.

91. Cinquième problème. Une montre marque midi ;V aiguille des minutes est alors sur celle des heures. On demande à quelle heure se fera la prochaine rencontre des deux aiguilles^ et chacune des autresrencontrès successives.

On sait que le tour du cadran est divisé en 60 parties, dont chacune répond à une minute pour la marche de la grande aiguil le ; on sait de plus que la grande aiguille parcourt le& 60 divisions en une heure, tandis que la petite aiguille n'en parcourt que 5.

Cela posé, soit x le nombre des divisions parcourues par la grande aiguille, depuis midi jusqu'à la première rencontre;, et soit y le nombre des divisions parcourues par la petite dans' le même temps. On aura d'abord

d'où^ x=l2y . [I]

En 'second lieu, la grande aiguille, prenant l'avance, ne pourra rencontrer la petite qu'après une révolution complète; le nombre de divisions parcourues par la grande aguille se composera donc de 60, plus le -nombre des divisions parcourues par la petite ; c'est-à-dire qu'on aura

De ces deux équations on tire très-facilement

. y=Vi et a?=60+^ .

;, La grande aiguille aura donc parcouru 1° 60 divisions, qui correspondent à une heure; 2° f^ de division, ou 5 divisions ji , qui correspondent à 5 minutes et ^ . Il sera donc

Quant à la deuxième rencontre, il est clair qu'elle se fera l'^S'^fj après la première, pu isqu'à l'instant de la première rencontre les aiguilles se retrouvent Tune par rapport à l'autre comme elles étaient à midi. Il sera donc 2** lO""-!; . En ajoutant succjes.-

ÉQUATIONS ET PROBLÈMICS DV PABMieR DEGRÉ. 73

sivement 1^5* ,7, on trouvera pour les heures des autres remcontres successives

ÏÏ >

et enfin li^ ou minuit;

ee qui fait, en tout, Il rencontres en 12 heures.

92. Sixième problème. Hiéron, roi de Syracuse, avait remis à un orfèvre 10 livres d'or pour faire une couronne qu il voulait offrir à Jupiter, Le travail étant achevé, la couronne se trouva du poids de 10 livres; mais le roi, soupçonnant que l* orfèvre avait allié de l'argent à l* or, consulta Archimède. Celui-ci, sachant que V or perd dans Veau les 52 millièmes de son poids, et que l'argent y perd les 99 millièmes de son poids, détermina le poids de la couronne plongée dans l'eau et trouva qu'il était de 9 livres 6 onces ; ce qui fit reconnaître la fraude. On demande combien il y avait de livres de chaque métal dans la couronne.

Soient X le poids de Tor et y le poids de l'argent contenus dans la couronne. On aura d'abord Téquation

si Ton suppose les poids exprimés en onces.

Maintenant, puisque l'or perd dans Teau les S2 millièmes de son poids, le poids x de Tor contenu dans la couronne perdrait

dans leauTTgx . Par une raison analogue, le poids y de Tar-

gent contenu dans la couronne perdrait -r— . La somme de

ces deux perles doitfaire lapertetotalequ'asubie dans l'eau le poids delà couronne, c'est-â-dire 10 onces; puisque la couronne, qui pè^e 10 livres dans l'air, ne pèse plus dans l'eau que 9 livres 6 onces. On a donc pour seconde équation :

1000*» 1000~^" ' ou 52x+99.y =10000 .

Dfe i^sdeux équations on tire