Soient les trois équations

Eliminons^ entre les équations [1] et [2] ; pour cela multiplions Téquation [1] par 4, l'équation [2] par 5 ; et ajoutons membre à naembre, nous trouverons

Éliminons de môme z entre les équations [1] et [3]; pour cela multiplions l'équation [1] par 2, l'équation [3] par S, et retranchons la première de'la dernière, nous obtiendrons

Les équations [4] et [5] ne renfermant plus que x et y, on sait entirer les valeurs de ces inconnues. Si, par exemple, on multiplie l'équation [4] par 13, l'équation [Sj par 9, et qu'on re^ tranche la seconde de la première, y disparaîtra, ôt il restera

. ■ .110a?=2^0 ,»■ d'où- a^=k.. \' ,,- .i.M.'j '

ÉQUATIONS ET PHOBLÈMES DU PHEMIER DEGRÉ. 77

Cette valeur, mise pour a; dans Téquation [4]^ doane

46+18jf=118 , ou 18y=72 , d'où y=4 .

Si maintenant dans l'une des trois équations proposées, dans Téquation [1] par exemple, on remplace x par 2 et y par 4 , cette équation devient

4 I24-5z=27 , ou 5^5=35 , d'où 2=7 .

On voit, par cet exeinple, que pour résoudre un système de trois équations à trois inconnues x , y , z , i/ faut éliminer l'tme des trois inconnues^ z par exemple, deux fois, savoir : entre la première équation et la seconde, par exemple, puis entre la première et la troisième; on obtient ainsi deux équations entre les deux inconnues x et y ; on en tire, les valeurs de ces inconnues ; on sitbstitne ces valeurs dans lune des trois équations proposées, et Von en tire la valeur de la troisième inconnue z .

Remarque. C*est pour plus de symétrie dans le choix des lettres que nous avons d'abord éliminé z ; il eût été plus simple et plus commode d'éliminer d'abord y , savoir, entre les équations [1] et [2J, puis entre les équations [2] et [3], à cause des facteurs communs que présentent les coefficients de cette inconnue. On aurait eu ainsi à résoudre les deux équations plus simples

7x+ %z= 56 , 9x^az=ilQ ,

qui donneiït a? =2 et ^=^7 . Ces valeurs, mises dans l'équation [1], donnent ensoitet/= 4 . j .

97. Les valeurs j: = 2, t/ = 4,>2:=7 sont les seules qui puissent satisfaire au système des équations [1], [4] et [5] ; nous l'avons démontré (9o) pour un exemple analogue. Il reste donc à faire voir que le système des équations [1], [4J et [5] est équivalent au système des trois équations proposées.

Mais on peut démontrer plus généralement que si Ton multiplie la première équation par une quantité quelconque m , la seconde par une quantité w , et qu'on les ajoute ou qu'on les i;"e- * tranche membre à membre; puis qu'on multiplie la première par une quantité quelconque w' , la troisième par une quantité n' , et qu on les ajoute encore ou qu'on les retranche membre à membre, la première équation, jointe aux deux équations ainsi obtenues, forme un système équivalent à celui des:troi8'équations proposées.

Pour ledémonirer, concevons qu'on ait fait passer lousles term^ de chaque équation dans un seul membre ; désignons, pour abré$;er, ces membres par A , B , G ; en sorte que les trois équations proposées seront représentées par

Ai=0 , B=0 et C=0.

Il s*agît de faire voir, par exemple, que le système

A=0 , mA+nB=0 , m'A— w'C=0

est équivalent au premier.

Or, tout système de valeurs de or , y , z qui satisfera aux trois équations proposées , annulera A , B et G , et par suite mA + ^B et m'A — n'G ; ces valeurs satisferont donc aun trois équations du second système.

Réciproquement, si un système de valeurs satisfait aux équations du second système, en vertu de A=:0 ces valeurs annuleront xV ; la seconde équation wA-j-nB = se réduira donc à «B = 0, ce qui exige B=0; et la troisième équation m'A — n'C = ou w'A = «'G se réduira à 0=: n'G , ce qui exige G = 0; c'est-à-dire que les valeurs en question annuleront à la fois A , B et G , et satisferont par conséquent aux équations du premier système.

Remarque. Si, en particulier, les multiplicateurs m , n , m et n' sont choisis de manière qu'en ajoutant ou retranchant convenablement rinconnue z disparaisse des équations

mA+wB=rO et m'A— w'G=0 ,

la démonstration subsiste ; ce qui démontre la légitimité du mode de résolution que nous avons employé.

98. Gomme exemple d'équations littérales nous traiterons les suivantes :

ax — by-^cz=:a}-\'C^ , [1]

bx^cy—az=b^\^c'' , [2]

Eliminons ^ entre les équations [1] et [2], nous trouverons

(a*+6(i)a7+(c*— aé)y=««+ac^4-ô*c+c^ . [4]*

Éliminons z entre les équations [2] et [3], il viendra

(*'— «c)ar+(a*+éc)y=«'+aô*+Ac*+ô' . [5]

ÉQUATIONS KT PROBLKMlilS DU PREMIER DEGRÉ. 79

VéUmna^ûon de ,y entre ces deux deraières donne

ou- ,. ^ ; ,. y

d*où, en divisant les deux membres par a^'\'abc^b'^-\-c'\

Cette valeur mise pour x dans l'équation [5] donne ' ,,

d'où, mt diviâant les deax membres par a^-^ bé :, ' ^ ' '

Mettant pour se et y leurs^ valeurs dans Téquation [1], élte jd€vieD(fc> i • - ' ; y /

' ' a^—bc'f-cz:=:^a\'^~c^ , ou cz=:bc^c^'';

• 09. Il est facile maintenant de généraliser la marche que nous avons suivie. Supposons qu'on ait S équations du premier degré en les 5 inconnues a? , j/ , z , u , t , On -él^iriera'ï quatre fois : par exemple entre la première équation et chacune des quatre autres; oh obtiendra ainsi 4 équations .e9trp les inconnues x , y , z ^ u , On éliminera w trois fois : par exemple entire la. première de^ces 'quatre équations et chacune des trois autres; on obtiendra ainsi 3 équations entre les 3 iaicènttueé' x \ y , z .On éliminera z deux fois' : par "exeii^pie entre la première de ces trois équations et ch^(ïune des deux autres; on obtiendra ainsi 2 équations entre les 2 inconnues â:et y * On éliminera y entre ces deux éqnati'tos , *et^'%^n obtiendra une équation quj ne contiendra plus qu'une seule inconnue X . On en tirera la valeur de cette inconnue. On portera cette valeur à la place de x dans l'une des deux équations entre x ei y ; et l'on en tirera la valeur de y . On portera Ites valeurs de x et de. y dans Tune des trois équations entre X ^ y €;i z ; et l'on en tirera la valeur de a . On poi:tejf«ileB valeurs de ir , y ei z dans l'une des quatre équations entre of , y ;, z et w ; et l'on en tirera la valeur dé û: On portera enfin les valeurs de ^x ^ y ^ z eiu d^in-s l'une |(Je$, ç\i^q équations proposées entre x , y\ z , m et t , et Ton en tirera la valeur de t .

On suivrait une marche analogue pour un nombre quelconque Alg! s. ' 6

d'équations du premier degré renfermant le même nombre d'inconnues.

100. Le calcul se simplifie, lorsque toutes les équations ne coqtiennent pas toutes les inconnues'. Si, par exemple, dans le cas de 5 équations entre 5 inconnues a: , y , z , u et f , il y avait une équation qui ne contint pas l'inconnue x , cette équation pourrait être prise pour Tune des 4 équations à 4 inconnues qu'on se propose d'obtenir ; et il suffirait d'éliminer x trois fois pour obtenir les trois autres. Si, parmi ces 4 équations entre les 4 inconnues y , z , u et t , il y en avait une qui ne contînt pas l'inconnue z par exemple , cette équation pourrait être prise pour Tune des 3 équations à 3 inconnues qu'on cherche à en déduire ; et il suffirait d'éliminer z deux fois pour obtenir les deux autres. Et ainsi de suite.

Si deux inconnues manquent à la fois dans une même équation, le calcul se simplifie encore davantage.

Il est rare qu'il ne se présente pas dans le courant des opérations quelque circon^ance favorable dont on puisse tirer parti avec un peu d'adresse, lors même que les équations primitives contiennent toutes les inconnues.

Soient, par exemple, les 4 équations

3ar— y — 2^+ ^=^ » [3]

4^+3y — 3z4-2w = li , [4]

qui contiennent chacune les 4 inconnues x \ y ^ z et u.

L'élimination de u entre [1] et [3], puis entre [2] et ]3], enfin entre [1] et [4], donne très- facilement

lia:- y— 1 , [H]

— 8ar + 5y+ 2= 5 , [6]

L'équation [5] ne contenant pas z , il suffit d'éliminer z entre [6] et [7], od qui donne

17a:— Sy = 7 . ' [8]

L'élimination. de «1/ entre les équations [5] et [8] donne ensuite

eâ?s:=d , d'où x:=zl.

JP=:

Zz=:^

UZ=Z

ÉQUATIONS ET PROBLÈMES DU PREMIER. DEGRE jSl

Mettant cette valeur de x dans les équations [5] et [7], on ejQ tire

il— %=i et 9+z=12 ,

d*où y=2 et 2=3 .

Ces valeurs de x^ y et s, introduites dans Téquation [3], donnent

3 — 2 — 6+w=0, d'où w=5 .