d'où a

103. Deuxième problème. Trok rases contiennent^ à eux trois, 18 litres d'eau. On prend la moitié de ce que contient le premier, pour le verser dans te second ; on prend ensuite le tiers de ce que ,qç»tiien^fiqhr^ le second, pour le verser dans le troisième ; on prend enfin le quart de ce que contient alors le troisième^ pour le verser dans le premier. Il se trouve alors que Veau est également partagée entre lès trois vâses. On demande ce que chacun deux conienmt primitivement.

Soient ^, y, z les nombres de litres d'eau contenus primitivement dans chaque vase. Si i on prend la moitié de ee que

confient le premier, c'est-à-dire ^ , pour le versp^r daa^ le ^^-

cond, les trois vases contiendront des quantités d'eaii î»arquées

respeetivement par : . \

^x; y+ioî; z .

On prend maintenant le tiers de ce que contient le se{*ond,c^eâtà-dire iy+i^, pour le verser dans le troisième; leà quantités d'eau contenues deviendront donc

i^; y+l^— iy— i^; et z^ly+\>i$^; . i

ou i^;; ly-\-lx; et z-^-^^lx . " "

On prend enfin le quart de ce que contient le troisième vase, c*eslà-dire i^r-î-^+à^' P^"'' î® verser dans le premier; les quantités d'eau deviennent dès lors /.[

ou li^Tfi^+iiy; ly+i^; et \z+\y-{-\x . ^

Mais l'eau se trouvant alors également partagée, chaque vase contient le tiers des i8 litres, c'est-à dire 6 litres; oi^ a donc les trois équations

ou en simplifiant 13a;-{-2y+6z = 144 ,

Si l'on retranche les deux dernières membre à membre, on a ^uçle-champ

6z=30 , d'où z=5 ; à l'aide de celte valeur, la première équation devient

13a:+2y=H4 ; si on en retranche la seconde membre à membre, il reste . <- ,

iix=^m , d'où x:=8 ; ■ .

enfin cette valeur, mise pour x dans la seconde èqùatioh, donne 8+2y:^I8 , d'où, y=$,^

Le premier vase contenait donc 8 litres, Je second .5. et l« troisième 5; ce qu'on vérifiera facilement.

. |04, Troisième problême. Un nombre est tel, que, si on le divise par T , on a pour reste 4 ; que^ si on le divise par 9 , on a pour reste 6 ; que, si on le divise par 13 , on a pour reste 8 ; et de plus, la somme des parties entières des trois quotients surpasse de 3 unités le quart du nombre lui-même. On demande quel est ce nombre?

. Soit X le nombre cherché , et soient y , z et ti les parties entières des quotients respectifs qu'on obtient en le divisant par 7, 9 ou 13. On aura, en vertu de la division même,

x= 9^+6 , a;=13w+8 , eï, en vertu de la dernière partie de l'énoncé.

Si Ton tire des trois premières équations les valeurs de y ,z,u, en y regardant x comme connu, on obtient

Oî — 4 œ — 6 X — 8

y=^5-, ?=-5-, «=-ir; .

et si Ton met pour y , z , w ces valeurs dans la quatrième équation, on obtient

équation qui ne contient plus que l'inconnue x , On en tire, en faisant disparaître les dénominateurs,

46ar— 1872+364X— 2i84+252a:— 2016=819a:+9828

ou 265^=15900 d'où a?=60.

Tel est le nombre demandé. Les parties entières des quotients qu'on obtient en le divisant par 7 , 9 ou 13 , sont 8 , 6 et 4 , dont la somme 18 surpasse de 3 unités le nombre 15 qui est le quart de 60.

Remarqué. Ce problème offre un exemple d'une question qui comporte réellement quatre inconnues, bien que l'énoncé semble n'en admettre qu'une.

lOS. Le lecteur pourra s'exercer sur les problèmes dont les énoncés suivent :

L Un homme chargé de transporter des vases de trois grandeurs, est convenu de payer pour chaque vase cassé par lui autant qu'il aurait reçu s'il Veut rendu en bon état. On lui donne 3 grands vases, 5 moyens et 9 petits. On apprend qu'enroute il a cassé tous les vases de l'une des trois^grandeurs, mais l'on ne sait laquelle. Si ce sont les grands

OU les petits^ le porteur touchera 10/r. ; mais si ce sont les moyens^ il ne touchera que 8 fr. On demande ce qu'il doit toucher pour un vase de chaque espèce rendu en bon état.

(Réponse : 3 fr. pour un grand vase , 2 fr. pour un moyen, i fr. pour chaque petit.)

II. On demande quel est le nombre de quatre chiffres qui jouit des proprie'tés suivantes : 1® que la somme des deux premiers chiffres^ soit à sa droite, soit à sa gauche, est égale à 7 ; 2® que le chiffre de ses unités est le triple de celui des centaines, 3® enfin que si Ion écrit ses quatre chiffres dans un ordre contraire, le nombre augmente de 909. (Réponse : 5216.)

III. Une personne a divisé son capital en trois parties qu'elle a placées, la première à 5 pour 100, la seconde à 4 pour 100, la troisième à 3 pour iOO. Elle se fait ainsi un revenu annuel de 4000 fr,, comme si tout son capital eût été placé à i pour 100. On sait de plus que la partie placée à 3 pour iOO rapporte annuellement 600 fr, de plus que celle qui est placée à 3 pour 100. On demande quel est le capital entier, et quelles sont les trois parties,

(Réponse : te capital et de 100000 fr. ; les trois parties sont 30000 fr., 40000 fr. et 30000 fr.)

Digiti

8(P OPÉfi^TlONS FONDAUCNTALICS