CHAPITRE IV

t>ES 0»t;A{flYrÉS NiGATIVR^, ET DE LA DISCUSSION DRS PROBLÈMe^ ' ' ' DU PREMIER DEGRÉ.

§ I. Des quai^tités négatives.

1.06* Jusqu'ici, lorsque nous avons eu à considérer des expressions: (algébriques polynômes» nous avons toujours supposé que renaeiâble des termes positifs remportait ea valeur absolue sur l'ensemble des termes négatifs ; et quant aux monômes isolés, nous les avons toujours supposés positifs. Nous avons h examiner maintenant, dans l'hypothèse contraire, le sens qu'il convient d'attacher: aux eitpressions algébriques, et ce que deviennent alors les i!ègles du calcul littéral, qui n'ont été établies, on se le rappelle, que/dans la supposition où les quantités sur lesquelles on opèfie ont ade valeur positive.

Considérons un polynôme, dans lequel la partie négative soii supposée l'emporter en valeur absolue sur la positive ; et pour plus de simplicité, choisissons le binôme a — 6 . Si Ton attribue à A une valeur plus grande qu'à a , ce binôme n'offre plus en apparence d'autre sens à l'esprit que celui d'une opération impos- $.ible..

On peut, à la vérité, donner une forme plus simple à l'expression. a — b ; Car si l'on désigne par d l'excès de la valeur absolue b sur la valeur absolue a , en sorte que b soit égal k ar-{-d ^ on aura à retrancher de a la somme a+d ; et si l'on en retranche d'abord tï , ce qui donne jîéTo pour reste, on n'aura.plus à.indiqlier que la soustraction de «^ , ce qui conduira à l'expression plus, simple — d . On peut même remarquer que cette simptifieatioa revient à soustraire a de 6 et à affecter le reste d dû signe—; c'est ainsi, par exemple, que 7 — 12 reviendrait à Î7-— 7— ,5 , et se réduirait par conséquent à -^ 5 .

Mais ce» expressions négatives isolées, — d^ — 8 , n'en sont pasmoins de^ symboles d'impossibilité, si l'on s'en lient auxnotions et aux conventions de l'arithmétique. Or, on va voir que, dans un autre ordre d'idées, ces expressions deviennent* susceptibresid'nne interprétation parfaitement rationnelle ; et que, bien loin d'étfetes

DES QUAirrrrBS> NÉGATIVES* 81*^'

symboles d*ane]opération impossible, elles sont quelquefois hiseule réponse raisonnable que puisse coraporler une question.

107. Concevons, par exemple, qu'un thermomètre marquant 10° au-dessus de zéro^ la.tQmpérature viennes à, baisser de 6°; pour avoir la température nduveïfe', ir'faiidra 'retrancher 6° de 10°, ce qui donnera 10° — 6° ou 4°. Point de difficulté jusqu'ici.

Maïs, J0î tbarmanaètïo marqiiant toujours 40° jair^-djesçu^ide z&o, supposons que la température vienne à baisser de 14° ; si Ton veut, comme tout à l'heure, retrancher de la température pri • mitive le nombre de degrés dont elle s'est abaissée, on est conduit à l'expression iO° — 44^ ou — 4°, d'après la simplification indiquée ci-dessus. D'un autre côté, si, partant du iO'*"* degré audessus de zéro, oa compte 14 degrés en descendant. U'é^lWI le IhrermoBoiéitriqHe^ on arrive à zéro quand on en acompté^O^'^t' les- 4° restants' se trouvent comptés au-^BsomiiB ^àro.^ Reifta^' quons oelt« correspondance entre le symboie — 4° et le néKiellat réel 4° tm^dessom âezéra: î > - -

Prenons utï sccooid exemple. Un lieu est «tué sous le'40l*'°*Tdi^riéî de latitude novd; u«a second lieu est situé à âO^^au mA du >ppe^ iBÎer, sur le même raè«ridien pour plas de clarté. Si l'on-i^D oonnatfcre à quelle latitude répond ee second lieu, on retrani^hera les 30° de la latitude 40°, ce qui donnera 40° — 30° ou 10^ «f^ lêlitude tiùrd. Point de difficulté, ^

Mais si le second lieu était à 50° au sud du premier, et q*|G, pour obtenir sa latitude, on retranchât encore les SO^ de la kli*^ tude 40°, on arriverait à l'expression 40° — 50° oxi -^ 1€°^. D'un autre côté, si^ en partant du 40'*"* degré de latitude nord on descend vers le sud en comptant 50 degrés, quand on en aut^a compté 40 on sera sur l'équateur, et les 10 qui restent seront comptés vers le sud; la latitude demandée sera donc 10° de lati^ tude sud. Remarquons encore cette correspondance entre le sym* bole — 10° et le résultat réel 10° de latitude sud.

Pour dernier exemple, imaginons qu'un événement ait eu lieu 600 ans après J. C, et qu'un autre érénemènt ait eu lieu 400 anis auparavant. Pour avoir la date de celui-ci, il faudra retrancher 400 ans de 600 ans, ce qui donnera 600 — 400 ou 200 ans après J- G. Mais si l'on suppose que le deuxième événement considéré ait eu lieu 800 ans avant celui dont on a parlé d'abord, éi que pour avoir sa date on retranche encore les 800 ans des 600 ans, on arrive à l'expression 600 — 800 ou -^ 200 ans. D'un autre côté, il est facile de voir que l'évéflement en question a eu iren 200 ans at?^r»^/. C. Remarquons encore cette correspondatice entre le symbole -^ 200 ï^ns et le résultat réel 200 ans aDmit /. C.

88, OPÉRATIO.NS FONDAMENTALES !

Dans les exemples que nous venons de prendre, et il serait facile de les multiplier, on trouve cette circonstance commune, que la quantité cherchée est, par sa nature, susceptible d'être comptée dans deux sens opposés. Et l'on remarque que, l'un de ces deux sens étant celui qui est le plus ordinaire, et dans lequel on compte habituellement les quantités regardées comme positives, il arrive que, si la quantité cherchée doit être comptée en seus contraire, le calcul de cette quantité, effectué d'après les mêmes règles que si elle devait être positive, conduit à un résultat négatif.

Il n'y a qu'un.pasde cette remarque à la convention de compter dans l'un des deux sens opposés les quantités positives, et dans le sens contraire les quantités négatives. De cette manière, toutes les fois qu'une quantité sera ainsi susceptible d'être comptée dans deux sens contraires, il sera aussi rationnel de lui attribuer des valeurs négatives que des positives ; et les monômes négatifs isolés ne seront des symboles d'impossibilité absolue que lorsqu'ils représenteront une quantité qui, par sa nature, ne peut être comptée que dans un sens. Si, par exemple, il s'agit de la longitude d'un lieu', comme elle peut être comptée vers l'est ou vers l'ouest, on pourra admettre pour cette quantité des valeurs indistinctement positives ou négatives. S'il s'agit au contraire du nombre des côtés d'un polygone, comme il ne peut être compté que dans un sens, il n'admettra pas de valeurs négatives ; et une valeur négative, dans ce eas, serait un symbole d'impossibilité absolue.

108. Cette convention peut être justifiée par une autre considération qui nous servira en même temps àmontrer sous son véritable jour le calcul des quantités négatives, et l'Algèbre en général.

Reprenons l'exemple du thermomètre. Supposons qu'il marque 6^ au-dessus de zérOy et que la température vienne à s'élever de 10 degrés^ pour savoir le nombre de degréaque l'instrument marquera, il faudra ajouter aux 10 degrés d'élévation, les 6 degrés que le thermomètre marquait d'abord, ce qui donnera 10-^-6 ou IQ^ au-dessus de zéro.

En général, si t désigne dans ce cas la température primitive, a l'accroissement; et T la température finale, on aura la relation

T=fl+f . [1]

Supposons maintenant que la température primitive soit de O"" au-^dessûus de zéro^ et qu'elle s'élève encore de 10"^ ; la température finale s'obtiendra en remarquant que, si elle s'élève d'abord de 6 degrés, le thermomètre marquera zéro ; et que les 4 degrés d'élévation restants seront comptés au-dessus de zéro. C'est-à-dire que pour avoir la température finale, il faudra des 10 degrés d'élévation retrancher les 6 degrés au-dessous de zéro que mar-