DES QUANTITÉS NÉGATIVES. S

quait primitivement le thermomètre; ce qui donne en effet 10® --6° ou i^ au-dessus de zéro.

En général, si t désigne alors la température primitive, on lo nombre de degrés au-dessous de zéro que marquait primitivemonl le thermomètre, * si a désigne toujours Taccroissement de température et T la température finale, on aura la relation

On voit que les relations [l] et [2] ne diffèrent l'une de l'autre que par le signe qui précède la température initiale t . Cette remarque suffirait pour justifier la convention qui consiste à regarder comme positives les températures comptées au-dessus de zéro, et comme négatives celles qui sont comptées au-dessous.

Mais il y a plus, c'est que cette convention permet de réunir les deux formules [i] et [2j en une seule, qui comprendra tous les cas, et donnera ainsi la réponse la plus générale à la question proposée. Il suffit pour cela d'étendre la signification des mots qmxfitité et addition. Nous appellerons quantités algébriques celles qui, comme la température, la latitude, le temps, etc., sont susceptibles d'être comptées indifféremment dans deux sen« opposés ; ces qQantitès étant positives si on les compte dans, l'un de ces deux sens, et négatives si on les compte dans l'autre. Nous appel lerons^E^^fih'on al* gébrique une opération ayant pour but de réunir deux ou plusieurs quantités algébriques en conservant à chacune son signe ; de telle sorte que la Fowme algébrique de -[- 10 et de — 6 sera iO — 6 ,' comme celle de -f- 10 et de 6 est de iO + 6 . Nous pourrons alors ne conserver que la formule [1], et l'énoncer en disant: que si un thermomètre marque t degrés et que la température s'élève de a degrés, la température finale T sera la somme algé^ brique de a et de ^ . Cette formule répondra alors à tous les cas. Si, par exemple, la température initiale est de 10° au-dessous de zéro, et qu'elle s'élève de 7 degrés, pour avoir la température finale, on remplacera a par + 7 et t par — 10, et faisant la somme algébrique ^ on aura

T=+7 — 10 ou T=— 3 ,

ce qui voudra dire que la température finale est de 3° au-dessous de zéro. C'est ce qu'il est facile de vérifier.

109. Prenons un dernier exemple. Supposons que deux villes soient situées sur le même méridien : l'une à 48° de latitude nord, l'autre à 35° de latitude nord ; pour avoir leur distance en latitude, on n'aura qu'à retrancher 35 de 48 , ce qui donnera 48° — 35° ou 13° de latitude nord.

En général, si L et / désignent les deux latitudes nord, et

^/U distance des doiu villes exprimée en degrés, on aura la relation

'Soppo^^ons maintenant que la promiùre ville étant toujours h 48"^ d& latitude nord, la seconde soit à 35"^ de latitud &ud; il est clair que pour obtenir leur distance en latitude, il faudra faire la somme des nombres 48 et 35 , ce qui donnera 48*^ + 35"^ ou 83^ .

., En. général, si L désigne le nombre de degrés de latitude nord» / le nombre de degrés de latitude sud, et d la distance de* deux villes, on aura la relation

rf=L+/ . [21

Les relations [Ij et [2] ne diffèrent que par le signe qui précède 1^ latitude/ . Il est est donc naturel de regarder- la latitude comme une quantité algébrique qui sera positive ou négative, suivant qu'elle sera comptée vers le nord ou verslç sud. On pourra ensuite renfermer tous les cas de la question- qui nous occupe dans la formule [1], en étendant le sens du mot soustraction. On appellera saustraction algébrique une opération par laquelle on écrit une quantité algébrique à la suite d'une autre en changeant son signe; en sprte que la différence entre + 48 et 4-35 sera 48 — 35; mais que la différence entre + 48 et — o5 sera 48+35 . Qn énoncera alors laformule [1] d'une manière générale en disant : ^ne poar obtenir la distance en latitude de deux lieux donnés, il faut faire la différence algébrique entre leurs latitudes.

: 110. En résumé, on voit qu'il existe des quantités susceptibles d'éire comptées indifféremment dans deux sens opposés; et que, suivant qu'elles sont comptées dans l'un ou l'autre de ces deax s^ns, elles figurent avec un certain signe ou avec le sigae contraire dans la solution d'une même question. Les quantités de cette es^ pèce ont reçu le nom de quantités algébriques; on leur attribue le signe + lorsqu'elles sont comptées dans l'un des deux sens dont on vient de parler, et le signe — lorsqu'elles sont comptées dans lesens contraiie. L'avanlage qu'on relire de cette convention est non-seulement de trouver une interprétation pour les quantités négatives isolées que le calcul fournit quelquefois, mais encore de pouvoir généraliser lesformulesauxquelles conduit lasolution d'un problème particulier.

Cette tendance de l'Agèbre à généraliser les opérations et les résultats est un de ses caractères distinclifs. Nous aurons occasion d'y revenir pj us d'une fois. Ilnous suffit pour le moment d'avoir essayé deiffif;e ç.oi;upreadçe ['.pri^gi^ie dps quantités négatives et des régies

DES Qt'ANTltÉlH NÈGXTjS'ÉS. Ut

suivant lesquelles on lés introduit dans le calfcul.'N'otilj allohis ibài'n'tenant exposer ces règles en détail. '' ' '

111. On appelle quantité algébrique une quantité qui se compose de deux éléments 7 1'* d* une valeur numérique.qui peatéjtre -entière ou fractionnaire; 2® d'un si^ne qui peut eU-e +• o^ -*— • '"

Ainsi !

+4, —4, H-|/ — 3^ +a, — a, '+4a*î5, —ia'b\ eicl.

sont des quantités algébriques. Si elles contiénAent des lettres^, il faut toujours imaginer queces lettres tiennent lieude certaines taleurs numériques entières ou fractionnaires.

Quant à Tordre de grandeur des quantités négatives entre elles, ou comparées aux quantités positives, il faut remarquer quiî si d'un nombre quelconque, '5 par exemple, on retranche sqccessfVe^ ment une unité, on obtiettt des nombres de plus eiî plus petite 4', 3,2,1,0. Arrivé à ce point, si l'on continue h retra'nrher toujours successivement une unité, on obtient les quantités négatives — 1 , — 2 , -^S , — ^ ,^lc., dont la valeur dbsoluè est croissante. Maié, comme c'est à l'aide d'une même opération', la soustraction d'une unité, qu*on a obtenu toute cette serre de nombres, les uns positifs décroissants; les autres négatifs croissants en valeur îibsolue, Katiâlogre a conduit à regarder fes quaritîté^s rtégatives comme moindres, algébriquement parlant, que les quantités positives, et comme d'autant moindres que leur valeur absolue est plus grande. Ainsi — 1 est regardé comme moindre que 0; — 2 est moindre que — 1 ; et ainsi de suite.

Conformément h cette convention, lorsqu'on veut texpfitner qu'une quantité a est positive, on écrit a>tf ; et si l'on veut exprimer qu'elle est négative, on écrit a<0 . , • ■

112. L'addition algébrique est une opération par laquelle on réunit plusieurs quantités algébriques en conserrant à chacune son signe.

Ainsi, la somme algébrique de -fa et de -\-b est fl + 6 ; la somme algébrique de -|- a et de — b est a — ft ; la soûime algébrique de — a et de -j- ft est — «3+6 î la somme algébrique de — û et de — frest— d — 6 .

. Un polynôme -peut être considéré comme la somme algébrique 'de ses termes. '

Pour additionner deux polynômes^ il suffit d* écrire le second à la suite du premier M consep^ant à chaque terme son signe. Cette règle a déjà été donnée au h« 27 ; mais nous avions supposé alors que, dans chaque polynôme, l'ensemble des termes ()psrtifs l'emportait sur r'ensembledcs termesnégattfs. Cette reètrictiôn devient inutile.

9â OPÉRATIONS FONDAMËNTAUSS :

113. La SOUSTRACTION ALGÉBRIQUE 0st Une Opération par laquelle on écrit la quantité à soustraire à la suite de la quantité dont on la soustrait^ en changeant le signe de la quantité à soustraire.

Ainsi, la différence algébrique entre +a et +iest a — b; la différence algébrique entre +a et — best a + b ;ld^ différence algébrique entre — a et +6 est —a — b ; la différence algébrique entre — a et — i est — a-^b.

Pour soustraire un polynôme d*un autre^ il faut l'écrire à la suite de cet autre en changeant le signe de chacun de ses termes. Cette règle a été donnée au n° 3Q, en supposant que dans chaque polynôme l'ensemble des termes positifs l'emportait sur l'ensemble des termes négatifs ; cette restriction n'est plus nécessaire.

114. La MULTIPLICATION ALGÉBRIQUE cst um Opération par laquelle on cherche une quantité algébrique^ appelée produit, qui soit eomposée avec une quantité algébrique^ appelée multiplicande, comme une autre quantité algébrique^ appelée multiplicateur est composée avec l'unité positive.

Cette définition n'est, comme on le voit, qu'une extension de la définition donnée en arithmétique ; on y a introduit l'élément qui distingue les quantités algébriques des quantités purement numériques, c'est-à-dire le signe.

Soit 4- A à multiplier par -f B. La valeur absolue du produit sera composée avec la valeur absolue A du multiplicande, comme la valeur absolue B du multiplicateur est composée avec l'unité; c'est-à-dire que, d'après les notions admises, cette râleur absolue du produit sera AB. Quant au signe du produit, comme le multiplicateur +B a le même signe que l'unité positive, ce produit aura le môme signe que le multiplicande, c'est-à-dire + .

Ainsi l& produit de -4- A par -f B est + AB.

Soit 4- A à multiplier par +B . La valeur absolue du produit sera, comme ci-dessus, AB. Mais le multiplicateur — B ayant un signe contraire à celui de l'unité positive, le produit aura un signe contraire à celui du multiplicande, c'est-à-dire — .

Ainsi le produit de + A par — B est — AB .

Soit — A' à multiplier par -f- B . La valeur absolue du produit sera encore AB . Mais le multiplicateur -\- B ayant le même signe que l'unité positive, le produit aura le même signe que le multiplicande, c'est-à-dire — .

Ainsi le produit de — A par +B est — AB .

Soit enfin — A à multiplier par — B . La valeur absolue du produit sera AB . Mais le multiplicateur — B ayant un signe contraire à celui de l'unité positive, le produit aura un signe contraire à celui du multiplicande — A , c'est-à-dire + •