DES QUANTITÉS NÉGATIVES

Ainsi, le produit de — A par — B est + AB .

La règle des signes éldibWe au n® 34 par la considêratfon de deux polynômes dans chacun desquels la partie positive était supposée l'emporter sur la partie négative, se trouve donc étendue à des monômes isolés.

Quant à la multiplication des polynômes, les règles établies au n? 34, dans la supposition où la partie positive de chaque polynôme remporte sur la partie négative, subsisteront encore dans Thypothèse contraire.

Soit, en effet, à multiplier a — b par c — rf, et supposons d plus grande que c en valeur absolue ; le binôme c — d revient à — (d — c) ; expression dans laquelle, d'après notre supposition d — c sera positif. Nous aurons donc à multiplier + {a — b) par — (d — c) . Pour obtenir ce produit, il faudra d'abord multiplier entre elles les valeurs absolues, (a — b) et (d — c) des deux facteurs, et changer ensuite le signe du résultat, puisque ces deux facteurs sont de signe contraire ; caries règles démontrées ci-dessus ne supposent pas que A et B représentent des monômes plulôtque des polynômes. En multipliant d'abord les valeurs absolues (a — b) et {d — e) , on obtient, d'après les règles du n®34, qui sont applicables ici, puisque a — b et d — c sont positifs l'un et l'autre,

ad — bd — ac-^bc .

El en changeant le signe du résultat, ce qui se faij en changeant le signe de chaque terme, on obtient

— ad+é^-f-ac — bc ou ac — bc — ad-{-bd ,

comme on l'a obtenu au n® 34.

Les règles de la multiplication subsistent donc sans la restricUon faite alors.

115. £a DIVISION ALGÉBRIQUE est Une opération par laquelle^ étant donné le produit de deux facteurs algébriques et Vun de ces facteurs^, on cherche Vautre facteur.

On a vu, aux n«^41 à 46, comment les règles de la division se déduisentde celles de la multiplication. Ces dernières étant maintenant établies sans restriction pour les monômes positifs ou négatifs, et pour les polynômes dans lesquels la partie positive est plus grande ou plus petite en valeur absolue que la partie négative, il en est de môme des règles de la«»division.

116. Les règles données aux n"' 50 à 58 pour le calcul desfractionsalgébriques, n'étant fondéesquesurcellesdesquatre opérations principales, elles acquièrent la môme généralité que cellea*ci.

94 OPÉRATIONS FONDAMKNTALKS :

117. Deux quantités algébriques sont égales lorsqu'elles ont même valerur absolue et même signe. Si on les multiplie chacune par une même troisième, les produits seront égaux ; car il est évident qu'ils auront aussi même valeur absolue et même signe.

Il suit de là qu'on peut, sans troubler une égalité, miiltiplier ses deux membres par une même quantité algébrique ; ce qui généralise la transformation indiquée au n°61.

On démontrerait de même qu'on peut, sans troubler une égalité, diviser ses deux membres par une même quantité algébrique ; ce qui généralise la transformation du n^62.

Remarque. On peut dans une égalité changer les signes de tous les termes, car cette transformation revient à multiplier ou à diviser à la fois les deux membres par — 1 .

On retrouve ainsi, par une autre voie, une règle déjà démontrée (68, IV).

§ II. Discussion des problèmes du premier degré à une seule inconnue.

118. Lorsqu'on a résolu un problème d'une manière générale, c'est-à-dire en représentant les données par des lettres, comme nous l'avons fait, par exemple, aux n°^ 74, 76 et 93, il est utile de rechercher les principales circonstances que présente la solution suivant les valeurs particulières qu'on peut attribuer à ces données. L'examen méthodique de ces circonstances est ce qu'on nomme la discmsionda problème.

Nous nous occuperons dans ce paragraphe de la discussion des problèmes qui conduisent à une seule équation, à une seule inconnue.

Une pareille équation, lorsqu'on y a fait disparaître les dénominateurs, qu'on a rassemblé dans un membre tous les termes affectés 'de l'inconnue, et dans l'autre tous les termes indépendants de celte inconnue, qu'enfin on a mis l'inconnue en facteur commun parmi les termes oùellese trouve, peut toujours être ramenéeà laforme

kx=zB , ' [1]

dans laquelle A et B peuvent être des quantités quelconques, monômes ou polynômes, algébriques ou numériques.

On tire de cette équation ^^^t .

C'est cette valeur qu'il s'agit de discuter.

119. Lorsqu'on attribue aux données de la question des valeurs particulières, les quantités A et B prennent elles-mêmes diverses valeurs. Il peut arriver que A et B soient de même signe, ou bien qu'ils soient de signe contraire ; que l'une d'elles

s'annule, ou qu elles s'annulent toutes deux à la fois. Nous allons examiner ces divers cas.