Soit proposé, par exemple, ce problème

Un ouvrier fait, par jour, a mètres d'une certaine étoffe ; un second ouvrier en fait b mètres dans le même temps. Le premier a déjà

Alg. s. 7

fait c tnètres^ et le second en a fait m de plus. On demande dans combien de jours les deux ouvriers en auront fait autant l'un que l'autre.

Désignons par x le nombre de jours demandé. Le premier ouvrier faisant a mètres par jour, en fera en x jour un nombre marqué par le produit de a et de x, c'est-à-dire ax; au bout de ce temps, le nombre total de mètres qu'il aura fait sera donc c-{-ax . Le second ouvrier faisante mètres par jour, en fera en X jours un nombre marqué par bx^ et au bout de ce temps, le nombre total de mètres qu'il aura fait sera c-^m + bx . Or, d'après l'énoncé, ces deux nombres doivent être égaux; on doit donc avoir l'équation

c-^ax^zc^in-^bx [1]

d'où l'on tire x=:;-^

c'est-à-dire que, pour obtenir le nombre de jours demandé, il faut diviser l'avance du second ouvrier par la différence entre les nombres de mètres que les deux ouvriers font par jour; résultat auquel on aurait pu d'ailleurs parvenir directement. On remarquera de plus que la donnée c n'a servi que dans la mise en équation, et a complètement disparu du résultat, qui en est par conséquent indépendant.

Si l'on fait les hypothèses particuliers fl = 8 , 6 = 5 , m=12, on trouve

ar=j3g ou x=i ,

Mais si l'on fait, au contraire, les hypothèses a =5 , 6=:8 , w=12 , on trouve

a:=r3g ou x= — 4 .

Cette valeur négative indique qu'il y a alors un vice dans l'énoncé. Et, en effet, le premier ouvrier travaillant moins vite que le second, ne pourra jamais rattraper celui-ci , qui a une avance de 12 mètres. La quantité x , qu'on avait regardée comme additive, doit donc être regardée comme soustractive. Changeons donc x en — X dans l'équation [1] du problème, il viendra

c — ax=c^m — bx . [3]

et Ton voit facilement que pour que l'énoncé conduise à l'équation ainsi modifiée, il faut poser la question en ces termes :

Combien s' est-il écoulé de jours depuis celui où le nombre de mètres faits par chacun des ouvriers était le même?

En résolvant l'équation [3], on obtient

et, si l'on met pour a , 6 , m , les valeurs 5 , 8 , 12 , qui avaient conduit tout à l'heure aune valeur négative, on trouve