C=- ^ OU
Remarque. Si l'on avait, dès4'abord, regardé le nombre de jours X comme susceptible d'être compté indifféremment vers l'avenir ou vers le passé, c'est-à-dire si on avait considéré x comme une quantité algébrique (lit), on aurait pu sur-le-champ admettre la valeur négative, sans être obligé de modifier l'énoncé, autrement qu'en remplaçant ces mots dans combien de jours, par les mots depuis combien de jours, et le mot sera par les mots a été, ce qui est simplement une nécessité de langage. Et la valeur négative trouvée pour X eût indiqué que l'époque cherchée était antérieure, au lieu A.t postérieure à l'instant que l'on prend pour point de départ. ,
121. III. Il peut arriver que, par suite des valeurs particulières attribuées aux données, le numérateur B de la valeur
devienne nul, sans que le dénominateur le soit, ce qui donne
Une valeur de cette forme n'est autre que zéro ; car zéro divisé par une quantité quelconque donne évidemment pour quotient zéro. Si l'on conservait quelque doute à cet égard, il suffirait de remonter à l'équation
qui se réduit alors à. Aa?=0 ,
et ne peut être satisfait que par la valeur
car, pour annuler ici un produit tel kx , il faut annuler un de ses facteurs ; et le facteur A est supposé différent de zéro.
Le problème précédent conduirait à une valeur nulle si l'on fai-
.sait l'hypothèse particulière m= . Et, en effet, tes quantités
d'ouvrage faites par chaque ouvrier étant alors égales, la condition
indiquée par l'énoncé se trouve remplie dès le jour même, et par
conséquent le nombre de jours cherché est;ar^ro.
129. IV. [1 peut arriver que les hypothèses faites sur les données annulent le dénominateur A , sans annuler le numérateur, et qu'on ait
Remarquons d'abordque Ton ne sait pas a priori si une pareille expression pourrait être légitimement déduite de l'équation Aa7=B ; car il faut pour cela diviser ses deuxftiembres par unequanti té nulle, ce qui n'est point permis en général (64, rem.). Or, cette équation se réduit alors à 0=8 , et ne saurait par conséquent être satisfaite par aucune valeur de x . L'hypothèse A=0 répond donc à un cas d'impossibilité.
Pour voir ce que peut signifier en lui-même le symbole - , supposons d'abord que A , au lieu de devenir nul, prenne seulement une valeur très-petite, par exemple 0,001 ; on aura
ou a:=1000B
Supposons en second lieu que, par de nouvelles hypothèses, le dénominateur A prenne une valeur encore plus petite, 0,000001 par exemple ; il viendra
^=ôfiàm «" ^-*000000B .
Si  prenait une valeur pias petite encore, par exemple 0,000000001 , on aurait
^= o.ooolooi ««^ •r-lOOOÛOOOOOB .
On voit qu'à mesure que le dénominateur A acquiert des valeurs de plus en plus petites, la valeur j prend au contraire des
valeurs de plus en plus grandes. Si donc on attribue à A la valeur zéro, c'est-à-dire une valeur moindre que toute quantité assi-
gnable, la fraction — prendra au contraire une valeur plus grande
que toute quantité assignable ; c'est ce qu'on appelle une valeur infiniment grande^ ou infinie. On dit, en conséquence, que l'exprès-
sion ^ est le symbole de l'infini.
Si, par exemple, dans le problème du n® 120 on fait l'hypothèse a=ô , on trouve ^=^ . Or, si l'on remonte à renoncé
du problème, il est facile d'interpréter ce résultat. Au lieu de supposer a = b , c'est-à-dire au lieu de supposer que les 'deux ouvriers font chaque jour le même nombre de mètres, supposons d'abord que a surpasse b d'une très-petite quantité, c'est-àdire que la quantité d'ouvrage faite journellement par le premier ouvrier ne surpasse que de très-peu celle que fait journellement le second; il est clair qu'il faudra au premier ouvrier un temps considérable pour rattraper le second. Si donc l'excès de a sur b est pluspetit que toute quantité assignable, il faudra au premier ouvier pour rattraper le second un temps plus long que toute quantité donnée; c'est-à-dire que si a=6 , le temps cherché sera infini. ^
Une solution infinie^ ou de la Torme - , est donc un caractère dimpossibilité.
Remarque I. Puisque cette impossibilité se manisfeste sur Tex-
pression - aussi bien que sur l'équation Aa; = B d'où on l'a
déduite, on voit que cette déduction peut être regardée comme légitime, bien qu'elle consiste à diviser par A , c'est-à-dire alors par zéro, les deux membres de l'équation.
Remarque I[. Il est utile de remarquer que les solutions infinies peuvent être en même temps négatives. Si, par exemple, dans le problème du n^ ISK), on fait l'hypothèse a<6 , on a vu que la valeur de x dévenait négative : c'est-à-dire que si l'on suppose que le premier ouvrier travaille moins vile que le second, ce n'est qu'à une époque antérieure qu'ils ont pu avoir fait autant d'ouvrage l'un que l'autre. Or, cette époque antérieure sera d'autant plus éloignée que l'excès de b sur a sera plus petit ; si donc on suppose cet excès nul, ou a = b , les ouvriers n'auront pu avoir fait autant d'ouvrage l'un que l'autre qu'à une époque antérieure infiniment éloignée. En sorte que la solution est à la fois négative et infinie. On trouve, en effet,
Ce caractère d'impossibilité est de même nature que l'infini positif; il n'y a de différence que dans le sens.
Remarque IH. On représente quelquefois l'infini positif par le signe -j- 00 , et l'infini négatif par — oo .
123. V. Il peut arriver enfin que les hypothèses faites sur les données représentées par des lettres, -annulent à la fois le numérateur B et le dénominateur A de la valeur de l'inconnue x ,
auquel cas cette valeur prend la forme
Comme on ignore ce que peut signifier un pareil symbole, et qu'on ne sait d'ailleurs s'il pourrait être légitimement déduit de l'équation Aa; = B , puisqu'il faudrait diviser ses deux membres par zéro^ il faut remonter k l'équation môme.
Or, dans le cas où A et B sont nuls, cette équation est satisfaite d'elle-même, quelle que soit la valeur qu'on attribue à x , puisque les deux membres sont tous deux égaux à zéro. Le problème admet donc autant de sol^^itos qu'on voudra ,et par conséquent r expression ~ est un symbole d'indétermination.
Si, par exemple, dans le problème du n® 120, on fait en même temps les deux hypothèses m = et a=6 , la valeur de x
prend la forme - . Or, il est clair en effet que si aucun des deux
ouvriers n'a d'avance sur l'autre, et s'ils font chaque jour le môme nombre de mètres, le nombre total de mètres faits par chacun d'eux sera continuellement le même, et que par conséquent toute valeur imaginable de x sera une solution du problème.
On peut, en étudiant l'expression - en elle-même, reconnaître également une quantité indéterminée. Concevons en effet une fraction algébrique - dont les deux termes décroissent en
conservant entre eux le même rapport. Ce rapport restant, par hypothèse, le même, quelque petits que soient ses deux termes en valeur absolue, on doit admettre qu'il restera encore le même à la limite, c'est-à-dire quand les deux termes seront nuls et que la
fraction sera réduite à la forme ^ . Cette forme peut donc représenter le rapport dont nous parlons. Mais, comme ce rapport est quelconque d'ailleurs, on voit que ^ peut représenter telle quantité que l'on voudra.
Remarque I. Puisque l'indétermination se manifeste aussi bien sur l'expression - que sur l'équation A^=B d'où elle est déduite, on voit que la déduction se trouve légitimée, bien qu'elle consiste alors à diviser les deux membres de l'équation par zéro.
Remarque II. Il faut observer toutefois que la valeur x peut
prendre la forme x , sans qu'il y ait indétermination réelle, lorsqu'on a négligé de supprimer les facteurs communs au numérateur et au dénominateur.
Supposons, par exemple, qu'un problème ait conduite la valeur
et qu^on fasse les hypothèses particulières a = 6 et 6 = 2 ; on trouvera
ce qui semble indiquer, dans ce cas, une indétermination du problème. Mais si Ton observe que les deux termes de la valeur de X sont divisibles par a — 36 , et qu'on effectue cette division, il restera
a+36 ' et si l'on fait, dans cette valeur ainsi simplifiée, les hypothèses a=6 et 6=2 , qui avaient donné ^ , on trouve
J?=r: — OU J?=- — 12 — 3 '
valeur parfaitement déterminée.
On voit combien il est important de supprimer les -facteurs qui peuvent être communs aux deux termes de la valeur d^ l'inconnue, puisque, indépendainment d'une plus grande complication qu'ils introduisent dans l'expression de cette valeur, ils peuvent encore induire en erreur dans certains cas particuliers de la discussion du problème.
§ III. Discussion Jes problèmes du premier degré à deux inconnues.
