Soient les deux équations

aa:-4-6y =c , [1]

Pour en tirer les valeurs de x et de y, nous allons employer la méthode exposée au n® 80. Multiplions tous les termes de l'équation [1] par 6' et tous ceux de l'équation [2] par 6 ; ces équations deviendront

ab'x^bb'y=cb' \

a'hx^b'by=c'b ) [3]

102 OPÉRATIONS F0N0AMENTALC8 :

et, en les retranchant membre à membre, on obtient

(aV—a'b)x=cb' — c'b , d'où x=^^;=^ . [4]

Substituant celte valeur de x dans l'équation [1], on trouve

ab'-^a'b -T^y— ^ ' d'où Ton lire y=^E^t • ' t^^

Remarque. On aurait pu obtenir directement la valeur de y en multipliant tous les termes de Téquation [i] para' , tous ceux de Téquation [2] par a , et retranchant membre à membre la première de la seconde.

I2S. Il y a un moyen mnémonique très-simple de se rappeler CCS valeurs générales, ou de les reformer directement au besoin. On écrit sur une même ligne les deux combinaisons ab et ba ; on les sépare par le signe — , et dans chaque terme on accentue la seconde lettre, ce qui donne ab' — ba' ; on a ainsi le dénominateur commun aux deux valeurs.

Pour former le numérateur de la valeur de a: , il suffit de remplacer, dans ce dénominateur, les lettres a et a' par les lettres c et c' , c'est-à-dire chaque coefficient de x par le terme indépendant des inconnues qui lui correspond; on obtient, en effet, ainsi cb' — bc' , qui est bien le numérateur de la valeur de X .

Pour former le numérateur de la valeur dey , il faut remplacer dans le dénominateur les lettres b et b' par les lettres c et c' , c'est-à-dire chaque coefficient de y par le terme indépendant des inconnues qui lui correspond; on obtient ainsi, en effet, ac' — ca' , qui est bien le numérateur de la valeur de y .

126! On peut se servir de ces valeurs générales pour résoudre deux équations particulières. Il suffit pour cela d'y remplacer les lettres a , 6 , c , a' , 6' , c' , par leurs valeurs.

Soient, par exemple, les deux équations

déjà traitées au n^ 80. On aura, dans cet exemple,

Par suite, en substituant dans les valeurs générales [4] et [5] , on

trouvera

comme au numéro cilé.

Mais il sera, presque toujours, préférable de traiter directement chaque exemple particulier. Le principal usage des valeurs générales est dans la discussion que nous allons faire.

127. Cette discussion a pour but d'examiner les formes les plus remarquables que peuvent prendre ces valeurs lorsqu'on vient à faire des hypothèses particulières sur la valeur des lettres qui y entrent.

L D'abord, si les hypothèses particulières donnent pour x et y des valeurs positives, ces valeurs sont une réponse directe à la question, et ne donnent lieu à aucune remarque.

IL Si les valeurs particulières attribuées aux lettres donnent pour l'une des inconnues ou pour chacune d'elles une valeur négative, il pourra arriver que ce soit le signe d'une impossibilité dans le problème; c'est ce qui aura lieu si la quantité dont il s'agit n'est susceptible par sa nature d'être comptée que dans un seul sens. Dans ce cas on suivra la marche déjà indiquée à l'occasion d^s problèmes aune seule inconnue: on changera dans les équations du problème le signe de l'inconnue pour laquelle on aura trouvé une valeur négative, et l'on cherchera le changement qu'il faut introduire dans l'énoncé pour qu'il conduise aux équations ainsi modifiées, au lieu de conduire aux équations primitives. Il pourra arri • ver au contraire que la valeur négative trouvée puisse être admise comme réponse à la question; c'est ce qui aura lieu si la quantité dont il s'agit est susceptible d'être comptée indifféremment dans deux sens opposés.

Nous allons donner des exemples de ces deux cas.

^^ 128. Problème. Un ouvrier a travaillé une première fois dans une maison pendant 7 jours , sur 3 desquels il a eu avec lui un apprenti^ et il a touché 29 francs. Une seconde fois-, le même ouvrier a travaillé pendant i l jours , sur 4 desquels il a eu avec lui son apprenti^ et il a touché 47 francs. On demande ce qus gagnait l'ouvrier par jour^ et ce que lui rapportait le travail de son apprenti .

La traduction de cet énoncé conduit immédiatement aux deux équations

7x + ^y=i9 , Hœ+iy = i7 ,

i04 OPÉRATIONS FONDAMENTALES :

dans lesquelles x représente le gain journalier de Touvrier, et y ce que lui rapporte par jour le travail de son apprenti.

En éliminant y on trouve x=^ ; et cette valeur, mise pour X dans la première équation donne

35 + 3y=29 , d'où y = — 2 ;

résultat inadmissible.

Changeons donc le signe de y dans les équations du problème, qui deviendront

7a:3y — 29 , llx—iy=:i7 .

On voit que les quantités 3y et 4y , qu'on avait d'abord regardées comme additives, doivent être au contraire regardées comme soustractives ; c'est-à^ire que Tapprenti, au lieu de rapporter chaque jour à son maître une somme y\ lui coûte au contraire une certaine somme. Il faudra donc poser la question de cette manière: On demande ce que gagnait l'ouvrier par jour, et ce que lui coûtait son apprenti.

Avec cette modiGcation on trouve x = 4 et i/ = 2 , qui répondent alors directement à l'énoncé.

129. Problème. Deux courriers parcourent la même route ; l'un fait a kilomètres par heure, l'autre fait, b kilomètres dans le même temps ; le premier a passé à minuit en un point A situé sur la route ; le second, h heures après, a passé en un point B situé à d kilomètres au delà du point A . On demande le lieu et r heure de leur rencontre,

Nous supposerons d'abord que les deux courriers marchent dans le même sens, de X vers Y . Soit R le lieu de la rencontre, supposé siluë au delà du point B . Désignons par x la distance BR , et par y le nombre d'heures écoulées depuis minuit jusqu'à l'instant de la rencontre.

Le premier courrier aura parcouru la distance AR on d-^x en y heures ; et comme il a fait a kilomètres par heure^ on aura l'équation

ay = d-\-x , . - [l]

Le second courrier aura parcouru la distance BR ou x en y — h heures; et comme il fait ft kilomètres par heure, on aura pour seconde équation

DISCUSSION DES PROBLÈMES DU PREMIER DEGRÉ. tOS

Éliminant a?, on obtient

ay=.d+h{y-h), d'où y=^ ; [3]

.. , d — hh — ahA-hh d — ah par suite, y-h= ^,6^ ^-^nj ,

et enfin x=^^^^ . [i]

1° Si Ton a a>6 et d>ah ^ on aura à plus forte raison d > 6A ; les termes des valeurs de a: et de y étant positifs, ces valeurs seront positives elles-mêmes, et répondront directement à la question. Si, par exemple, on suppose a= 12^ , 6=9" , d = 63'' et h = i heures, on trouve

.^=45'' et y=9'' .

Cest-à-dire que les courriers se rencontreront à 45 kilomètres au delà du point B , et que la rencontre aura lieu à 9 heures du matin.

2^ Supposons, au contraire, que Ton ait a>6 et d> bh , maison même temps d<iah ; on trouvera pour y une valeur positive, mais pour x une valeur négative. Comme la distance BR est susceptible d'être comptée indifféremment à droite ou à gauche du point B , c'est-à-dire comme x est une quantité algébrique^ nous savons que les valeurs négatives n'ont rien d'absurde et peuvent s'interpréter ; ayant admis comme positives les valeurs comptées vers la droite, nous admettrons comme négatives celles qui seront comptées vers la gauche. La solution s'interprétera donc en disant que la rencontre au lieu de se faire au delà du point B , se fera en deçà de ce point, en R' par exemple.

C'est ce qui doit être, en effet ; car ah étant le chemin parcouru par le premier courrier dans h heures , la condition d<,ak indique que, à h heures après minuit, il aura parcouru une distance plus grande que d , et dépassé par conséquent le point B au moment où le second courrier y arrive ; et comme il va plus vite que celui-ci, la rencontre ne pourra avoir lieu au delà du point B .

Soient par exemple , 0=12" , 6=9'' , d=i2^ et A = 4: on trouvera

y = 2'* et 07=— IS'' ;

c'est-à-dire, d'après l'interprétation précédente, que la rencontre aura lieu à 2 heures du matin, et à 18 kilomètres en deçà du point B .

On arriverait auxmêmes résultats en traitant laquestion directement dans l'hypothèse d'une rencontre entre A et B . Soit,

en effet, R' le point de rencontre, et faisons BR'=a: . Le chemin parcouru par le premier courrier sera AR' ou d — x ; on aura donc pour première équation

ay = d — X .

Le chemin parcouru par le second courrier sera BR' ou x ; quant au temps employé, ce ne sera plus y — h ^ mais bien h — y ; car pour qi^e la rencontre ait lieu entre A et B , il faut nécessairement que rinstant de la rencontre -précède celui où le second courrier arrive en B , c'est-à-dire que y doit être moindre que h . On aura donc l'équation

Or, ces deux équations pourraient se déduire des équations primitives [1] et [2], en y changeant x en — x ; elles conduiront donc aux mêmes valeurs, sauf le signe de x .

3® Si l'on faisait les hypothèses a >* et d<,bh , on auraità plus forte raison d<^ah , et les valeurs de oî et de y seraient toutes deux négatives. On trouvera l'interprétation de ce résultat en regardant à son tour y comma une quantité algébrique, c'est-à-dire en supposant que y désigne un nombre d'heures susceptible d'être compté indifféremment avant ou après minuit; la rencontre aurait lieu alors un certain nombre d'heures avant minuit, et à gauche du point B . Le point de rencontre serait même situé à gauche du point A , en R" par exemple. En effet, la valeur absolue de x est alors

b{ah^d) ahh — bd .

or, puisque hh est plus grand que d , cette valeur de x est plus grande que

ad-^bd d(a^b) ,

C'est ce qu'on voit encore en remarquant que bh est le chemin parcouru dans h heures par le second courrier ; et que, puisque bh est plus grand que d , le second courrier était, à minuit, à gauche du point A , et que, par conséquent, la rencontre n'a pu avoir lieu que de ce côté.

Si» par exemple, on a a = li^ , 6 = 9^ , d=30'' et A = 4 , on trouve y = — 2eta? = — 54^ ; c'est-à-dire, d'après l'interprétation précédente, que la rencontre a eu lieu 2 heures avant minuit, et à 54 kilomètres à gauche du point B (ou à 24 kilomètres à gauche du point A ;.

' On peut encore vériGer ces résultats en traitant directement le

problème pour le cas où la rencontre serait supposée avoir lieu en un point R" situé à gauche du point A .

En effet, soient x la dislance BR" » et y le nombre d'heures écoulées depuis l'instant de la rencontre jusqu'à l'arrivée du premier courrier en A , c'est-à-dire jusqu'à minuit. Le chemin parcouru par le premier courrier en y heures sera AR" ou a? — d ; on aura donc pour première équation » ^

ay=:x — d .

Le' chemin R"B ou x aura été parcouru par le second courrier dans un temps qui se compose de y -|- A , puisque le second courrier n'arrive en B que h heures aprè^ que le premier esl arrivé en A ; on aura donc pour seconde équation

Or, ces deux équations se déduisent des deux équations primitives [1] et [2] en y changeant à la fois a: en — x et y en — y . Elles donneront donc les mêmes valeurs avec des signes contraires.

130. Remarque L Nous, avons supposé jusqu'ici que le second courrier passait en B , un nombre h d'heures après que le premier a passé en A ; on pourrait supposer que cela a lieu au contraire h heures avant. On va voir qu'il suffit pour introduire cette hypothèse nouvelle de changer partout A en — A ; en sorte que les formules primitives resteraient applicables si l'on regardait h comme une quantité algébrique susceptible d'être comptée indifféremment en plus ou en moins. En effets reprenons le premier cas où la rencontre a lieu en R ; on aura, comme plus haut,

ay=.d-{-x .

Le temps employé par le second courrier à parcourir l'espace BR ou X , sera alors A -+-y , puisque le second part de B , un nombre A d'heures avant que le premier parte du point A ; on aura donc pour seconde équation

équation qui ne diffère de celle obtenue dans le numéro précédent qu'en ce que — A est remplacé par 4: A ^ ou que A est changé en — A .Il suffira donc pour obtenir les valeurs de ^ et y de changer, dans celles obtenues plus haut, le signe des termes où entre A , ce qui donnera

y^ et a,=*-î^±?l .

Si, par exemple, dans l'hypothèse dont nous parlons, on suppose

i08 OPÉRATIONS FONDAMENTALES :

a=12* , 6=9*, d=i30* et A=2* on trouvera x—iQ^^ et y = 16* .

131. Remarque II. Nous avons supposé jusqu'à présent que le premier courrier va plus vite que le second, ou qu'on a a > é ; on pourrait faire Thypothèse contraire. Le dénominateur des valeurs de X et de y devenant alors négatif, les valeurs positives trouvées pléis haut deviendraient négatives, et les négatives deviendraient positives. On trouveraild'ailleursfacilementrinterprétation de tous ces résultats; nous ne nous y arrêterons point.

Mais nous avons admis jusqu'ici que les deux courriers marchaient dans le même-sens; voyons si les formules primitivement obtenues seraient encore applicables au cas où les deux courriers marcheraient à la rencontre l'un de l'autre.

Admettons, par exemple, que le premier courrier allant de A vers B et le second de B vers A , la rencontre se fasse en R' entre A et B . Soit x la distance BR' et supposons que le second courrier arrive en B , un nombre h d'heures après que le premier est arrivé en A . Soit enfin, comme ci^essus, y le nombre d'heures écoulées depuis le passage du premier courrier en A , c'est-à-dire depuis minuit, jusqu'à l'instant de la rencontre.

Le chemin parcouru en y heures par le premier courrier sera AR' ou d — a? ; on aura donc

ay=d — X .

Le chemin x sera parcouru par le second courrier dans un temps marqué par y — A , comme dans le premier cas ; on aura donc pour seconde équation

De ces deux équations on tire

Or, ces valeurs pourraient se déduire des valeurs primitives en y changeant le signe de b et celui de x ; car ces valeurs primitives donnent alors

On voit donc que les valeurs primitives seraient applicables au cas qui nous occupe, si, d'une part, on continuait à regarder x comme négatif lorsque cette distance, est comptée à gauche du point B , et si, de l'autre, ayant regardé b comme positif lorsque ce nombre de kilomètres parcourus dans une heure par le second

courrier représentait un chemin fait vers ladroite, on convenait de regarder b comme négatif lorsqu'il représente un chemin fait vers la gauche.

Il résulte de tout ce que nous avons dit dans ces trois derniers numéros que les formules établies pour un cas particulier du problème que nous avons en vue deviennent applicables à tous les cas de ce problème, lorsqu'on y regarde les quantités x ^ y y h , b , etc., comme des quanti tes algébriques, c'est-à-dire comme susceptibles d'être comptées indifféremment dans deux sens opposés. Et toutes les fois que les quantités considérées sont effectivement de cette nature, les formules établies dans un cas particulier deviennent applicables à tous ; c'est là line vérité qui ne peut être directement démontrée, mais qui a été vérifiée un assez grand nombre de fois pour qu'on puisse la regarder comme bien établie.

132. Nous allons maintenant reprendre la discussion des valeurs générales du n** 124 :

cb' — bc' ac' — ca'

^—af^-ba' ®^ y— ah' — ha' '

III. Nous avons examiné, dans ce qui précède, tous les cas où aucun des deux termes de ces valeurs générales ne devient nul. Il nous reste à examiner ceux dans lesquels l'un de ces termes ou tous deux à la fois prennent la valeur zéro.

Si l'un des numérateurs prend seul la valeur zéro, celui de x par exemple, il en résulte, une valeur nulle pour x , ce qui n'offre aucun caractère d'impossibilité.

Si les deux numérateurs sont nuls, sans que le dénominateur commun le soit, a? et y sont nuls en môme temps. C'est ce qui a lieu quand on fait les hypothèses c=0 et c' = . Il est clair d'ailleurs que cela ne peut avoir lieu que dans ce cas. Car les valeurs j:=0 et j/=0 rendant nuls les premiers membres des équations

ax-\-by=:c et a'a?-|-6'y = c' ,

ces équations ne peuvent être satisfaites par ces valeurs qu'autant que les seconds membres sont nuls.

133. IV. Si le dénominateur commun prend la valeur zéro, sans que les numérateurs soient nuls, les valeurs de x et de y pren-

nent la forme - que nous avons déjà rencontrée (122) dans la

discussion des problèmes à une seule inconnue, et qui s'est présentée à nous comme le symbole de l'infini ou d'une impossibilité. Comme on ne sait pas, a priori, si cette valeur peut être légitimement déduite des équations proposées, puisqu'il faudrait pour

cela, quelle que fût d*ailleurs la méthode employée, diviser les deux membres d'une équation par zéro, il faut remonter aux équations mémos :

ax-^-by^c et a'x-\-b'y=ic' .

Pour les mieux comparer, multiplions la première par b' et la seconde par b ; elles deviennent

ab'x+bb'y=cb' et a'bx+bb'y=bc' . [A]

Or, si le dénominateur des valeurs de a? et de y est nul, on a

ab' — a'b=0 *ou ab'=^ab ;

dans les deux équations [A] les premiers membres sont donc identiques sans que les seconds le soient; ces deux équations et par conséquent les deux proposées sont donc incompatibles.

Remarque. L'impossibilité étant manifeste sur les équations comme sur les valeurs qui en sont déduites, on peut regarder la déduction comme légitime.

134. Prenons pour exemple le problème des courriers. Si Ton suppose a=^b dans les valeurs de a? et de y du n** 129, on trouve

d—bk , hid—ah)

y=-ô-' et x=^—^^)

si Ion fait la même hypothèse dans les équations primitives

ay=zd+x et b{y—h)=zx ,

elles deviennent

ay=d-\-x et a(y — h)=x ou ay=iah-\-x .

Sous cette forme, l'incompatibilité est manifeste, puisque l'on a les mêmes premiers membres et des seconds membres différents.

En considérant le problème en lui-même, l'impossibilité n'est pas moins évidente ; car, si la vitessedu premier courrier surpasse de très-peu celle du second, il lui faudra un temps considérable pour le rattraper, et la rencontre n'aura lieu qu'à une distance trèsgrande. Si donc les deux vitesses deviennent égales, on peut dire qu'il faudra au premier courrier un temps infini pour rattraper le second, et que la rencontre aura lieu à une distance infinie. Ce qui revient à dire que la rencontre 6st impossible.

138. V. Si les deux termes de la valeur de l'une des inconnues deviennent nuls, il en sera en général de même des deux termes de la valeur de la seconde, et ces deux valeurs se présenteront

DISCUSSION DES PHOBLËMËS DU PHEMIËH DKGKÉ. 111

SOUS la forme ^ , qui, dans les problèmes à une seule inconnue,

est en général un caractère d'indétermination (123).

Supposons, par exemple, que la valeur générale de x se présente sous cette forme, et qu'on ait à la fois

'cb'—c'b=^0 et ab'—a'b=0 , ou cb'=c'b et ab'=a'b ,

En divisantces relations membre à membre, et supprimant les facteurs communs, on en tire

-=T, ou ac'=a'c , ou ac' — ac=0 , c c

c'est-à-dire que le numérateur de la valeur de j^ est nul ; et comme elle a le même dénominateur que celle de ar, il s'ensuit

qu'elle prend aussi la forme ^ ,

Comme on ne sait si ces valeurs peuvent être légitimement déduites des équations, puisqu'il faudrait pour cela diviser les deux membres d'une même équation par zéro, il faut remonter aux équations mêmes, ou plutôt aux équations [A] que nous en avons déduites.

Or, énxomparant ces équations, on reconnaît qu'elles sont identiques, puisque ab' est égal à a'b , et cb' à c'b . Ces deux équations, et par conséquent les deux proposées, rentrent donc l'une dans l'autre; on n'a, pour résoudre le problème, qu'une même équation sous deux formes différentes; ce problème est donc indéterminé.

Remarque. L'indétermination se manifestant sur les équations proposées comme sur les valeurs de la forme g qui en sont déduites, on peut regarder la déduction comme légitime.

136. Prenons encore pour exemple le problème des courriers. Si Ton suppose à la foisa^==6 et d^^bh , auquel cas la valeur de y se présente sous la lorme ^ , on déduit de ces relations cette autre relation très-simple d = ah , Par suite, la valeur de x prend aussi la forme ^ .

Si l'on remonte aux équations mêmes

ay=:d-\-x et b(y — h):^x , Alg. s. B

elles deviennent, en ayant égard aux hypothèses ci-dessus,

ay=d-\-x et by=bh-\-x ou ay^=d-\-x ,

c'est-à-dire qu'elles deviennent identiques.

On se rend également compte de l'indétermination en considérant le problème en lui-môme. On suppose, en effet, a = b ; c'est-à-dire que les deux courriers ont la môme vitesse. On suppose de plus d=bh , c'est-à-dire qu'il faut h heures au second courrier pour parcourir la dislance d-; en d'autres termes il était en A , un nombre h d'heures avant d'arriver en B . Il se trouvait donc en A à minuit, en môme temps que le premier courrier; et comme ils ont la môme vitesse, ils doivent se trouver et s'être trouvés ensemble à tous les points de la route, c'est-à-dire que le problème qui consiste à trouver le lieu et l'heure de la rencontre est un problème indéterminé.

Remarque. Il est bon de remarquer que, quoique le problème soit indéterminé lorsque les deux équations rentrent l'une dans l'autre, il n'en faudrait pas conclure que les valeurs de x et de y sont arbitraires. Elles sont évidemment liées par l'équation unique qu'a fournie le problème.

Ainsi, dans l'exemple des courriers, la distance x et le nombre d'heures j^ restent liés par l'équation.

ay=:d-\-x , d'où x — ay=d .

• On pourra bien attribuer à y , par exemple, telle valeur qu'on voudra; mais il faudra donner à a; la valeur qu'on tirera de cette équation.

137. VI. Il y a un cas où la valeur de l'une des inconnues prend

la forme - , tandis que l'autre prend la forme - . Ce cas se

présente quand les hypothèses introduites annulent à la fois les coefficients d'une môme inconnue dans les deux équations.

Si, par exemple, on suppose à la fois a = et a' =:0 , les valeurs générales de a: et de y deviennent

cb'—c'b ,

x=—^ et y=-^.

Si l'on remonte aux équations primitives, on voit qu'elles se réduisent alors à

by=c et Vy^=^(l ,

équations incompatibles, puisqu'elles donnent pour y deux valeurs^ et ^ qui ne sont point supposées égales. En même temps, sous un certain point de vue, il y a aussi indétermination,

puisque, a? n'entrant plus dans ces équations, il est permis d'attribuer à cette inconnue telle valeur que Ton voudra. Mais on ne peut concilier clairement ces deux caractères que par des considérations géométriques qui ne sauraient trouver place ici *.

Cette circonstance se présente dans le problème des courriers quand on suppose à la fois a = et 6=0 , c'est-à-dire que la vitesse de chaque courrier est nulle. On trouve alors

y=- et x=- .

Il est évident, par les hypothèses mômes, que le problème est impossible sirf n*est pas nul, c'est-à-dire si les courriers devenus immobiles ne sont pas au même point.

Remarque. Si l'on a à la fois a=0 , a'=0 et c'b=zc'b , les valeurs de x et de y se présentent toutes deux sous la

forme ^ ; mais il est bon de remarquer que, pour la valeur

de î/, l'indétermination n'est alors qu'apparente. En effet, de

la relation c'b = cb' on tire c'=^ . Introduisons cette valeur

dans l'expression générale de y ; elle deviendra

' 6 acb' — a'cb c{ab' — a'b)

' y~ ab'—a'b~b{ab'--a'b)~b(ab''-'a'b) '

OU, en supprimant le facteur ab' — a'b commun aux deux termes

ce qui devait être, puisque ce cas ne diffère du précédent qu'en ce que les quantités ^ et ^ sont supposées égales.

* Les équations ôy = c et h'y=:c' représentent deux parallèles à l'axe des ar; le point de rencontre a doQc une abscisse infinie. Mais comme ce point de rencontre n'est pas plutôt sur l'une des parallèles que sur l'autre , ni même que sur toute autre droite parallèle aux deux premières, l'ordonnée de ce point est indéterminée.

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