CHAPITRE V

§ I. De la résolution des équations du seconi degré à une seule inconnue.

138. Une équation à une seule inconnue est du second degré s\^ après que l'on a fait dispanître les dénominateurs et effectué les calculs, elle contient un ou plusieurs termes où l'inconnue entre à la seconde puissance.

Soit d'abord l'équation très-simple

qui ne renferme qu'un terme en x^- et un terme indépendant de X,

Là racine carrée d'une quantité algébrique est une seconde quantité qui, multipliée par elle-même, reproduit la première. Lorsque deux quantités algébriques sont égales, on ne peut pas affirmer qu'il en soit de même de leurs racines; car +a multiplié par luimême donne +a*, et — a multiplié par lui-même donne également +a^ . Mais, lorsque, deux quantités algébriques .sont égales, si l'on prend la racine de l'une avec le signe signe + ou avec le signe — , on peut être assuré d'avoir en même temps une racine de l'autre.

On peut donc, en extrayant la racine des deux membres de l'équation ci-dessus, écrire généralement

Cette équation offre quatre combinaisons de signes :

Or, les deux dernières reproduisent les deux premières quand on y change à la fois tous les signes, ce qui est permis. On aura donc toutes les combinaisons distinctes en écrivant simplement

c'est-à-dire' que Féquation proposée admet deux solutions ap= + 5 et x= — 5 .

Si Ton avait l'équation x*=A , on en tirerait de même x=±\lx ,

c'est-à-dire qu'on peut prendre indifféremment

x^-' + n/Â ou x= — y/X . 139. Soit maintenant l'équation

14ar — ar*=40 , [i]

ou a;*— 14x=— 40 , [2]

qui renferme un terme en x* , un terme en x et un terme indépendant de a: . Si l'on pouvait convertir le premier membre en un carré parfait, en extrayant ensuite la racine carrée des deux membres, l'équation se trouverait ramenée au premier degré ; car la racine d'un polynôme du second degré eh x doit être du premier degré par rapport à celle lettre.

Or, d'après le théorème II du n<*36, on remarque que x* — 14a: peut être considéré comme formant les deux premiers termes du carré d'un binôme, savoir : a?* , le carré du premier terme de ce binôme inconnu, et — 14a; le double produit du premier terme de ce binôme par le second. On aura le premier terme de ce binôme inconnu en extrayant la racine de x^ , qui est x ; et pour avoir le second, il faudra diviser le double produit — 14ar des deux termes du binôme inconnu par le double 2ir du premier, ce qui donne — 7 . Le binôme cherché est donc x — 7 , et l'on complétera son carré en ajoutant à j?* — 14a; le carré du second terme — 7 , c'est-à-dire 49 . Mais, pour ne pas troubler l'égalité, il faudra ajouter aussi 49 au second membre de l'équation [2], ce qui donnera

a.2 14ar + 49=1—40-1-49

Extrayant alors la racine de chaque membre, en remarquant que, d'après ce qui a été dit au. numéro précédent, il suffit de mettre le double signe ± devant la racine du second membre, on obtient

OU, en faisant passer le terme — 7 dans le second membre,

jr=7=b3 .

En adoptant le signe supérieur, on trouve

a: = 74-3 = 10 ; et en adoptant le signe inférieur, on trouve

L'équation peut donc être satisfaite de deux manières, soit en remplaçant x par 10 , soit en remplaçant x par 4 . C'est ce qu'il est facile de vérifier, car on a dans le premier cas

et dans le second,

140. Généralement, quand on aura fait disparaître les dénominateurs, une équation du second degré ne pourra contenir que trois espèces de termes, savoir : des termes en x^ , des termes en x , et des termes indépendants de a? . Si Ton fait passer tous les termes dans un même membre, qu'on mette x^ en facteur parmi ceux qui le contiennent, et qu'on en fasse autant pour x , l'équation au ra la forme générale

ax^-\'bx-\-c=0 ,

dans laquelle a ^ b ^ c peuvent être des quantités quelconques numériques ou algébriqes, monômes ou polynômes. Divisant tous les termes par a , il vient

OU, en remplaçant - par p et ^ par q , pour abréger

l'écriture,

Telle est l'équation qu'il s'agit de résoudre. Faisons passer le terme q dans le second membre, et écrivons

x^'-\-px^= — q . [1]

En vertu des théorèmes I ou II du n<» 36 , le premier membre peut être considéré comme renfermant les deux premiers termes du carré d'un binôme, savoir: x^ carré du premier terme de ce binôme inconnu, et px double produit du premier terme de ce binôme par le second. On aura le premier terme de ce binôme inconnu en extrayant la racine de x^ , qui

est x; et, pour avoir le second, il faudra diviser le double produit px des deux termes du binôme inconnu, par le double %t

du premier, ce qui donne | . Le binôme cherché est donc ^+2 î ni l'on complétera son carré en ajoutant à x^-\-px le carré de | ou ^ . Mais, pour ne ;tas troubler l'égalité, il faudra aussi ajouter ^ au second membre de l'équation [1], ce qui donnera

ou (^+f) =\—^ '

Extrayant la racine des deux membres, en mettant le double sigae±: devant la nxine du second, on obtient

OU, en faisant passer le terme | dans le second membre ,

Cette expression de x est une formule générale qui peut servir à trouver immédiatement l'inconnue dans une équation du second degré quelconque, sans répéter les raisonnements ci-dessus, et que l'on peut énoncer de la manière suivante :

Dans toute équation du second degré ramenée à la forme

x*'^px-\-qz=0 ,

l^inconnue est égale à la moitié du coefficient de la première puissance de X changée de higne^plus ou moins la racine carrée du carré de cette moitié, suivi du terme indépendant de x pris avec le signe qu'il a dans le second membre,

114. I. Si Ton applique cette règle à l'équation .r*— 5a: + 6=0 ,

ÉQUATIONS ET PROBLÈMRS DU SRCOND nEGRK. H9

on trouvera immédiatement

ou

ce qui donne les deux valeurs

et

en sorte que l'équation est satisfaite par les deux valeurs 3 et 2. Soit encore l'équation algébrique

valeurs

x^—Çia + 3b)x-\-6ab=0 , on trouvera, en appliquant la règle.

ou bien ^=^±y/^^±if^±^-6«i .

Réduisant tout au dénominateur 4 sous le radical, et réduisant, il vient

. / 4a«— iSai

Or, le numérateur de la fraction placée sous le radical est un carré parfait; le terme 4o* est le carré de 2a ; le terme 9ft* est le carré de 35; et 12 ab est le double produit de 2a par 36 ; le trinôme sous le radical est donc le carré de 2a — 36 (36, II). En extrayant la racine des deux termes de la fraction placée sous le radical, on aura donc :

De là deux valeurs # •

et ^^ 2a+36-2a+36 ^3^