Il est bon de savoir résoudre Téquation
sans être obligé de diviser par a .
Or, si, dans les valeurs obtenues plus haut,
on remplace p eiq par leurs valeurs, il vient
à ,. fh^ c" ^—~^a—\ll^~a '
Réduisant au même dénominateur sous le radical, on trouve
' — 4ac
OU, en extrayant la racine du dénominateur 4a* , et mettant 2a en dénominateur commun,
— 6±:\/6«--4ac ^— 2a
I. On peut arriver à cette expression d'une manière plus simple. Multiplions par 4a. les deux membres de Téquation proposée, après avoir fait passer le terme c dans le second membre, elle devient
4a*a;*+4ato= — ^4ac .
Ajoutons 6* à chaque membre, nous aurons
4a*a;* + iabx + &*==&* — 4ac
ou, en 'remarquant que le premier membre est un carré parfait,
(2aar+ô)*=6*— 4ac .
Extrayant la racine on obtient
2ax-\-b = ±:\/b^—iac ,
d'où 2ax= — b±:\Jb^—f^ac
— b±: v/6«— ac
et x= T^ .
On "peut énoncer cette expression en disant que : dans toute équation du second degré de la forme*dc%} + bx + c=0 , r inconnue est égale au coefficient de la première puissance de x pris en signe contraire^ plus ou moins la racine carrée du carré de ce coefficient^ diminué de quatre fois le produit du coefficient de x^pav
ÉQUATIONS ET PROBLÈMES DU SECOND DEGRÉ. l%i
le terme indépendant de\; le tout divisé par le double du coefficient de\^ .
Soit pour exemple Téquation
on en tirera x=^ ^ — T
ce qui donne les deux valeurs
^=6 =2 et a?=-^=-3 .
143. Enfin, lorsque le coefficient de la première puissance de x est divisible par 2, il se présente une petite simplification qu'il convient de ne pas négliger.
Soit 6=2/3 , Téquation générale ci-dessus pourra s'écrire
. ax'^-\-i^x-\-c—0 .
Faisant passer le terme c dans le second membre et multipliant par a , il vient
a^x^-\-2^x= — ac
ou, en ajoutant /3* à chaque membre,
a^x^ + iapx+p^=p^ — ac
ou {ax-\-py=^^—ac ,
d'où, en extrayant la racine,
ax
-\-p=±yJp^—ac
s -h v/aa /
et par suite x= — .""^"^
c'est-à-dire que : dans toute équation du second degré de la forme ax*-j-2px+c=0 , V inconnue est égale à la moitié du coefficient de la première puissance de r inconnue , pris en signe contraire^ pins ou moins la racine carrée du carré de cette moitié^ diminué du produit du coefficient de x^ par le terme indépendant de n ; le tout divisé par le coefficient de x^ .
Exemples. 1. Soit l'équation numérique
&x^—Gx-\-l=0
122 ÉQUATIONS DU 2" DRORÉ. — PROGRKSSIONS. ■=— LOGARITHMKS :
on aura, d'après celte règle,
3db\/î^— 5 3±:2
jri:= 1: =—Z—
doù x=l tt a?=5 .
n. Soit, on second lieu, l'équation algébrique (a»6*)ar«— 2a*te+a»ft*=0 .
On aura . . jr= ^ qi 5,
attendu que a*6* est le carré de a6* (32, rem. H) ; ou encore
ab(a±h)
De là deux valeurs
ahia-^-b) ab
ab(a — b) ab
m. Le lecteur pourra s'exercer sur les exemples suivants
,r'— (4fl— 2ô)^+3a*— 8aô— 36*— .
3a , a?~26 aj-}-6 ' a— 6
§ II. Problèmes qui conduisent à une équation du second degré à une seule inconnue.
144. Quant à la mise en équation des problèmes, nous n'avons rien à ajouter à ce qui a été dit d'une manière générale au n° 70. Nous nous bornerons donc à traiter quelques questions particulières.
Problème I. Un banquier a escompté en dedans un billet de 2080 /r. payable dans 8 mois^ et un billet de 31 SO /r. payable dans
EQUATIONS ET PROBLEMES DU SECOND DEGUË. H'i
10 mois ; r escompte total a été de 230 fr. ; on demande quel était le taux de ^escompte.
Soit X le taux de Tescompte. Puisque 100 fr., au bout d'uQ an, rapportent x , au bout de 8 mois ils rapporteraient
— ou ~; par conséquent, si un billet payable dans 8 mois
énonçait la somme lOO^+v^ l'escompte en dedans de ce billet
serait — . Dans les mômes conditions, l'escompte de 2080 fr. sera donc donné par le quatrième terme de la proportion •
100+1^ : |a;i=2080' : ce quatrième terme ,
dont la valeur est conséquemment
ou, en multipliant, haut et bas. par 3 ,
[Il
En second lieu, 100 fr. au bout d'un an rapportant x, au bout de 10 mois ils rapporteront -^y ou - ; par conséquent, si un billet payable dans 10 mois énonçait la somme 100'+-^, l'escompte en dedans Je ce billet serait ^ . Dans les
mêmes conditions, l'escompte de 3150 fr. sera donc donné par le quatrième terme de la proportion
100+ Y : ^|z^3150' : ce quatrième terme ,
dont la valeur est conséquemment
OU, en multipliant, haut et bas, par 6 ,
i5750jg 600+53? •
Mais, d'après Ténoncé, la somme de ces deux escomptes doit faire 230 fr. ; on doit donc avoir Téquation
Faisant disparaître les dénominateurs, transposant et réduisant, il
ou x' + 132r=828 , [4]
d où l'on tire a:=6 et j?=— 138 .
Le taux de l'escompte étant essentiellement positif, la seconde valeur doit être rejetée ; le taux cherché est donc 6 pour 100. On trouvera ensuite pour l'escompte des deux billets 80 fr. et 150 fr. , en mettant pour x la valeur 6 pour les expressions
[l]et[21.
Remarque. En changeant x en — x dans l'équation [3], il serait facile de trouver un énoncé auquel convînt la solution — 138 prise positivement; mais, outre que cet énoncé serait incompatible avec la notion d'escompte, la valeur positive +6 se trouverait alors convertie en une valeur négative — 6 .
On pourra être surpris, au premier abord , de voir l'Algèbre donner ainsi une solution étrangère à la question, quel que soit le signe que l'on donne à x dans l'équation du problème. Mais il faut bien remarquer que l'Algèbre doit donner la réponse à toutes les questions qui pourraient conduire à la même équation [4], et dont le nombre est illimité. Telle serait, par exemple, la suivante.
Trouver deux quantités dont le produit soit 828 et dont la somme algébrique soit 132; laquelle, en désignant par x l'une des deux quantités demandées, conduit encore à l'équation [4], et admet les solutions négatives aussi bien que les positives.
L'équation [4] est donc beaucoup plus générale que le problème qui y a conduit; et il n'est point surprenant qu'elle admette une sfolution étrangère à ce problème particulier. Nous aurons souvent l'occasion de faire des remarques analogues.
145. Problème II. Partager 17 en deux parties telles que le carré de la première surpasse de 2 unités le double du carré de la seconde.
Si Ton appelle x la première partie, la seconde sera (17 — x); et en traduisant algébriquement l'énoncé, on aura
2(17-x)*+2=x* ou, en réduisant, x^ — 68a!r + S80=0 , d'otf Ton tire x=U±n ,
c'est-à-dire a?=:58 et jr=10 .
La seconde valeur satisfait à la question, et donne pour les deux parties 10 et 7 .
Quant la première valeur, elle est, quoique positive, étrangère à la question proposée, puisqu'une des parties de 17 ne saurait surpasser 17 .
. Remarque. L'explication de cette circonstance, en apparence singulière, est facile à trouver. Le problème que nous venons de résoudre avec une seule inconnue, en comporte réeljement deux, qui sont les deux parties de 17 .
En appelant x et y ces deux parties, les équations du problème seraient
Or, il ue sufût pas que x soit positif pour que la solution réponde à l'énoncé, il faut encore que y le soit, ce qui ne peut avoir lieu si x surpasse 17 .
Si l'on change y en — y , la première équation devient
et la seconde ne change point. Ces équations répondraient à ce problème : Trouver deux nombres qui diffèrent de 17 ^ et tels que le carré du plus grand surpasse de 2 unités le double carré du plus petit. Dans ce cas, les valeurs de x restant les mêmes, on trouve que la valeur a?=z58 satisfait el donne pour y une valeur positive yziz4f ; tandis que a?i=10 donne y=: — 7 .
Mais les valeurs, tant négatives que positives de y, deviendraient admissibles si l'on prenait pour énoncé : Trouver deux quantités dont la somme algébrique soit 17 ^ et telles que le carré de la première surpasse de 2 unités le double du carré de la seconde ,
On voit ici, comme dans le problème précédent, que l'équation à laquelle on est parvenu est plus générale que le problème qui y a conduit; il n'est donc pas étonnant que l'Algèbre fournisse des valeurs étrangères au problème particulier que l'on a en vue.
164. Problême III. Un champ a 480°'-*^ de superficie; un champ mm, qui a 6° de plus en longueur^ mais 4" de moins en largeur.
12ti ÉQUATIONS 01J.2*' DKGRÉ. — PROGRESSIONS. — LOGARITHMES :
a la même superficie. On demande les dimensions des deux champs ' (dont la forme est supposée être celle d'un rectangle).
La superficie d'un rectangle ayant pour expression le produit de sa longueur par sa largeur, si x désigne la longueur du premier
champ, — sera sa largeur. La longueur du second.. sera
x4~0 ; sa largeur sera - - — 4 ; et sa superficie sera le pro- 4uit de ces deux expressions. On devra donc avoir
ou, en effectuant et réduisant,
Faisant disparaître le dénominateur x , transposant et divisant par 4 , il vient
d'où l'on tire x=— 3^=^729=— 3 ±; 27 , c'est-à-dire aî=24 et x=^ — 30 .
Prenons d'abord la solution positive. La longueur du premier champ étant 24" , sa largeur est -^^ ou 20"" ; la longueur du second est 24"*+6'" ou 30", et su largeur est 20" — 4" ou 16" , sa superficie a donc pour valeur 30x16 ou 480"**» ; elle équivaut donc bien à la première.
Passons à la solution négative. Pour l'interpréter, changeons x en — X dans l'équation du problème ; nous aurons
OU, en changeant à la fois le signe de chaque facteui* ce qui n'altérera pas le produit,
équation qui répond au cas où le second champ aurait 6" de moins en longueur et 4" de plus en largeur.
On trouverait en effet pour solutions ar=30 et a:= — 24 . La première de ces valeu rs donne pour la largeur du premier champ
~ ou 16" ; la longueur du second est 30—6 ou. 24" et
sa largeur est 16-f 4 ou 20* . C'est-à-dire que c'est le second
champ du cas précédent qui est devenu le premier. Quant à la valeur négative — 24 , son interprétation nous ramènerait au premier cas.
147. Problème. IV. Une personne qui a 120000 /r. de capital en a fait deux parts qu'elle a placées à deux taux différents; la première lui rapporte annuellement 2800 fr, ; la seconde^ qui est placée à un taux plus élevé de 1 /r. , lui rapporte 2500 /ir. On demande quelles sont les deux parts, et à quels taux elles ont été placées.
Désignons par x le taux auquel la première part est placée. Si la première part était connue, on obtiendrait son intérêt annuel en la multipliant par le taux a: , et en divisant par iOO; ce qui devrait donner 2800 fr. On aura donc l'expression de la première part en faisant les opérations inverses, c'est-à-dire en multipliant 2800 fr. par 100, et en divisant le produit par x ; ce qui donne
En raisonnant de la même manière, on trouvera pour l'expression de la seconde part
Et, puisque lasommedesdeuxpartsdoitfaire le capital entier, on devra avoir
280000 2S^^ 20000 , ou h — r-r=:12 ,
ou encore 12a:* — 41a: — 28=0 ,*
d'où Von tire x=i et x^=—^ .
La valeur positive -f- 4 , qui est seule admissible, donne 4-|-* ou 5 pour le taux auquel a été placée la seconde part. La première est alors
^^ ou 70000^ , et la seconde est — z — ou 50000' .
La somme de ces deux parts forme bien le capital 120000 fr. Ici , comme dans le problème I , la valeur négative — ^ ne
ALG. S. 9
128 I^QUATIONS DU V DËGaÉ, r-» PaOQBBSSION8. «^ LOGABITHHES :
pourrait être interprétée qu'en partant d-un énoncé indc^patib^e avec la notion d'intérêt. Rappelons que si rAlgëbre jfauhift ainsi une solution étrangère, cela tient à ce que Téquatiôn àlaqqelle on est parvenu a plus de généralité que i.e problémaparticaliei; qqî y a conduit, et que rÂlgèbris doit répondre àtputesJe^ qae$itQQs4Qi conduiraient à cette même équation, et dont quelques-unes pour-
raient admettre la solution négative — - . ■<!
148. PaoBLÈME. y. Ihmer 11 en dmx parties telles quesla semme de leurs cubes soit égaie à i07*
Soit X V\xm des parties, l'autre ser^ {l-^x , Le cube de )fi première s'écrira x^ . Pour former le cube de la 'seoondej foi^motis d'abord son oarréquiestll* — 2 xU. «?+«:% et multiplions ce carré par 11 — x , ce qui donnera >'.
1^^8x^l^a:+3Xll.^— a^ . '"'
En faisant la somme des deux cubes, les termes en ar* disparaissent; on doit donc avoir l'équation
U'— 3xll*.a;+3xU .x^=m ,
ou, en remarquant que tous les termes sont divisibles par 11 ,
11*— 3xll.a:-f3a:*=â7 , ou 3a:*— 33ar-f 84— ,
ou encore x^ — Ha: -f- 28=0 ,
d'où l'on tire x=7 et x=zi .
Si l'on prend 7 pour la première partie, la seconde serall — 7 ou 4 . Si l'on prend 4 pour la première, la seconde sera 11 — 4 ou 7 . En sorte que, bien que nous trouvions deux valeurs positives distinctes et toutes deux admissibles, le problème n'admet néanmoins qu'une solution. Gela tient à ce que, x ne désignant pas plutôt une des parties que l'autre, l'Algèbre doit les donner toutes les deux ; et c'est ce qui arrive en effet,
149. Le lecteur pourra s'exercer sur les exemples qui suivent:
I. Une personne a acheté du drap pour 300 fr. Si elle avait payé le mètre 5 fr. de moins elle aurait eu, pour la même somme, 2"" de drap de plus» On demande combien elle a acheté de mètres de drap,
(Réponse: 10°*. Solution négative —12", qu'on interprétera comme au n** 146.)
II. Un amateur de tableaux achète pcmr original une copie quil est obligé de revendre ensuite â4 fr, ; à ce marché il perd autant
-i7 MBOUAnONS fiT iPnOBLÈlIt» DU-'S«<BONÛ DECÏRÉ. >^ i29
pour 100 que le tableau lui amit eoûié. On demande quel a été
:ia prix d'achat,
. (Réppnses: 60 fr. et 40 fr.)
IIL Partager 12 en deux parties telles que le carré de la première •Éùit inférieur d'une unité au double du carré de ta secbnde,
(Réponse: la première partie est 7 ; par suite la seconde est 5 . De plus une solution Inadmissible, 41 pour la première partie; ce qui donnerait pour la seconde — 29. Voy. le n** 148.) M.'iV* Oï* a*p«s^*''96 /r, à 14 ouvriers, hommes et femnlis ; chaque homme a reçu autant de francs qu'il xj avait de femmes^ et chaque fenme autant ^de francs qu'il y avait d'hommes» Combien y avait-il d'hommes let combien f at'oit il de femmes P •
(Réponse-.; 8 hommes et 6 femmes, ou bien 6 hommes et 8 femmes.) ^
V. Trouver les quatrei \termes d'unf pr)oporùi$n par quotient, sachant que la raison est 3 , que la somme des antécédents ,est 5, et que la somme des carrés des quatres termes est 130. , .
(Réponse : 2 : 6 = 3 : 9 , ou 3 : 9 = 2 : 6.)
VI. Deux eumers ont un oicvrage à faire. Si èhacun d'eux en fqifaif la moitié^ il leur faudrait en toiit 23 heures de, travail, pçiur le terminer; mais sHls y travaillent ensemble, l'ouvrage sera fait en 12 heures. Combien d'heures chacun d' eux ' emploierait- il à faire l'ouvrage entier s'il trqvaillaitr S6ul ? ,. i
(Réponse: L'un des ouvriers emploierait 30 heures , et l'autre 20 heures.)
130 ÉQUATIONS Dp 2* DEGRÉ. — PROGRESSIONS, — LOGARITHMES
