I. Soit g>0 . Si Ton' a ^—^>ÔV'iBS(le!ux racines s

réelles. De plus, elles sont.denlèmet^gne,'pTiiisque leui^ prodUîi g" "^ est positif. Elles sont positi^ves si leur somme — p est posilivç, , c'est-à*dli*è s'i"))''èét riègâtifi îeHés'édnt négatives si lenV sdmiilë / —p esthtfg'àliVë','ld'ës'C-à-dirè"'sï'p est^pb^itif: t)n n'é^péat,/â'ans ' . ', ce cas, supposer p^^O . . ^ - m '::..j'^ i; "

Si l'on a';|-—^.:;==0 V les deux racines^ pont «égâles-j tch^adùnè-^ ^

vaut la mQilji^,4^,Jetty.p,9^me|.4^'e«it-ri-dire. r**!^ eiltel switsfosi*- ; " tives ou négà#e$V«blbrt é^ue^jrèst négatif bu poéîtif.^ On he péùî" ''

Si l'on a ^i^^'<fO ,iiefi)<d^ax' raciûiesVsônt îttiiagîn'aires."Elî'êâ^ ^•

sont égales et de siene contraire si leur s.Qmm<î — p est nulle, c'est-à-dire si jo=rO. ' l. ' '• ,

II. Soit lîif=i() . iLa.ippoâuit!. des raoîmes étant »uil ,i)il- fatrO' •' que l'une d'(a.nqsj0^0|i(ti>fii'attliîe e&t aitora-égaleiiVleiir^soipiiiie *^p, ^v hi; et est positive, ni(He ou négat/p, suivant qçie p. eç,t pégptjl^, nijil , p(, ou positif. ^ ' ' i \ ^ V .

III. Soit g<0 .'Leâ^afeux rafdWéfe'éôhty biles. Elles sent dri^ '-' '

Di«(i:iif»iiON 0iâs fBOSLtiHbS'Jîct Second DEGRÉ. 151

signe o(Mftlraiite pliisqtadtélir produit q mi négatif. «La plus grande en valeur absolue est de môme signe que leur somme — />, c'està-dire positive si p est négatif,^pt négative si jpi est positif. Si p était nul, les deux racines étant 'dé signe contraire seraient égales' ew 'valeiir-îlbsolue. ' : " • ;. • - \

174^ PPrpeufj.jà )'^id^deice$ remarqijiqs, iraçonnaltce lanalurc des racines d'une équation du second degré avant de Tavoir résolue. Soitv par. ehemple^îl) équâlicwii. î I ' Il i !

■ojW 7-1^ 4-1 2^0 . . ,

sitive. }./. r . .î j. .,;__., .... . î, ;... î, • .: .^..; i , .,::,• :... Les deux racines sont donc réelles. Elles sont de même signe, puisque 'lèutphô'd dît esli"4-*2f' ;'ellè3 sont po'sitîVeâ, puisque' leur somme est +7. =' '' '"'^" ^ ''" •'^-' "^' '- • ■ -

Soit iJéftftaijoRip,. .,-?îH-7^'+''*^'f=^0 •., ... m ..... ,-! •;■ t r

Les deui' 'Mcitids sWiit eticob' réeïïes et dé'méiûe signe ; mais elles sont négatives,, puisque l^pr somme est j,-^ ,j ..-.,.

. Les dp|i;l fàlpii^^s èon^ rMWsj ; çîlles sopf de $|ghq cox^tr^aire, PiU|sque leur produïtjest 4^ leur somme ési ^—7 . ' (> .^ : i -

i 75- ! jlBsiiARQUE iL . Lorsque . ile& . . racines sont « ^égoî^es, lej pre-' mier membre de l'équation est un carré parfait. Gela résulte du ihéorème'ijlû'W* ISfls puisque 'cfe pifetûieV'tïiëmbfë ié^lenl! alors à {x-^^çc') <;fl-7n^') .:q.9.> lii^yr^^^^^n ^ itf^is. ^ çj^tj {>oa,,de,ie voir

directement. On a alors ^—g:==:0 ou î=t . Si, dari^ ré\iuà-

tion prppqséev:PATemplaç<^>î PAiîiCjeUe Maleiîr, 001 o^itient . /;.

RetuiKiuEjiIL iiors^oe lesfaoinie^'sbnf'JiÀàginai^s, *)e pteiAM' iaembrei-4e' l'équation; estla-sonnlife 'de diâas ^uàlttitéls pbsitms.

On a,"éli etfetVaa'nk' ce caàV'f ^'^<'6^' Ou" qt>'f'' On 'peut doncp9çeii„a==|,-r|j-aV„|pp,|i^jgpajjjli,Pftr «fl.iine (juantité essen-

152 ÉQUATIONS BU 2* D£ORÊ. — l>Ar)ORC68ION8. — LOGARmiMÊS :

lielleroent positive. Mettant pour q cette valenr dans rèqnatioii, elle devient

Sous cette forme, on voit bien qu'aucune valeur réelle mise à la place de x ne saurait satisfaire à Téqualion; car, que ^+^ soit positif ou négatif , son carré est toujours positif.

Remarque III. Lorsque les coefficients de Téquation, savoir p ct^ ,. sont réels, les deux racines sont toujours réelles ensemble ou imaginaires ensemble. Car, si l'une des racines était une qu antit é réelle a , et que l'autre fût une quantité imaginaire t-}-c\/— T, on aurait, en vgrtu des théorèmes du n" 169.

—p=:a-f-b^c\f^ et q=a{h^c\/—i) ,

ou /?=— (a+ô)— c\/— 1 ^^ q=iab-\-ac\/—l ,

c'est-à-dire que les coefficients p ei q seraient tous deux iihaginaîres^ isi a était différent de zéro, ou que le coefficient p serait imaginaire sî a était nul.

Remarque IV. Si Téqualion est numérique et que les coe/Bcients p et g soient commensurables, les racines sont toujours commensurables ensemble ou incommensurables enseroJblç. Gar^ si Tune des racines était une quantité commensurable à , et l'autre lïne' quantité inconlmensurable, pouvant avoir une partie cbmmensurable,'telle que b-\-\/c , on aurait, en vertu des théorèmes déjà. cités,

^p=a-\-b-\-\rc et q^a{b-\'\/c)- ,

ou ■' p= — (û+^>) — \A ^^ q—ab'-\-\/û-c ,

c'est-à-dire que les coefficients p et q seraient tous deux incoïumensurables si a était différent de zéro, ou que le cœflSenent j8 çj2^i:aiMnc9mn)ensusabla si a était nul.

176. Nous, avons supposé jusqu'ici que Ton pouvait mettre l'équation sous la forme a^^+z^a^-f-ç^^O ; c'est-à-dire que dans l'équation plus générale ax^':\-bx-\-c=:0 , a n'était pas nul, et qu'alors on pouvait diviser para .11 s'agit de ntoir mahilenant ce qui arriverait si les hypothèses particulières faites sur les données du problèane venaient à annuler a .

Pour cela, changeons d'ahord x en - ; aux. plus griandes

^ •t/»fil9C;il»$I0N DES PAOetBlieS I>U SEQOiNa. DBGAé^i 153

yaleiuT^jâe jr corraspondroat les plus pelite^ valeurs dco: , et vice versa. On obtient ainsi

QU ^n.cl>assant les dénominateurs.

Faisons maintenant l'hypothèse a:=::0 ; l'équation so réduit à

blf+cy^=0 ou y{b-\-cy)z=0 . . . •

On satisfait à cette équation, soit en posant y=0^ soit en posant' ' -

' / ' b-^cy=0 , d'où y=-^'; ' •

mais puisque 3c:^- , on déduit de ces valeurs^de y c

x—^ et ^— — ^ .

, La première de ces valeurs est une valeur in/Uiie (V2^)y que ro,n n'aurait pas soupçonnée si l'on se fût contenté de faire a:^:=0 dans l'équation proposée, puisqu'elle se réduit alors à

et ne donne pour x que la seconde valeur — ^ .

Si l'oA fait* en même temps a=0 et t;=0, l'équatiou en.^. ci-dessus se réduit à

cy'^0 , '

et donne pour y deux valeurs nulles. Il en résulte pour x deux valeurs infinies, et c'est ce qu'on pouvait prévoir, puisque la

seconde valeur — t se réduit alors à — ;: ou à l'infini.

177. On aurait pu faire les mêmes hypothèses dans les valeurs générales tirées de l'équation aa?*4-ô^-f-cr=::0'.' €és Valeurs sont (142)

Si l'on suppose ainrO , on trouve

'■ '-' '■- ■ ;■ -Jfe+ô ■ ,

i)li trouve bien une valeur infiriieV mais l'autre se présente sous

-a,, . » ..«'1 ^/••••'' ,F«| 'IIM i.i'iil l ^ \ti •i.l>.-'}:i>i'.l

la forme indéterminée - . Pour faire voir que ceUe-IndUlearurfûtt+j tion n;.eslqtfa,?pap^^^ inpUjplie j^,^. ^eyx ^le^ines^.d^ apj^yar

Sous celle forme, on voit q^e» si Vot îàit a=0, la valeur de x'

se réduit à r ; mais que si, avant de faire cette hypothèse, on

supprime le facteur 2a commlin aux deux termes (123, Rem. II). on obtient \..vu, \ -. i / • .u i . ,,

: f. fh- i i^ '.-uin « «j jM ' . ' ••.) jiiuî ï'- '.Il «il./ vu »î» -;.') '1

qui est bien la valeur finie et déte^miijée qu'on devait obtenir. Si Ton fait à ^ta fëis a!=d *et b'^X), lè^sfleux^ valeurs de x

se pfé^WlÇftl spu*s la JfprmO; J ,\ Qiw^nU X^^ltirm^Mtéfn fimirde

voir que rindétërminalion n'est qu'apparente et que la véritable

valeur est—-, qui, pour^if=pid-,i'se(r.è|i)iiyà'-^^.|ou à l'infini..

Pour la 8econde,multiplions ces deuA termes par — 6+\/6* — 4ac, ce qui donne . ' ' '

^, (6)«-(6«~4ac) - U-flc^- -^'> ^-^ -~" "^ »^^»^''

ouijôo fiaf>priifaantieifactéiir)îC0ipinunl2avi: ,!!: »i> •:iu>.îj '>^ lii >

r ^ , . — 6+V/6»— 4ac *' "\.

Si maintenant on fait a=0 et 2^=0 , cettç valeur se réduit

Ainsi, pour a=0 et 6=0, les deux racines i^ont^iirfijiieâi^ comme ce\f^^àp^^}\^'P\Ke,,,^[^^^;^^^^^ pjPé-

cédent.

Enfin, si l'on faisait v^^nJn lote()fl=0) 6=0 et c=0 , les deux valeurs de cp se présenteraient encore toutes les deux sous

la forme § y^maisllnflétei^inàti^J serait ptel^Ca^^îesl?!^

^iinniM/.»'»! ' ,^/(ii.' iM,nr;n ■.\i\.\,f. ^ n ^/'mm i que, dans ce cas, Téquation pourrait élre j^atisfaite par une valeur

cjïiekoiw|ùëideitrv:i ^{ij; 'lior M.n.î ^ui^' . ^^ -• mîi m .» .li: »

' ' i7Ô. mus âilïoùsli'ppliquer èlélte iit'âcussibii'lliquéTquU exemples particuliers. ,, ,^ „\ ,

Problème I. Trouver le dénominateur d^une fraction.^f^ le numérateur est a, sachant que, si l'on ajoute b à cliaciin des deux termes^ la fraction augmente de mi ^

Soit X le d^fliomip^lftur (leiiiandè,;.0ii 4eyrq, jiv-air.