CC + O X
rif) 'Vi.il'i.j /({ '«t! .-' 'wîi.*! i|. r.MT -.( N .î'p ,!.i:t " ^ r îîî,* .
,T\\ .iir,H «i.iîlç ^'^?ll!i«l /'.' 'h /{f. fln'f..n:,-': '«L 'hJm •..! Oi ^lUl'
d ou 0:=^^ — ^^ h •
l** Ces deux valeurs seront réelles et positives si Ton a :
^tSblôrrt,"ï)aï' ë*éâîiplé,' bM'3'V fc42^H^"^^î^'T •éW'l^'teiivera
* i2 '«lUirùy H.
d'où a:'=18 et a:';=:F4 . . , ^ . a -^
Si Ton adopte \^ ^^ièrei taleur, lâ^ (çmtifi^r demandée est -z ; elle se change en zi quaikljimmjiioteiâlàkbàctoitei^putennes ^*'' 2Ô~Î8 ^^ 4~"â vaut efffectivemeat ^-^ .
Si Ton adopte la seconde valeur, la fraction demandée est 7 ; elle se change en ^ quand on ajouleâ à çhac(^n.d,e s^s termes;
>SN l*«^8èftjé'Vafëiii^^drfvïëttdi^àiéâf ékales'^rViH M '
Jn§f{m«)»olfpi;,??.«ffl(}>,^^,«fp^.>wtèiÏÏT^r»|.\|9?tff j JiT-on -trouvera
Digiti
|f)Ourcîesdeux valours x=zi , La fraction demandée est alor^^ 7 ;^
elle se change en ou 7 quand on ajoute 8 ù chacun de
3 1 i ses termes; or, 4— r==9 •
3** Les deux valeurs seraient imaginaires si l'on avait ;
G'esl ce qui arriverait si Ton avait, par exemple, «r^n-i , mzz^i 6=2 . ' ,
Dans ce cas le problème serait impossiUe.
4®, On trouverait une racine positive et une négative, si Tonsupposait 6 négatif; c'est-à-dire si Ton supposait qu'au lieu d'ajouter un même nombre aux deux termes de la fraction on en retranchât un môme nombre.
Soient, par exemple, a=:14 , 6=— 2 , ^=7^ > ^" trouvera
-ïl>^n/Tl'* + ^'f2'*'-^ -7d=37 ^'— , - o B — 5 : .> -
d'où x'=Q et œ'^^Sj .
jjdi, ^eçopde solution est purement algébrique; la premièire donne pour la fraction demandée ~r . Cette fraction, quand on retranche
2 à chacun de ses termes, devient 7 . Or, - — — égale en effpt ^ .
5® On trouverait une solution infinie si Ton faisait m:^0, c'est-à-dire si l'on demandait que la seconde fraction fût équivalente à la première.
Les deux valeurs de x sojit alors . .i
^•iL^- et x^=za .
La,seçppde solution est évidente : car si le déoominAteur,.esl égal au numérateur, auquel i-4is la fraciwi équivaut àrrl-unilts eu
:M<UI|$(;i^S$ION DE» |*iU)UU^Itfi^ DU ^tùHi^D fitCfiaÉ* : 157
ajoutant un même nombre aux deux termes on ne change pas sa valeur.
La première solution s'explique avec \^ même facilité ; car si <le, dénominateur x est iu&ni, il est en de tiiéme du dénomina-
leur x+b ; les deux fractions -^ et - sont donc nulles
toutes les deux, et^ par conséquent, leur différence çst égaipm^enl nulle.
179. Problème IL Trouver les rayons^ extérieur et intérieur, d'ttfie sphère creuse de matière hontogène quelconque , connaissant f épaisseur de la matière et le volume quelle occupe.
Soit x le rayon intérieur, le rayon extérieur sera x-\-e\y en désignant par e l'épaisseur de la matière. Le volume que celte matière occupe est la différence entre les deux sphères dont les rayons sont x-^-e et a;; on doit donc avoir, en appelant V ce volume, J
ln{x+ey-lnx^=\^ , OU, en divisant par — ,
TC
Si l'on fait le carré de x-\-e , on trouve ar*+2^j:-j-tf'', , et en multipliant ce carré par a:-f ^ , on' obtient pour le cube de ce binôme
x'-{''3ex'+3e*x-\'e^ .
Mettant cette valeur dans l'équalioa ci^esstis, et supprimant les termes en x^ qui se détruisent, il vient
'^x'+Se'x+e'=^ ,. .....
ou a:^^ex+'^-^=0 . .. [l]
On tire de cette équation . , • >
^~ 2~V4ice' 12
Pour que le problème soit possible, il faut que ces valeurs soient réelles; mais comme alors la seconde est nécessairement négative,
* Le volume d'une sphère a pour expression lès j'du produit' d il rappoirt t. de la circonférence an diamMre par le cube lu ray<)û. '"
158 EQUATIONS DU 2* DRtinÉ. — PROGRESSIONS. — LOGARITHMES :
il faut,' de plus, que la première soit positive. Les deux racines devant être de signe contraire, il faut que le dernier terme de l'^uation [1] soit négatif (169), et cette condition suffit en même temps pour la réalité des racines (172).
Posons donc f — ^<0 , d'où y>\ne^ .
Cette condition exprime que le volume donné doit être plus grand que celui de la sphère qui aurait pour rayon Tépaisseur donnée; et, en effet, le plus petit volume qu'on puisse obtenir en conservant une épaisseur donnée, correspond évidemment au cas où le rayon intérieur serait nul; la matière occuperait alors une sphère pleine ayant l'épaisseur donnée pour rayon.
Si Ton avait \=:-ne^ , on devrait tîouver zéro pour la valeur
positive de a? ; et c'est ce qui arrive en effet, car on a alors
€\A j 4Tce^ ^ ^Li l~ ^^
^~ 2 ' V3.4irc 42~ 2 1 V 3 i2 ^
OU
Quant à la valeur négative, elle est purement algébrique, et ne peut convenir au problème.
180. Problème III. Trouver sur la droite XY , qui joint deux points lumineux A et B, le point qui reçoit de chacun d'eux la même quantité de lumière.
(On suppose connu ce principe de physique: que la quantité de lumière reçue est en raison inverse du carré de la distance au point lumineux.)
Prenons pour inconnue la dislance AG du point cherché à l'un des deux points lumineux, et désignons-la par x ; soit d la distance AB des deux lumières. Représentons para* la quantité de lumière que recevrait un point situé à 1 mètre du point A, et par p* celle qu'il recevrait à 1 mètre du point B .
Si / désigne pour un moment la quantité de lumière que le point cherché C reçoit du point A , on devra avoir, d'après le principe cité :
/ : a-=lm:a^ d'où /=- .
En raisonnant de même, on trouvera que la quantité de lumière que le point cherché G reçoit du point B est
Ces deux quantités de lumière reçue par le point cherché C devant être égales d'après l'énoncé, on doit avoir l'équation :
[Il
On pourrait la traiter comme à l'ordinaire, et nous conseillons cet exercice aux élèves; mais il est plus simple de remarquer que les deux membres étant des carrés parfaits, on peut en extraireja racine, ce qui donne les deux équations du premier degré
Si l'on prend le signe + devant le second membre, on trouve, en faisant disparaître les dénominateurs,
«rf-
-a.i?=|3r , d'où x'=d.-j^
Si l'on prend le signe — devant le second membre, on trouve, de la même manière,
ad — aa::i= — ^x , d'où x^^d .-^ ,
valeurs réelles qu'il s'agit de discuter.
1^ Supposons d'abord la première lumière plus intense que la seconde, ou «>P . Dans ce cas les deux valeurs x' et x" sont toutes deux positives.
Considérons d'abord la valeur x' . Comme « + ? est plus
grand que « , l'expression -^ est moindre que 1 ; la valeur x' est donc moindre que d , et répond à un point compris entre les points lumineux À et B . De plus, .comme «-f-^ ^^^
moindre que «-{-« ou 2a , l'expression ^^ est plus grande
que ~ ou que ^; ainsi x' est plus grand que la moitié de d.
Le point correspondant C est donc plus près du point B que du point A .
Considérons, en second lieu, la valeur x" . Comme «— p est
moindre que a , l'expression -^ est plus grande que 1 ; Alg. s. Il
lèCO ÉQUATWN»J)¥i2^])fiGmli -r^PR06ll«SI0(W.>**«>i/lGj^KrTHMË^ :
i'HiiidÏMir^' esÊfiius^randjqiie f& 4*ei vépoodlà/imipomt iG'»^ liiaé «MiidetàiduiipoiDtiiiniiQeix B'q«i atla^pnoinâre intéBsitéuiODièoB- .toit, «n effeÉj qp'oii>puisse trouyet à&c6Xdlé nnipoini pouo {lequel 'la diiïénencf. d'tnUnsitèdesideuK .lumièreB eoil coibpensôe p^Piia différence 4e^:difita(iiQe& m pqiat éclairé.. r-w . , •
2® Supposons que l'intensité de la seconde lumière aille en.a^g-
^çnUjni|.,ç.t xjjup.pox, conséquent ^ augmenta en se.r^^ipji^paiiant
,ain3J .flle,a ,,Ja valeur a?' ifa ep d,in)in.uaût et la valeur de a? ,i,ra
tifîû, a^gmenlani, Ain$i le point Ç jse .rapprochera dmpilie.u.4e
ABnetrle ppipA.Q' s'ôloigaera:4e.pJli?6.en pUa.4ei.la lumièrp.B.
5.i.),'oxl.^ppo.^eIftain^pn£^at.'aF=^p,, Àu.les (Jieux lmaière?.ç(',égj^le
iintenfeit^, on^ 'aurai ^î'^rii^ et xf^t^^^ ^ «'est-ft'dlreque le-^oint C
se trôùVerjL ajors au birieû de AB , eï qiîè le ppint Ç' se sera èlôîg'në'à une distance infinie à dr-oite dû point B. Oh conçoit,' fen effet, que pour compenser la ditrérepce d'intensité des deux lumières, il faut éloigner te point C d'autant plus que cette différence est moindr^j, e^t que^si enfin elle dejvi.ent nulle, ce n'est qu'à ?uhe distance infime que ladlifTérence dqe aiii" dislanceâ dev'iéhl insensible. • i . ^ x m , /
'^ 'Ô^^SttppMOfas'^uep , ^rontinùant à onûfître,'devi8niie'jpliis|grfand
/qub Dt-, >oti 'qdei' la "lumière' B soit plus ' intensie que ii'lti-
mière A. " ' .'" ' ' ' :•'•'. ....ir.',-! ^.i* .;-.
'•^'Lâ^Vàléut-'iJ" i^este' positive 'et moîtfdre que d^ c'est-à-dire
"qu'elfe iépdndloujouirs à uii. point compris entré A et Bl'*Miufe,
coùitae ?' est plu;? |;rand que «, il s'ensuit qùë «-j-p* est
plttft:gra,ad.qu,?! 2.« ^.et fRie,,par conséqueût, r^.M mamçfre
que Y ^^ ?^^ 2 f ^*^si x' est moindre que r , c*est-à-(iire
qflc'lé point Cl est alors plus près de la lumière A 4«é-tfe la ■kmiè*re'B,v • •'>.. > .^'^ .^ ,■ \ . •.♦^,. ... .. .-.,. ,v,.<\ j
Quant à la valeur*»?", elle devient tt^ôgative; et, j^nisqti'oîi^ a^ rè- .^àrdy^ coiini^ fliOHitivGa les^distancea comptées à drotte.da,poictt A, -o».4evra^ pour la généralité des força ulçs (H0>4 regai'der. aojaî^me Dégaii'veâ ceJies qui sont comptées à gauche. jàe<:e pojint. La yal^nr négative trouvée pour x" correspondra donc à un poijat. iC^v^si- .^lué,^^gavlche du^poi^t, lumineux, A qiji a la moindre. i^te^$ité, . ^t.a ^ne ^isi'ance.de.çe .point. d*autapt plu^^^rande que îa Jd^èrèijiGe absolue p—« sera plus petite. ' .'. /v., •[ /\'.
U4^rSi f.'oh <ai»«uiiiâain^enÂAtdécrc^i^ml!in)tensftté d)i^l&\lûtniè jusqu'à ce qu'on en fût revenu à l'hypothèse prr:«i, {on.vtfouvi^-
• n «MSGUS&ieN DES maBLRMBS DU SBCOl^DMDfiOHâ*^ . t ^Ml
m'iifùûvx' des valeurs négatives de plas «a (^ os grandes), iet enfionne valeur infinie qu'on devmit regarder* comme négatiKe, puisqu'elle serait la limite vers laquelle lend une quantité n^alivs, de plus en plus grande en valeur absolue. Ainsi, pour «c:i^^, la solution infinie répond à un point que Ton peut supposerplaeéi ibdifféremment à droite ou à gauche des deux lumières, ce qui doit être. ' . ^ -
Il iie faudrait pas en conclure que l'équation du second d'egréf'à, dans ce cas, trois racines, elle n'en a que deux ; mais la vâ!eli^ Infinie peut être affectée du signe + ou du ^igne -^ , èuiVaût (Ju'on la considère comme limite de quantités croissantes positivés, ou dé quantités croissantes en valeur absolue, ma*is liégatWés.
5**. Si l'on fait en même temps les deux hypothèses dcq+i^net rf=0 , cest-à-dire si l'on suppose que les deux lumières soient de même intensité, et placées en outre au même point Ai on trouve
^■=0 et x"=l . \: ;,
La première valeur donne le point A ; cela devait êtré^ pûisqiic le point Ç ,. qui est au milieu de AB pour «^:p , se confond avec A et B quand d est nul.
La seconde est indéterminée; et, en effet, en quelque p^l»tde la droite XY qu'on place alors le point éclairé» il recevra des deux points lumineux la même quantité de lumière.
6* Si» sans faire aucune hypothèse sur d , on failles deux suppositions ^=^0 et «=0 , on trouve pour a?' et x" deux valeurs indéterminées. Et en effet, si les deux lumières sotit éteiijtés, un point quelconque situé soit entre A et B , soit en deçà ou au delà, reçoit de chacun de ces points une quantité àé luniièfe nulle et par conséquent une quantité égale.
IjBl. Le lecteur pourra s'exercer sur les exemples qui suivenf :
L Partager le nombre a en deux parties telles que la somm âe Imrs racines carrées soit égale à un nombre b .
Il, Un voyageur a n kilomètres à faire ^ et marche d'une manière régulière. S'il faisait chaque jour a kilomètres de plus, il emplmraitàson voyage b jours de moins. Quelle serait alors la durée de son voyage ?
Ht. Trouver le côté de l'une des bases d'un tronc de pyramide à bases carrées, connaissant le côté de Vautre baÉe, la hauteur du tronc et son volume.
- IV; Partager a en deux parties telles que la somme de tems iubes soit égale fh h, ,, = .. . . a- ii|
"'ji ^'JY; ÛDeiij0ff'<le maximiiHii et UeiHi^niwpm (|iii peuTent $e r^:àpii3re ' ' <t ^ >. • ' : ' p^ierétiuaUoa^ Uu second U^ré. '''*'■■•■'• ',...■ ^ ,
182. Lorsqu'une expression algébrique contient une quànlitié variable, repr^eei^tée^pafr iwe Lettre, x.par exemple, elle prendi, en général, des valeurs diiïérentes lorsque Ton attribue à I» variabïé' i Ibutfes lés valeurs dom elle est siucepijbk. Mai^ il peutfarriver que la valeur qu'elle prend pour une certaine valeur PM^ tiiWktè dé la vari2lble,'pour a;:t=a , par exemple; sait.plos gr^inde que celles qu'elle prend pour des valeurs de a: trësip^ii di^ér^tf^ de a , soit en plus, soit en moins, par exemple x-^-â et x — ^. On dit alors que l'expression algébrique considérée devient un maximum pour x=a . '
Par exemple , l'expression
prend la valeur 1 quand on y^ fait j:i=2 ; tandis que pour x=i±^ , elle devient
'^àiitité moindre que 1 , si tT est fractionnaire» qael . q^e soix d'ailleurs son signe. L'expression considérée est donc un maximum pour X:±^i . . . . . ,
Il peut arriver, au contraire, que, pour une valeur particulière x=a de la variable, l'expression prenne une valeur plus petite que pour x=a-{-â ou pour x=^a — â . On dit alors que cette expression devient lin minimttm pour â:=:=a . ' '
îir Par e^enipliB l'expression
prend la valeur 4 quand on y fait a:=2 ; tandis que pour x=2dz^ , elle devient
quantité plus grande que 4 , quel que soit le signe dé ^ . L^QlXpression considérée est donc un minimum pour x^^i. .
Remarque. Une même expression algébrique peut être susceptible à la fois d'un maxiinum et d'un minimum. Ainsi l'expression
devient un maximum pour x=z6 , et un minimum pour ar=2 , ce qu'il serait facile de vérifier.
183. Toutes les fois que l'expression algébrique dont il s'agit se ^préBeote sous la forme d'an trinôme du second degr4 60 x,, ou.
pi US généralement, sous la forme dune fraclioD dont les deux termes sont, au plué, du ^feconddeferé en vT , on-peut déterminer son maximum ou son minimumî p^r des considérations tirées de la régQlq.lion d'une équation du, second degré. Cette détermination est J'pbjet du présent paragraphe. ' . .-. ...i ..;.>ioJ luu
Proposons-uous d'abord ce jjroblèmé trés-svittpte :• •:'''!»•:■'
Problème. Partager un. nombre donné a er^ deu^ jmrtie^dçt^t fé prùduit èoit unmaximum. , , . , . : /, ..,;. ,,.'.,
Appelons « Tune des parlies, l'autre sera a-mo; ; «ij^.eo \\mr manl y feur produit, on aura' - >. ... ..» , .;:^ . ,
; /. ^ . ' ' " né^xia—x)' :'" ''•'"■- ■■' ' = '" '' '-^^ On tire de celte équation : ... ; .- ,/ -i
Pour que le problème soit possible, il faut que x soit réel, ^ ce qui exige qu'on ait y<^ . La*plBs gi^née:vateui7«|tt'on:piii^e
attribuer à y est donc j- , auquel cas le radical clisp?,r^ît^ kQ^
• iT8ste ^^^2 •
Le maximum du produit y a donc lieu pour Ji^^^^ . * •'
Remarque. Ceci démontre que le produit dé deuôé nônibfeè, Hont la somme est constante^ est le plus grand possible quand ces deux nûlnbres^ sont égaux.: . ., j* ..,, : xvi^
184. Trouver le maxuhum ou le b^nimum du trinôme ax*-f- bx -f- c , pour des valetirs réelles de \,
1® Supposons d'abord a positif, etpçsons ' / i''
La condition pour que x soit réel (172) est
dou . y>~4r^ • :.. ,
La plus petite vêbleitr que pourra prendre y, c'estrà^dii^ l« mi-
Iffi fCQUATlO?» Dt ^* DEGRÉ. — MOGRESSIOPTS. — UNTARITHIIES :
nimam it y , sera donc
valeur à laquelle correspond
CMie valeur minîmnmde y sera positive, nulle on négative, ftaivantqoe les racines de l'équation
^ ax*+te+c=0
Mront imaginaires, réelles et égales, ou réelles et inégales (i 72) «
2* Supposons a négatif et égal à — a\ on pourra écrire
— flV+6x+c=y ,
ou aV— te — e=z — y .
La condition pour qne x soit réel sera
La plus grande valeur que pourra prendre y , c'est-à-dire le maiimnm de y , sera donc
b*+Ue 4<ic--6«
valeur qui correspond à
Cette valeur maiimum de y sera positive, nulle ou négative, selon que les racines de l'équation
ax*+te+c=0 ,
seront réelles et in^les, réelles et égales, on bien imaginaires.
Exemples. L Soit l'expression 3x* — Sx-f-O ; on trouvera
qu'elle a un minimum répondant à x=^ ; et ce minimum a pour
valeur
n. Soit l'expression 6-|-5x — 3x^ ; on trouvera qu'elle a un
maximum répondant à «a:=- ; et ce maximum a pour valeur
188. Trouver le maximum ou le mimtnff^, ^ /t'^^J^<^*^%îi ..;..,
pour des valeurs réelles de x. • '^> >■». ;:.it.^
Si Ton égale à y Texpression proposée, il en résultera une
équation du second degré en x ; et, en la résolvant, on obtiendra
Â,''p^ 9 étant de^ expreBMons algêbrrqiiesi qui: dépandeikt d»-
Posons y*4"P^4~î=^ ' ^^ soient y' et y" les deux racines de cette équation; ^bn a vlr (l?l) qtfe le premier memb^é^' pourra se mettre sous la farjuje . ;. ;; ,.| , . t.r. ., . . 1
Par suite, on pourra écrire :
1<* Supposons d'abord A positif. Si y' , et y" sont réels et que Ton ait y'<y" ; il faudra, pour que èô- soit réef, "q)ttë''l!ôfn' ait y<iy\ d'où, à plus forte raison, y^y" ; ou bien y^y" t d*où, à plus forte raison, y'>y' *
Jlry ai|ra.dQnfr»n4»MimmB y^=^y\ tX m nmviim y;^y'l ; et en substituant pour y ces vaieurs, on obtiendr^^ 1^ ,Vf^\çv^*3 correspondantes de a? . '
Si y'=y" ou si y' 'et y'* sbnt imaginaires, le trinôme y^-^px-^q, SGV3L un can?é parfait, ou la sotnme de deux» car»? ré&(178); il restera donc positif ppuf toutes les yaleurs.ré^l^es de y , donc a? demeurera réel. Dans ces deux cas, ir n'y a ni makiiiittmnî minimum,, puisque y , ou l-èipi^efeâlèftpropôsètei' peut prendre toutes les valeurs imaginables.
2** Supposons en second lieu A. négatif. Si y' et y" sont réels et qu'on ait y'<y\ il faudra pour que y soit réel que le produit .(jf—j'> (y— '^'') soit négaitif, ise, qui .eî^iga^que.^ floit compris entre y' et y\ Il y aura donc un minimum y=y' et un maximum y^^f ; et en mettant pour y ces valeurs oit obtiendra les valeurs correspondantes de x.
Si y'=^y\ la quantité sous le radical reste négative pour toutes
les valeurs dey, excepté pour y=y'; rîOx.flrfi^op f\rppofiè<^n;RfJïwJ.r) gJ donc que cette valeur, et il ii'v a ni maximum m minimum.
C'est ce qui af^Heu^ lort|ue' les\ coefficietts tf , fti^tr àlDtrt respectivement proportionnels aux coefficients a' , V , c' . ]>ff^fi,f ^ \\ si Ton s'aperçoit de cette proportionnalité, on reconnaît, sans calculs, que la valeur 4ef^.f6ti<i«dép?Adan|e de 3S,s . . v-MHp f.s,
On ne peut supposer les racines y' et y" imaginaires, car la quantité sous lé radical j^taot.alora, constamment n^f^U^Ke^^n^ineH' rait toujours imaginaire; l'expression proposée n'admettrait donc aucune valeur, ce qui serait absurde. ^ . / i : r m
3"" Il peut encore arriver que la quanti té fious le radical dans la valeur de x se réduise à un binôme du. prrtnier degré en y,
Si m éM positif,' on' devra avoi
wy+n>0 d'où yî>— - .
La valeur 2/===.— ^j^ sera do^P ujp miniiiiHiïi ;. et.Ui^'y'aur^ pas /.
de maximum.
Si m est négatif et égal à — m', on devra avoir
— w'y+n>0 d'où y<
La valeur y= — — sera donc un maximum; et il n'y aura pas
de minimum.
Si m=0 , il n'y aura ni maximum ni minimum.
Exemples. L Soit l'expression
La condition pour que la valeur de x tirée de cette relation soit réelle est •
y«10y+9>0 ou (y i)(y 9)>0 .
Il y a donc :
un maximum y=l , lequel répond à x=A .
et un minimum y=9 , lequel répond à x=il . *
H. Soit l'expression :
më«i)fes!K)fï Dks pfldBtiÈÉfe* W second bfecW:' ' ' '(67 /• ' ^
LacolMîéiôil'pimrqtie* gcJitréel est '' " ^'' ' . =
^n^y+Sy^+ix» ou . (y+l)(9--y)>0 . . :' • / Il yadbiic: \ ■ - i
un minimum u=: — ♦ , lequel tépond à a:=^r , ' ' et ôn maximiun yi=2 9 , lequel répond à x^ri^j . — »
