CHAPITRE VIT

Dt;S PROGRESSIONS.

§ I. Des progressions par dififërêtrcé. •

186. On nomme progression par différence on progression arithmétique, une suite de termes tels que cnaçuji surpe^sse le pr^édenti (ou en est surpassé) d'une quantité constante appelée raison. Pour écrire une semblable progression, on la fait précéder du signe -f , et Ton sépare les termes par un point. Ainsi :

t2. 5. 8. 41. 14. 17. 20. 28. 26. 29. etc. ^

e$t une progression par différence, dont la raison est 3. .

Cette progression est croissante. Si on l'écrivait dan^.uo ordre inverse^ elleser{iit décroissante. On peut considérer les progressions décroissantes comme des progressions dont la raison ^t négative, et adopter 'alors, pour définition générale^ que chaque terme est la somme algébrique du terme précédent et de la raison.

Il résulte delà nature même des progressions arithmétiques, <|ue chaque terme est moyen arithmétique entre celui qui le procède et celui qui le suit. Ainsi on a

5 2=8— 5 ; 8— 5=H— 8 ; 11—8=14—11 ; etc.

187. On peut calculer un terme de rang quelconque, connaissant le premier et la raison, sans qu'il soit nécessaire pour cela de former les termes intermédiaires. •'

Soient en effet a le premier terme et â la raison, le deuxième terme sera a-f-cT ; •

le troisième terme sera a-^-iâ ; le quatrième terme sera a-^-dâ ; .

le cinquième terme sera a^S^â ; et ainsi de suite.

On remarque que le coefficient de â est précisément le noBïère des termes qui précèdent celui qu'on veut former; en sorte qu'en

1SÉ& PAOGReSSIONS;

appelant / le terme de rang n , c'est- à-dire qui en a n — 1 avant lui, on aura

c'est-à-dire qu'un terme de rang quelconque est égal au premier augmenté d'autant de fois là raison quil y a de termes avant lui. Comme applicatioi» de cette formule, soit à résoudre le problème suivant :

I. Un ouvrier place cette année 200 fr. à la caisse d'épargne^ et se propose d*y ajouter l%^fr, chaque année; quelle ^era la sommeplacée au bout de 15 ans? (Abstraction faite des intérêts.)

I^a somme demandée est le seizième terme d'une progres^ion.p^r différence, dont le premier terme est 200 et dont là raison è.^1 125. En appelant x cette somme, on aura donc

II. Un charretier doit déposer 50 voitures de sable en des points espacés de 20"* en 20" sur une route; te point où it vient prendre le sable est situé sur la même route à 150" en arrière de celui où il doit déposer la première voiture ; quel chemin aura-t il à parcourir pour déposer la 50* voiture et revenir au point de dépdrt?

Pour déposer la première charretée et revenir au point de départ; il aura à parcourir deux fois 150", c'est-à-dire 300". Pour déposer la seconde et revenir, il devra parcourir 20" de plus en allant et 20" en revenant, c'est-à-dire 40™ de plus que pour la première. Pour déposer ia troisième et revenir, il devra parcoui^ir encore 40"de plus; et ainsi de suite. Les dislances successives à parcourir forment donc une progression arithmétique dont le premier termç est 300" et la raison 40" ; ainsi on aura pour la valeur du 50® terme a? . '

III. Trouver^ dans la série des nombres impairs^ 1,3,5, etc., celui qui occupe le n**"* rang.

Les nombres impairs forment une progression arithmétique dont le premier terme est 1 et la raison 2 ; en appelant N le nombre cherché, on aura donc

N=l+2(n— 1) ou N=2w— i.

188. La formule [1] peut servir à résoudre 4 problèmes différents, suivant que l'inconnue est â, /, n ou ^. Elle peut servir, par exemple, à traiter cette question :

Entre deux nambrcB donnés A et B insérer m moyens arithmétiqms^ c'est-à-dîre former une progression par diffôretice,

170 ÉQUATIONS DU 2^ DEGRÉ. — rROORKSSIONS. — LOGARITHMES :

dont A et B soient les termes cxlrèmeiS) el telle- qu'il, y ait m termes entre A et B.

L Pour cela on reràarque- qu'il y aur* en tout m*\-i termes, et que, par conséquent, en nommant ^ la raison inconnue, on aura

/ ; .. 'b^a+(«»+1)^, d'où cy^^\ ."..., .

p'fst-à-dire que pour obtenir la raison^ il faut diviser la différence dès deux nombres donne'spar le nombre des moyens à insérer.^ plus un. On obtiendra ensuite les moyens demandés en ajoutant successi ve- ÉBieiii à «Aies quantités J, 2(^ , 3^,, etc. ^ >

M^Par exempte, si on propose d*insérer 6 moyeas ont^e, ft. u

13 ,'6tiaura <^^^ ^ zzz- . Par conséquent, la t>rogréssioû

d^Qîaodée sera :

; v9.9f 10|.IO|.n|. Hf.42f.l3 .

' iOd; IMms taHt& 'progression par différetice^ la sotmw de deu^ termes également éloignés des extrêmes est égaiera la^.apmfiie d^$ extrêmes.

Soient en elïèt a et '/ leé termes extrêmeé, è la raison, T.Je ternjp, qui ef\ a n avant lui et T' celu| qui en a n après lui. Oh aura

'ï—a + uù et /=T:-f w<r .

Retranchant ces égalités membre à membre, il vient

' - T-:i='a-^T' ', d'où T-f-T'^a+Z • - ^' -

'.ce qu'jr fallait démontrer.

' 190. Où peut se proposer de calculer la somme des tentées cl'uoe firbgrèsâîori pardififéreïice.

... Pour ceU^ soit .-f^a.ft.c.d g.h..k.l , ; /

la progression proposée. En désignant par S la somme, des : termes on aura indifféremment

ou S=/+A-j-*+ff+ +^+^+*+^ ' ' ' '

en écrivant les termes dans un ordre inverse. -

Or, on remarque que les termes placés Tun au-dessous de Tautre

dans ceçideuxvsomme^ sont précisément lestermqH.ég^^^'^^^ce

.ides, extrômea» Si doBC^ on ajoute ces d^ux ég^liife lïîemcjre à

inembïia, là. second membre d^e l'égg^lité résultapLtej éqiijvaudi^a^- pn

vertu de la proposition démontrée au numéro précédent, à autant