Généralement, à Taide des deux formules
l=a + in-^)i et S=^ ,
qui contiennent 5 quantités, a , ^ , » , / , S , on ^ peut résoudre tous les problèmes dans lesquels, 3 de ces quantités étant données, on demande les 2 autres.
Soit, pour exemple, à résoudre ce problème :
Combien faudra-t-il d'années pour s'acquitter d'une dette de 7700' , en donnant 500' la première année^ et successivement 200' de plus chacune des années suivantes? . i
Les sommes payées chaque année forment une progression par différence dont le premier terme est 500' , et la raison 200' ; c'est-à-dire qu on a ici a=500', ^=200' et S=7700' . Les inconnues sont / et n . Mettant pour a , «T et S leurs valeurs dans les deux formules ci-dessus, on obtient
/=500+(n— 1)200 et 7700=^^5^^^ .
En mettant pour / son expression dans la seconde formule, on obtient une équation en n qui, simplifiée, devient
n*+4n=77 , d'où n=— 2±:9 .
,i/i!ii:i/ I
DB»^ PROGRESSION». ' ' -)-... ffy
La première valeur w=7 convient seule. II faudra donc 7 aïi»nées. .,
On trouve ensuite
pour la somme payée la 7« année. • ' '
§ II. Des progressions par quotient.
193. On nomme progression par quotient on progression fiéûmétrique y une suite de termes tels que chacun est épi a^i précédent multiplié par une quantité constante appelée raison. Pour écrire une seniblable progression, on la fait précéder du signe vr. , ^t Ton sépare les termes par deux points. Ainsi :
^ 5 : 10 : 20 : 40 : 80 : 160 : 320 : 640 : etc.
èi^t tiiie pnogressio» par quotient, dotit la raison edt '2.' '^
Une progression par quotient est croissante lorsque la raison esft
plus grande que Tunité; elle est décroissante dans le cas contraire.
Si la ralé[oii'était Tunité, la progression se réduirait à une suite de
termes égaux. . .: • ;
Il résulte de la nature môme des progressions géométriques, que
chaque terme est moyen géométrique entre celui qui le précède et
celui qui le suit. Ainsi on a
'è:ÏO=ip,:âO;. 10:20=20:40; 20:40=40:80; etc.
194. On peut calculer un terme de rang quelconque, connaissant le premier et la raison. Car, soient a le premier terme et 5f là raison ;
Le deuxième terme
sera
aq ;
le treisîAme
aq^ ;
•le quatrième
aq^ ;
le cinquième
aq' ;
et ainsi de suite..
On remarque, que l'exposant de q est précisément le nombre des tenues qui précéder^; celui que Ton veut former; en sorte qu'en appelant ,/ le terme de rang » ^ ou qui en a n-n-l avant lui, 6n aura , .
c'est-à-dire qu'im tenue def rang quelconque est égal au premier
1 174 ÉQUATIONS DU 2* UBHhé. -^ PAOGUGSSIONS. — LOGARITHMES :
mufiifHiépar la ramn élevée aune piii^êance.marqftéépark nwibre éeiiertAe» qui précèdent. .
Si,> par exemple, le premier tenue e»4 7 et ta ra^^oh 3 , on aura pour le 10* terme
19». Là formulé {Ij peut sei-Vir h résoiidi^c ce problème : Entre deux nombres k et B ^ insérer m moyens géométriques : c'est-à-dire former une progression par quotient, dont À etB soient les extrêmes , et telle q\Ji"\\ y ait m ^teroies entre ' A et B .
Le nombre total des termes devant être m-pî, on âevra avoir, en appelant q la raison.
B=:Aî~"' d*où q=
c'est-à-dire que pour (^tenir la raison, il faut diviser le second nombre par le premier^. et extrait;e du quotieut une racine dont xf indice estlen(\mbre des moyens à insérer^ plus un. ^ .t.,
On obtiendra ensuite les moyens demandés en multipliant suc- . cèsstVQmeiit A par 9 , par f'^ par g^'-, eto; i' ■ ••
Par exemple, si on propose d'insérer 7 moyenfe^îBnlre-i? et 1792, on divisera le second nombre par le premier, ce qui donne pour quotient 256; et Ton ext(|ir£r la racine 8^ de ce quotient, ce qui donne 2 pour la raison cherchée. On formf^ra ^a^j^i^ les moyens demandés en multipliant 7 par 2 , puis le produit par 2 , et aiosi de suite; ce qui donne pour 1$^ progrfs^îpn demandée :
196. On peut calculer la somme des termes d'une progression par quotient.
Sôit . ^a:b:c:d:...:k:l
la progression proposée. Désignons la raison par q \ et la somme des termes par S • On aura d'abord
b=aq ; c=bq : d=zcq ; Iz^kq . ^
Si Ton ajoute ces égalités membre à membre» il viendra
d'où S=2^
par quotient, il faut multiplier le derkk^ terme p»P -te t«/w>», en 'î" ràiranckêf^ hjtrhmiêr tèrme^mSivisetMreste pê^' là raison diminuée d'une unité. ' ' "I » - » i j , .
Exemple : S<>iE:t;d pro^e»fiioB: I <: T «
197. bi I on met pour / sa valeur aif"* , la f(jjrmulû qui donne S.preijid la forme, . ' , '
On aurait pu é^atjfir cette forinule drteclètaent, car on a
Or, la quantité enlre parenlhèsefir qst Iç qa«iiant!deur/"^^i)par
ç-^li(48)i.on!paitdoftGiéacira ., ■ .. . ^ ... / i î
Vcbmriié.ci-déàsus. L ' ^ ' '' '*
' i^'198.4QômirieâfplioAl'rônÛe cette formulé, «n petit se^prdjîDscr les problèmes suivants: ■ ' '- ''
I. U^'i^u^ur4oiiblei soumise cl^(^qmrfm qu^^ Si sa mie primitive était de Ô',2o et quil perdit 20 fois de suite y quelle
' -h-Btm^ perte totùltf - - • • ■ » ' : •"> «>^•l
Ses pertes successives forment une progression parq^titientdont le premier terme €$t:0'.25\et dont Ja; raison est 2 . ;0a trouvera d'fibord pour le .20Merme
' /=0',a5X2l'^iru43èO72^-. • ,■ ^.\^^.'>u
On aura çtisuile^ \ • v^ .;^ ^^
II. f/n maquignon interrojjé sur le prix d'un cheval répond : Les fers de mon cheval sont fixés' à l'aide de 20 clous ; si vous me donniez 1 centime pour le premier:, 2 centimes pour le secçnd, 4 pour le troisième et ainsi de suite^ toujours en doublant^ je
Alg. s. 12
176 ÉQUATIONS DU 2* DEGRÉ. — PBCKiaESSiONS. — LOGARITHMES :
VOUS dofinerais k cheval et iSb^il^ . On demande, £oniibmHI estimait.
Il faut d'abord cherchejr le nombre de centimes qu'il faudrait donner pour le 20* clou : . Ce nombre est le 20* terme d'une progression par quotient dont le premier terme est 1 et la raison 2 , on a donc, en le désignant par / ,
Le nombre tqt^l S de centimes payés, pour les 20 cIqus serait donc
I ! .S=^^^2gX?zzi io48575» ou 10485^75 ,
Si de ce nombre on retranche 485',75 , il reste 10000^ .
.189. Lorçqu'pQ prolonge indéfiniment une progression géoflaé- , trique décroissante, la somme de ses termes s'approche sans cesse ^ d'une, limite finie qu'elle ne peut atteindre, mais dont elle peut
différa aussi peu que. l'on veut» si l'on prend un nomjjre suJpSsanl
de termes.
Supposons, en effet, que q soit moindre que 1 . La formule [2] pourra s'écrire , en changeant les signes des deiix termes du second membre, ,
<^ g— gg** "
La première partie du second membre est une quantité indépendante du nombre des termes; la seconde partie contient un fac-
t^ur j^ qui ne dépend pas non plus du nombre desitem^s.
Mais le facteur q"" est d'autant plus petit* que la progression est prolongée plus loin ; car 1^ puissances successives d'une fraction vont s^ns cesse en diminuant.
Nous allons démontrer que l'on peut toujours prolonger la progression assez loin pour que g** devienne plus petit que toute quantité donnée.
En effet, q étant moindre que 1 peut se mettre sous la forme t , k étant plus grand que l . Il suffit donc de démontrer que k^ peut devenir aussi grand c^u'on le voudra en prenant n suffisamment grand.
'■' nES PROGRESSIONS. ' *»177
0^, A* êtaftt plus grand que 1 , on peut écrire : ^ ^^
d'où, en ajoutant membre à membre, ce qui est permis, »
Mais le premier membre de cette inégalité est le quotient de A" — I par k—l (48) ; on a donc
jEi>^ ' d'où fc«>n(A:— l) + l .
Or, quelque petit que soit k — 1 , on peut toujours {)réndîe n assez grand pour que le second membre soit plus grand que to^ite quantité donnée; donc, a fortiori, on pourra prendre n asstez grand pour que &" 'Soit plus grand que toute quantité donnée. " On en conclut que l'on peut prendre n assez grand pour que
~ ,. ou ce qui revient au môme ç" , soit plus petit que ioute
quantité donnée.
Il suit de là que la seconde partie de la valeur de S pourra être rendue aussi petite qu'on voudra en prenant un nombre suffisant de termes; et que, par conséquent, celte valeur tend sans cesse vers une limite fixe qui est
Celle limite est ce qu'on nomme quelquefois la somme des termes de la progression prolongée à l* infini.
Ainsi, la limite de la somme des termes d'une progression géométrique décroissante est égale an premier terme., divisé par l'urUté moins la raison.
Par exemple, la progression
^Ir^i^r^retc.
dont; la raisoi^ est 7 , a pQur limite
r ou r — 7, c'est-à-dire 2 .
I7Ç ÉQUATIONS DU ^^ DEGRÉ. — PaOG^ÇSSIÇNS . — LOGARITHMES
La progression
dont la raison est 7 s a pour iixf ife
ï" ou J37 , c'est-à-dire ^ •
La progression ff 7 : 6 : etc. , dont la 'raison est 7 , a pour limite
7 49 . . . » lOL'
, 1 OU :: — r , c'est-à-dire 49 .
200. Comme application de la formule t3], oii peut* convertir en fraction ordinaire une fraction décimale périodique si^^xlç, > , ., i
Soit ta fraction périodique simple 0,PPP.... , dans, laqHelle P représente un nombre p de chiffres. On pourra écrire jce^e,fc|i^çi tion sous la forme ^.î....,Ar;
On voit que celte suite forme la somme des termes d^urt'e rirogression géométrique décroissante, dont le premier terme ^»t.:*î^
et dont la raison est ttt . A mesure qu'on prendra un plusgrâna
nombre de périodes, on approchera donc de plus en plus d'ilnérli-j mite finie, qui est ce qu'on appelle la valeur de la fraction îj^ijîodique. Cède limite, d'après ce qu'on vient de voir, est / ^
iOP P ; <
iOP
Or, ÏQP — 1 est un nombre composé du chiffre 9, répétéijsi fois ; par conséquent la valeur de la fraction périodique est égale à une fraction ordinaire quia pour numérateur la période^ et ponréénO" minateur un nombre composé d'autant de 9 qu'il y a de chiffrée dark cette période. .»!•
C'est la règle donnée en arithmétique. " " *'!
DES LOGARITHMES. , r . . j j^
