Considérons les deux progressions

, r , 2r , 3r , 4r , nr [1]

dont la première ^tuneprogression arithmétique commençant paff 'Jérà\èi laisecoiïdeest une progression géométriquecommençant par Ytmté.h&s termes de la première progressioa sont dits les^feïjwH rithmes des termes qui leur correspondent dans la seconde. : i Ainsi r est le logarithme de q , 2r est le logarithme de 5f* , .... , nr est le logarithme de g".

.^J(l est .importar^t dç remarquer que l'exposant de g, dans un tefme quelcoriqùé'de la progression géométrique, est égal aii multiplicateur de- r , dan$ le terme correspondant de la progressioB arithmétique.

,202.,0rd,inairement on suppose q plus grand que Tunîté; et ron peut poser 5^=1 -j-a.

On' peut toujours prendre a assez petit pour que la différence entre deux termes consécutifs quelconques de Id progression géométrique soit plus petite que toute quantité donnée.

Soit, en effet, d la différence entre deux termes consécutifs g" et g»+* de la progression géométrique ; on aura :

ou; ■'-'• '• ■ ■i*=z:(I +«)'»« . : :;; *^

-ouOrvSi ron fait décroître a indéfiniment, (!+«)** tendi*a vers 4^\0tt 1 ; et çc tendra vers zéro; le produit (l-^-a)»»» teindra donc lui-même vers zéro, et pourra par conséquent êtrerendu^lus petit que toute quantité donnée.

203, Étant donné un nombre P ^entier ou fractionnaire^ mais plus grand que 1, on pourra toujours trouver dans la progression géométrique un terme (f qui diffère de P de moins d'une quantité donnée «T.

lii& 'hyUATlONS DU 2* DEGRÉ. •*- PROGRESeiOm. — LOGARITHMES l

En premier {ieu, q étant plus (|;raiid que 1 , onaivu (IM)/ qu'on peut toujours prendre n assez grand pour que g" soit plus grand que tout nombre donné. Il suit de là qu'on pourra toujours trouver dans la progression géométrique un terme plus grand que P. Par • conséquent P tombera entre deux termes consécutifs qP et grH-* .

La différence entre P et qP sera moindre que la différence entre g^* et ^; c'est-à-dire qu'on aura :

P—q^<q^(q—l) , ou ' P — 5fP<(l+a)P« . .

Mais, si n désigne le rang du dernier terme de la progression, on a vu q^u'on pouvait prendre a assez petit pour qu'on eût

A plus forte raison aura-t-on

puisque p est moindre que n . Donc enlin

V—qP<â , ' ^ ,

c'est-à-dire que le terme q^ diffère de P de moins de ^ . i .^.^

204. Il suit de laque pr , qui est le logarithme de q^ , peut, être pris pour le logarithme de P. Ainsi, tout nombre entier ou, fractionnaire, mais plus grand que 1, peut être considéré comme! ayant pour logarithme un terme de la progression arithmétique. L'erreur commise sur le nombre donné sera moindre que la quantité. <r .

208. On peut dès lors concevoir la possibilité de dresser une' table à deux colonnes, qui donne, en regard de tous les nombres entiers, depuis 1 jusqu'à un nombre N , les logarithmes de ces nombres.

Pour cela on se donnera la limite ^ de l'erreur que Ton veut commettre sur les nombres. On déterminera ensuite a par !a relation

Puis on formera la progression 1, 1+a, (i+a)\ (l4-«)^"-et ainsi de suite, jusqu'à ce qu'on parvienne à deux termes consécutifs (I -(-a)" et (i--|-a)"+* qui comprennent entre eux le nombre N , ce qui finira toujours par arriver (199).

On aura alors (1^«)«<N . [^

MdHipliam mcmbref à membre les ioégalités [1] ^ [2],» onobti^f t

Or, ie premier membre de cette dernière inégalité est la diffé-rence entre les deux derniers termes • (!*-{-«)" et (14-*)'''^ de la progression ; donc la différence entre deux termes consécutif^ quelconques de cette progression sera moindre que ^ (203),

Cela posé, on se donnera arbitrairement la raison r de la pr-Q-n pression arithmétique; et Ton calculera successivement ses termes, , r , 2r , 3r ,.... jusqu'à nr et (n-^^)r. On prendra enlin pour les logarithmes des nombres consécutifs 1,2, 3 .... N, les logarithmes des termes de la progression géométrique qui approchent le plus de ces nombres. On aura ainsi les éléments de la table qu'il s'agissait de former.

Une table pareille est ce que Ton appelle une table de logarithmes. Elle est, comme on va le voir, d'un grand secours pour abréger Ifes calculs, et môme pour rendre praticables des opérations qui ne le seraient pas sans cela. Ces avantages résultent des propriétés des logarithmes que nous allons faire connaître.

206. L Le logarithme duproduit de plusieurs nombres plus grands que i est égal à ia sommé des logarithmes de oes^nombr^s..

Considérons d'abord un produit de deux facteurs P et Q . Ces nombres étant plus grands que 1 , peuvent être remplaoés par deux termes (l-f-a/ et (l+«)^ de la progression géométrique, qui en diffèrent de moins de telle quantité ^ qu'on peut s'être assignée à l'avance. Leur produit sera donc (l+a)'^^'. Orles logarithmes dès deux facteurs sont pr e% qr, et leur somme' pr-^-qr ou (p+?)r est précisément le logarithme du produit. On peut donc écrire : , ^ ^

logPQ=logP+logQ , '^

en indiquant en général par les lettres log. mises devant un nombre, le logarithme de ce nombre. ' '

Le principe s'étend ensuite facilement à un produit d'autant de facteurs qu'on voudra, pourvu que chacun de ces facteurs soit pitis grand que l'unité. *

' Soient, par exemple, les quatre facteurs a , 6 , , rf , on aura successivement :

\ogabcd=^\oga-\-\ogbcd <,' \ogbcd=^logb'^logcd , •

-lOgjtfdcrrlogC + logrf '. .

Ajoutant membre à membre, et suppritnant les termes log ôcrf et

182Î ÉkJt'ATlONS DU 2^ DEGRÉ. — îWlOûUBSSIONS. — LOGARITHMES l

log £«^^<()ni«< se40outoDt<ator9 d^ns l^a deui;. men^bres, on x)bt^t: \ogabcd:=\oga-\-\ogb'^\ogC'\-\6gd .

II. Le logarithme du quotient de deux nombres plus grands que i est égal au logarithme du dividmde moi\is le logarithme du diviseur. (On suppose le dividende plus grand que le diviseur.)

Soienl, en effet, a le dividende, b le diviseur, et q le quotient; on aura, par la définition de la division,

Dono-i. .ni .1 . { . . '. :loga=::logèg: , . ■

ou, puisque 6 et 9 sont chacun plus grands que l'unité,

"I ' '' ' ' • 'logfl=log6-f Jog5^ , d'où!. j .: .. , log'4=loga — log* , '

ou log ^ = log a — log 6 ,

ce qu'il s'agissait de démontrer.

IlL Le logarithme d\ine puissance d'un nombre plus grand que i est c^lrVàti logarithme de "ce nonibre, multiplia par r exposant de la puisMiV '^'l' -■"''''"■ '"i M • . ^ «1 : ' •, .

Soit, par exemple, ^ , , ^. . ,, .

' b=za^ ,

onptiÀîfWié»ii*e^6±:*io.'/^.À:'a.d. ' / " ' " ' '

Mais a étant plus gt^rid que i , il en'cst tfe mèwe de b\ on a donc, en vertu du principe I,

log6=loga+loga+loga+logrt+loga ,

''•i-i J'-î '^- '■''-' ■ tog'6 = 5loga , ■ ■ ce ^Jïl'flfetriôfttfè? làii^rdpô^itiôn.' ' •

iy.j,.LçJpgm^hm^,d\une racine d'un nombre plus grand que^ i, esf éga{a^yf(^f^çiptfi^me. 40 ce, nombre divisé par rindice de Ifi racine.

R,Q^arguQa?,,d>bqrd, que. la racine d'un non^bre plus granfi que. ff e^f ^Up-méme plus grande que 1 ; car, si elle ét^il égale k rî^ii,i^',,ei» Vt^.l^YiânUune piuîssunce marquée par l'indice de la racine, on obtiendrait l'unité ; et si elle était moindre que l'unité^ en l'^ey^iit ^.pçjtte .ipa^piç puissance , on obtiendrait une quantité moindre qiie Tunité.

Soi^!,,^QT^ç> .pç^r ç^emi^e, . . ; , . .

on efi %|^V;r?i? ^r^ii'de Jj^défiijiitîoji même, de 1^, racine, . . .:

et, paf conséquent^ en vertH du principe. prét5édent^'etaltenKÎrt^(jiie :.»i b est plus grand que 1 ,

1 51ogi = loga , . ^ Ij

l0gA = -f- , : . , , . :,

ce qu'il s'agissait de démontrer. . . . ,. i . ,,

207. Nous avons supposé jusqu'ici que les nombres considérés étaient tous plus grands que 1 ; mais on peut étendre les mêmes* M règles aux fractions. • .^ ... ;. , ^ ..

Considérons une fraction quelconque ^ ; multiplions-la par

un nombre N plus grand que 6, et soit P te produit, qui sera- ! plus grand que l'unité. On aura

et, en vertu des. règles I et U éts^blies au n%pr^^4eut, ^\ apph; .. cables ici, puisque P, N, a et 6 sont plus grands que l'un^ité, ^

logP=:logN + loga — logé . ' ' ' '

On voit que la règle I se trouvera étendue au cas d'un multiplicateur pltts petit que l'unité si Ton regarde

loga— logfi ', ' ' "

comme le logarithme de la fraction ^ ; c'est-à-dire si Ton applique au quotient de a par b la règle 11^ qui n'avait ^tèé);ahliç, , que poijr le c^s où a surpassait b .

Mais, b étant plus grand qtte a , !og 6 est plus grand -qu^' log a, et Tèxpressîon' Moga— logfc est négative et revient a — (logfr-^logfl). Ainsi, le logarithme d'une quantité moindre que' l'unité est négatif; et la règle I pourra être étendue auiquah- ' ' tités fractionnaires, pourvu qu*on entende par l'addition des loga- ' rithmes des facteurs une addition algébrique.

On étendrait de même le principe I au das où les deux facteùt^ ' seraient moindres que l'unité. ......

Le principe I se trouvant établi pour deux facteurs quelcbnt[uîes,'" plus grands ou plus petits que 1 , on retendrait comme plus haut (206) au cas d'un produit d'autant de facteurs qu'on voudra,

Les principes II, III et IV s'en déduiraient ensuite comme' èSi ' n^ 206.

léf^ ÉQUATIONS DU 2' DEGRÉ. — PROGRESSIONS. — LOGARITHMES :

On peut donc dire d'une manière générale :

I. Lé logarithme d* un produit est égal à la somme des logarithmes éé' ses-facteurs.

II. Le logarithme d'un quotient est égafd la différence entre le logarithme du dividende et le logarithme du diviseur.

III. Le logarithme d* une puissance d'une quantité est égal au logarithme de cette quantité multiplié par Vexposant de la puissance,

^ly. Le logarithme d'une racine d'une quantitéest égal au logarithme dé cette quantité divisé par V indice de ta racine,

'En vertu deces principes, l'usage d'une table de logarithmes permet de ramener la multiplication à une addition, la division à une soustraction, la formation d'une puissance à une multiplication, e6t'exti^4iclion d'une radne ùune division. Nous verrous bienUlt les applications principales de ce mode de calcul.

208. On a vu (205) qu'en se donnant la limite d'une table de logarithmes et le degré d'approximation qu'on vent atteindre, on peut déterminer îa raiison *-f a de la progression: géométrique, et le nombre n de ses termes; mais la raison r.de la. progression arithmétique demeure arbitraire. Il y a donc une infinité de systèmes de logarithmes. ' ' -

On pose ordinairement * '

et le rapport m est ce que l'on appelle le module du syst^made logarithme>.

La 6fi»e d'un système de logarithmes est le nombre qui, dans ce système, a pour logarithme l'unité. En appelant h cette hase, oji a donc à là fois \ .>

6=(l-^-a)* etaTr:=l'ou xmoL^=\ ,

d'où h^^{\'^«)'^^ .^

^ I^ans tout. système de logarithmes,, le logapithme de l'unité est zéro, et le logarithme de la base est 1. Si, comme cela a lieu d'ordinaire, a est positif et que, par conséquent, la raison de la progression géométrique soit plus grande que 1 , les logarithmes des nombres pins grands que 1 sont positifs et d'autant pliK grands que ces nombres sont plus grands ; le logarithme de^.l'.iDiiDi positif est l'infini positif. Les logarithmes des nombres moindres que 1 sont négatifs, ,et d'autant plus grands en valeur absolue, qi^e ces nombres sont plus petits ; le logarithme de zéro est l'iafini négatif.. ... ., . V. . . \ \\. , ■■

209. Le système de logarithmes le plus usité est celui doiîtlia

base est 10 . On donne, aïjx logari)Lbmes (Je ce système, lepom ^e lo0àthfa^v,utga%rej^.jh ont été cî^lculés, par d^s paéthodes qi^i ne peuvent être indiquées ici, sous forme décimale et à moins d une dej»ir*uBUè.<}u 7® ordre. Ik se composent d^une partie entière qu'on appelle la caractéristique^ et d'une partie décimale formée de 7 chiffres. ,.

Les logarithmes des nombres plus grands que 1 sont positifs, ainsi qu'on l'a vu plus haut.

Le logarithme dum puissance quelconque de 10 est t exposant même de cette puissance. Car on a, en vertu du principe IV du n^206.

Iogl0»=nlogl0 .

Or, puisque la base eet 10 , le logarithme de tO est 1 ; il reste donc

loglO"=n ;

ainsi les nombres : .

10 , 100 , 1000 , 10000 , 400000 , etc.

ont respectivement pour logarithmes

1,2,3,4,5, etc.

Les logarithmes des quantités moindres que 1 sont négatifs ; mais ces derniers ne figurent point dans les tables ; on en verra bientôt la raison.

Au lieu d'employer des logarilhfties entièrement négatifs, on préfère employer des logarithmes dont la caractéristique seule. est négati're ; ôes logarithmes se convertissent facilementl^s ansdans lesautreè. • ^

Soit, par exemple, un logarithme entièrement négatif

Ce logarithme revient à

Si on y ajoute + * et —1 , ce qui ne changera [ias sa valeur, ott pourra Técrire

ou —3+0,2635492 , ou enfin 3,2635492 .

On met ainsi le signe — au-dessus de la caractéristique pour indiquer qu'il ne porte que sur elle et n'affecte pas la partie décimale.

Pour retrancher 0,7363508 de 1 , on sait qu'il n'y a qu'à retrancher le premier chiffre significatif à droite de 10 , et tous les autres de 9 . On voit donc que : pour convertir un logarithme, ^n^

fièrement ^9Çtif. ^^. t<w logarithme dpnt la çaract&istique seule soit négative, Ûpm^ augmentée' U valeur ^absMue'^d^ in mhaihéristique d'une unitéiimoUnê'de'Mgne — au-MstàM.ûÈ simàtraiw^chàque dédmaie de 9 ^^^ f^ M^f^f: ^ gauche idroffe, .j^auffff, ^4errf,ift:f^ décimale significative aiie l oh soustrait de 10 *. ♦

Ainsi —1,7398405; — O.Ol67739; — ^,86o4231 j, reviennent à

Réciproquement : pour convertir un logarithme^ dont lac^fi^çffa ristique seule est négative, en un logarithme entièrement négatif, u fanX\^s^K^iminmr^ik vàhur^abêotm^^ ^ U\f!àràetéristi^ sA'miô' ànUé, ;^i?Mr»* /^'%tié 44. ^ ifev^Mi^ s'^i^l^ s0é9tr9ire4ihàçHe\âédiimte )d»'^\\^^é9i allant de gauche à droite, sauf la dernière décimah' signifècc^

-"^^iOÂ-^^peai Tepneiidre, oooiiiie'exlenpleSiieè'ilogeiPitiiimè^ ëti^to^'c^

210. Dans le système dont la base est jlQ.fi.,)^ îJ , .,in,ji- ijj .i , ^>iS}Tf^ (jfi ^r^ffmlieo^ qup^^.m^^^

<M.|iii'»-.) j>j -i^. .|0f pXitOV'^niognHlrtmilogèOlW-ij,::»,'! a ^ïii^<niH

çttBt^idine (pseile^iogiirUhiifee de n;Me8tiaagniefiitèda iWHaitee^en^i tier m ; la partie- dédui^te est doii6 niai nitaia; ilt^cu^aeti^Fiétifiiè sBuleîffichbi^.etcohlient mi unités» dei'plus|.'i';.;'^ i . ) -^li •) . Par >ex6iitplei, le nombre <^ ayant poàr kïgaritbtiie OjâOlOSpOg

^.x.vu. •^-fei6gà^îthm'é-(ïe'"^' :^20-^éerà ligOI^O^OO'";^'^^'"'''^^ "*='

le logarithme aé " ^^^200\'\l X^QÏW V"'} ' " " ' ''^^l'''^'^^"ïè^6gdWtKiiïedte ^ iOOO ^ "^'X^OIOSOG' v ' "' ^ .

le logarithme de 20000 4\30riO300'V ^"' '^■^^

él^iai2i6i\d<^iSu%te.-^'> "«^ A ■'•»'' "^^ •'^^^'''■' ^^'v.'"' ''''^' "'-^vm^m v&w w, -> vA 11

^fM'M'fif Mftftfi; l§ JiÇ&^pitl^pa^ 4a. « iÇ^t. silinpiaipeyftt (;â«ffi6|9l& décimale ne changera pas.

DES LOGARITUUES. {87

Ainsi le logarithme de 2 étant 0,30|0300 ,

» Itflogajriltaanelfe Ov02 ^v-2,30«0300H *^^^ '^^'^ ^^

etamsidesuile. MnMnn./rn

211. La'O^rtkicitariàtiqaeclatlQ^ilftnie d'ua'A)9UL6»^jkeut s'obtenir sans le secours des tables, et il est important de s'exercer à, la

s^LNla (Uir'licl^>(49(i0 dii^/(^^i(Mid tf.'viai>n<M»(r<f ififct«»a/^iu

fm\ifif^i^8^u1%,. ^ 'Av^\< \<\^ «.A \s'v./. .-.^-.'.v'» V *^'u\'^ sV \sv\A\u &)it, par exemple, le nombre 2369,7^1 Jcevnombre^iiyan^ 4ichiffre$ à l&i$Qrli^aiUi4r&, ^ç«ilx>gatrîidime,dabft pqor eapcfctâdslique 3 . Car, le nombre propcTsé est compris entre lOûO-^eb lûOOO, son logarithme est donc compris entre 3 et 4,: sa.ijaractéristiaueestdona; ' "' '^ ; ^ 1:*^^. m. i.-/^ ,1 .n.(î Ifl^

"GéaêVatak^^^^éUWôsdhs^^^ '^ rMV\ie

etftim^lë^tfôni^Bfe àMMI Vèrà tlMpHs eHére^O^^^^éî (O'J^ logarithme sera donc compris entre le logarithme de Itff^* '^'ui^ est précisément m—l , et le logarithme de l'0^'(iitï''c!si^4w. Puisqae le logaritHtio duc nombre dét^hhat pro[)osé est compris entre m — 1 et m, il se çoipposj^^jde ^— r* unités et d*uijÇj partie décimale. Sa caractéristique est donc wi — 1 , et se compose p&FCOflbéG^ntd^ftHtaQftidimitls qta'il y )a.de 4hiffpefi[^ fadin^taiiy' dftD$la;par>tfle>eiiftièrQ]d4iindmbrel déeim.ai<>dodiié i > > u\ loii

Cette règle s'appliqua {aiilea^ oui ila> partie» déoimailjçddiDombre: pttii|tôlêiiSt<liiiAiily û'efitHà'^diirf m cas ^d lé jiombile|itqposéj€«t 'entier. La caract^i^tffmf, ii^ log^ai^itfyme d'un, ^pofki^^r^tkfp 4p^c autant tunités çwô c^ ^pi^l^^fy -M^ cUffiç^y moinsjt^n^] i,, ., ,j ;^|

Ainsi le noHjj^rjai 31*^0752 ^y^^^ 8 çî^Urps^vM C^r2\çtéristique deson logaritH»^'^^^..;':^;. 1,^001 .i. vrlii- : a vA

IL La caractéristique du logarithme d'une fraction'ié»m!ah^estnt% gative^ et égale au nombre qui exprime le rang 'du^fHâmieiifckifffé^i' gnificatif après la virgule.

Soit, par exemple, la ^fractietl- 0,QQ88B(7. En transportant la virgule après le chiffre 5 , ce qui donne 5,397, on multiplie pttt^ifO^ bW^VO^^'-^'ià iJarti# d4fciAàli'^d«-'li)gâHtliiile é^Mmé^ donc pas, et la caractéristique seule augmente de 3 unités. Sbi^ W^^ l^nlÈr^%^7 'a*ri^' éfefèifiiV^H^lifï^ -^Wffi^tf 'fel«^ t)*ttife%n;

168 ÉQUATIONS DU 2^ DEGRÉ. — PftOtiHESSIONS. — « LOGARITHMES :

tière, la caractéristique de son logarithme est ^^a. Celle de la fràètion proposée quia 3 unités de moins sera donc 3 .

Généralement : supposons que le premier chiffre significatif s^il le !»**■" après la virgule. Transportons la virgule après ce premier chiffre «ignificatif, ce qui revient à multiplier la fraictton^)roposée par 10"* ; la partie décimale de son logarithme n'aura pas changd; la caractéristique seule aura augmenté de m unités. Mais fe nombre décimal ainri obtenu ayant un chiffre à la partie entière, la caractéristique de son logarithme sera zéro. Celle delà rractio^ proposée, qui a m unités de moins, sera donc m .

Si Ton faisait usage d'un logarithme entièrement négatif, lacaractérîstique aurait une unité demoins(2Q9), et serait par conséquent égale au nombre des zéros compris entre la virgule et le premier chiffre significatif. li. :

Remarque. Réciproquement : si un logarithme est positif e,l^ m unités à sa caractéristique, ce logarithme est celui d'un nombre pfès grand que 1 > et qui, mi? sous forme décimalq, a m-f-f ^liîî- . Ires à la partie entière. / ... .s,

Si ua logarithme, a une ■ caracté^-jstique seules négatiye.w^ „ .il appartient à une fraction décimale dont le premjex.^ûiTfie significatif occupe le w**"* rang après la vij:gule» . i •- » 1

Si un logarithme entièrement négatif a m unités à sa caractéristique, il appartient à une fraction décimale dans laquelle il y a m zéros entre la virgule et le premier dbiiffre significatif; . ? :

§ II. De ru8age des tables de logarithmes. *^

812. L'usage des tables de logarithmes se réduit à la résolution de ces deux problèmes : l** Étant donné un nombre , trouver son lo- ^(frithme ; 2* étant dotméum logarithme , trouver le nombre auquelM correspond, » , ;

Nous allons nous occuper de ces deux problèmes, eu supposant que le lecteur ait entre les mains, d'abord les tables de Dëlala^dh;, en second lieu le5 tables de Gallet. . .

Usage des Tables de Delà LANDB; '' • *-**

213. Ces taWe« -sont disposées sur trois colonnes : La- preffiière, intitulée Nomb.^ contient les nombres entiers, depuis CT jusqu'à lOÔOÔ. La 'Seconde, rntilulée Logeant, contient tels logarithmes dé ce^ nombres, calculés avec 7 décimales; La tfol^i*^e ri'estïetfïpHeqU'u partir du nombres 990; erie est- itïtltWé<è-lh^.,

et contient le& différences ^tre les logarithme? consécutifs^ .Çp& différences expriment des unités du 7^ ordre décimal : mais on n'çn amis que la valeur absolue, afin de tenir moins de place. Olji lies désigne sous le nom de différences tabulaires,

214, Premier prorième. Étant donné un nombre^ trouDtf sm^ç-

La résolution de ce problème se" compose de deux parties, :

1° Trouver la caractéristique du logarithme demandé; 3? froupsr la partie décimale, > . .. .

1® D'après les règles établies au n* 2iij, si le nombre proposé est entier^ la caractéristique de son logarithme sera, posiliye et composép d'autant d'unités qu'il j a de chiffres., moips un^ àap^ce Donibre, ......

Si le nombre proposé est décimal et plus grand que i , la caractéristique de son logarithme sera positive et composée d'aji^lant d'unités qu'il y a de chiffres, moins un, à la partie entière de ce nombre. » ' ; ,'

Si le noihbre proposé est une fraction décimale, la taractéristtqîjie de son logarithme sera négative et composée d'autant d'unités qd'il y en a dans le nombre qui exprime le rang du piiettkier éhlfffe sigbificatif après la virgule. ' '

Par exemple : si le nombre est

42367, ou 423,67, ou 0,00423,67.^ ..

la caractéristique du logarithme correspondant ^ra ^

4 , ou 2 , ou 3 .

2** Pour trouver la partie décimale du logai^îthme demandé; il faut distinguer deux cas.

" Sî le nombre proposé li'at pas plus de 4 chiffres doriséèhtifs (tattt à la partie entière qu'à la partie décimale)^ on chertAetale nombre entier formé par ces 4 chiffres dans la colonne intitule Nomb. On trouvera à côté, dans la colonne intitulée Lagàrit:;an logarithme qui aura la partie décimale demandée (210).

Soit, par exemple, le nombre 4,236; on cherchera' 4286 dans la colonne des nombres ; 'on trouvera à côté, dans la colotine des logarithmes, un logarithme qui a pour partie décimale, 6269560. Et comme la caractéristique du logarithme cherché doit étre^ero, puisque le nombre proposé n'a qu'un chiffre à la partie entière, le Jogaritlmxe de ce nombre sera 0,6269560 .. , j. ^ ^ ^ Si le nombre proposé a plus de 4 chiffres consécutifs, on coiûflaencera par séparer, au moyen d'une virgule, le^ 4. .premiers chiffres à gauche. S'il s'agit, par exemple^ in aojmbre 42367,, ,pn fltôUra une virgule a|îrè$:le 'Chiffre 6. S'il s'agitdiu nQimb,re42,3!57

oa da nombre 0,042367 , on transportera la virgule après le chiffre 6 ; on obtiendra ainsi un nombre décimal 4236,7 àyaat 4 chiffres à sa partie entière.

On cherchera cette partie entière dans la colonne des nombres; on prendra, dans la colonne des logarithmes, la partie décimale du logarithme correspondant, c'est-à-dire, 6269560 .

On prendra ensuite, dans la colonne des différences, là différence 1025 entre ce logarithme et le suivant. On multipliera celte différence par la partie décimale 0,7 qui suit la partie entière du nombre décimal. On trouvera pour prodiiit 717,5 . On ajoutera la partie entière de ce produit, considérée comme exprimant des unités du V ordre décimal, à la partie décimale trouvée dans la table :

et Ton obtiendra la partie décimale ,6270277 du logarithme cherché.

Si le nombre proposé est 42367 son log. sera donc 4,6270277

Si 42,367 j[,6270277

Si 0,042367 2,6270277 et ainsi de suite.

Voici maintenant l'explication du procédé que nous venons de suivre.

La différence entre le logarithme de 4236 et le logarithme de 4237 est 1025 unités du V ordre ; mais, en jetant les yeux sur la table, on voit que la différence entre le logarithme de 4237 et celui de 4238 est encore 1025 . On en conclut que, dans cette partie de la table, les différences entre les logarithmes sont proportionnelles aux différences entre les nombres, du moins au degré d'approximation delà table. On peut donc poser cette proportion :

Si pour 4 unité de différence entre les nombres 4236 et 4237 , il y a 1025 dix-millionièmes de différence entre leurs logarithmes, combien pour 0,7 de différence entre 4236 et4236,7 y aura-t-il de différence entre leurs logarithmes ; ou