SI
et ainsi de suite.
L'explicatipn de ce procédé est la même que dans le premier problème. En admettant que les différences entre les logarithmes sont proportionnelles aux différences entre les nombres, on pourra poser la proportion :
Si, pour 1025 dix-millionièmes de différence entre les logarithmes des nombres consécutifs 4236 et 4237 il y a 1 unité de différence entre ces nombres, combien, pour 717 dix-millionièmes de différence entre le logarithme donné et celui de 4236, y aura-t-il de différence entre ces nombres? ou
1025: 1=717 :y; d'où y==]^=0,699.... ou 0,7 .
Cette valeur de y sera donc ce qu'il faut ajouter au nombre 4236. On aura ainsi 4236,7, ou simplement 42367, puisqu'on ne s'occupe ici que de la succession de ces chiffres, et que leur valeur relative doit être déterminée par la caractéristique du logarithme donné.
Remarque. Si le logarithme donné était entièrement négatif, il faudrait le changer en un autre dont la caractéristique seule fût iiégative. (Voy. le n« 200.)
!• Usege des Tables de Gallet.
aie. Nous supposons, pour la clarté des explications qui vont suivre, que lé lecteur a les tables à la main.
DES LOGABJTHUBS, ,193
De à 1200 , ces tables sont disposées sur deux colonqes,; l'une intitulée N contient les nombres, l'autre intitulée Log^ contient la partie décimale des logarithmes de ces nombres,. chacune placée en regard du nombre auquel elle correspond. .
A partir de 1200 la disposition est plus compIiquëe..Le& deux premières colonnes n'ont point rapport à l'objet qui nous occupe. La troisième intitulée N , contient les nombres depuis 1200 jusqu'à 10800; mais il faut considérer ces nombres comme. ^Xt primant des dizaines. Le chiffre des unités se troure écrit au haut de la page, comme titre de .l'une des dix colonnes qui suiv/ent^
Dans la colonne intitulée 0, on trouve la partie décimale des logarithmes des nombres inscrits dans la /colonne intitulée NI Cette partie décimale est donnée avec 7 chiffres jusqu'au nombre 10000 de la colonne N, et avec 8 chiffres au delà. Les trois premiers chiffres, qui sont communs à plusieurs logarithmes consécutifs, ne sont inscrits qu'une seule fois, et sont laissés en blanc taiH qu'ils ne changent pas ; il en est même ainsi pour les 4 premiers chiffres, dès que la partie décimale en a 8.
Dans les colonnes intitulées 1,2, 3.... 9, on trouve en regard de chaque nombre de la colonne N quatre chiffres, 'ces chiffres sont destinés à remplacer les quatre derniers chiffres delà partie décimale du logarithme de ce nombre, lorsqu'on le considère comme exprimant des dizaines, et que le chiffre des unités est le chiffre placé en tête de la colonne verticale dont il s'agit. Nous reviendrons sur ce sujet.
Enfin, dans une dernière colonne intitulée dif. , on trouve les différences entre les logarithmes consécutifs, c'est-à-dire entre les groupes de 4 chiiîres placés sur une même ligne horizontale dans les 10 colonnes successives intitulées , 1 , 2.... 9 , ou entre le groupe q[ui termine une ligne horizontale et celui qui commence la suivante. Chaque différence, ordinairement commune à un grand nombre de logarithmes successifs, n'est écrite qu'une fois. Au-dessous de cette différence se trouve un joetit tableau à 2 colonnes, dont l'une contient les chiffres 1, z\ 3.... 9, et dont l'autre donne, en regard de ces chiffres, les produits de la différence dont il s'agit par 0,1 , par 0,2 , par 0,3 , etc.... ; enfin par 0,9 . i
Dans le commencement de la table, ces différences et cestableaux étant souvent très-multipliés, on les trouve placés eux-mêmes sur deux colonnes; mais il est facile de reconnaître à quelle partie de la table, ou plutôt de la page, chacun de ces tableaux correspond.
Remarque. En jetant les yeux sur la table, on remarquera ^e
temps à autre une interruption dans la série des groupes de 4 chiffres qui se succèdent sur une môme ligne horizontale, dans les colonnes 0, I , 2,.... 9. Après un certain nombre de ces groupes, la ligne se continue en blanc, et les groupes suivants se trouvent une ligne plus bas, et sont précédés à leur tour d'un espace blanc. Gela tient à ce que les 3 premiers chiffres de la partie dëcimaieont changé; lesgroapes qui précèdent l'interruption correspondent à la première valeur de ces 3 premiers chiffres, et les groupes qui suivent Tinterruption correspondent à la valeursuivante deces trois chiffres. Cette nouvelle valeur se trouve en effet placée sur la même ligne que la seconde série de groupes, en avant du blanc qui les précède.
Enfin, pour faciliter les recherches, on a placé en tête de chaque page les 3 premiers chiffres du premier nombre écrit dans la colonne N et les 3 premiers chiffres du premier logarithme écrit dans la colonne 0. Les uns sont précédés d'un N, et les autres d'un L.
Pour de plus amples renseignements, on pourrait recourir au Précis élémentaire sur l'explication des logarithmesy etc. ^qae l'auteur a mis en télé de ses tables. Maisce qui précède suffit pour résoudre les deux problèmes dont nous avons à nous occuper.
217. Premier problème. Un nombre étant donnée trouver son logarithme.
La caractéristique s'obtiendra d'abord par les règles du n° 211.
Pour obtenir la partie décimale, on fera abstraction de la virgule, s'il y en a une, dans le nombre proposé, et l'on ne considérera que la suite de ses chiffres. Supposons d'abord qu'il n'y en ait pas plus de cinq, par exemple, 56274 . On cherchera dans la colonne N le nombre 5627 formé par les quatre premiers chiffres à gauche. On trouvera dans la colonne et à gauche dans cette colonne,, les trois premiers chiffres 750 de la partie décimale cherchée. On suivra ensuite la ligne horizontale où se trouve le nombre 5627; et, dans la colonne verticale. qui a pour titre le cinquième chiffre 4 du nombre proposé , on trouvera quatre chiffres 3078 que l'on écrira à la suite des trois premiers 570 pour former la partie décimale du logarithme cherché 7503078.
Si le nombre proposé a un sixième chiffre, s'il s'agit, par exemple^ de 562743, on cherchera ce sixième chiflre 3 dans la colonne de gauche du petit tableau placé au-dessous de la différence tabulaire 78 ; et en regard, dans la colonne de droite, on trou-
vera un nombre 23 qu'il faudra ajouter aux dix-millionièmes de la partie décimale déjà obtenue
ce qui donnera 7503101
Sile ndmbre proposé avait un septième chiffre, s'il s'agissait, par exemple, du nombre 5627438 , on chercherait ce septième chiffre 8 dans la colonne de gauche du même petit tableau, et l'on trouverait en regard dans la colonnede droite le nombre 62; mais, au lieu de l'ajouter aux dix-millionièmes de la partiedécimale,' déjà obtenue, il faudrait l'écrire un rang plus loin, de manièro que le chiffre 2 fût au rang des cent-millionièmes, ce qui rçvifnt à diviser 62 par 10 avant de l'ajouter aux dix-millionièmes ; on formerait ainsi le tableau suivant:
et en additionnant on aurait '7303107 pour la partie décimale demandée.
(On ne tient pas compte du chiflVe 2 écrit au huitième rang, nous ne l'avons écrit que pour la clarté des explications.)
Si le nombre proposé avait un huitième chiffre, on le chercherait de même dansie petit tableau des différences proportionnelles, et l'on prendrait le nombre placé en regard ; mais il faudrait le diviser par 100 avant de l'ajouter aux dix-millionièmes de 'la partie décimale, déjà obtenue.
Les chiffres au delà du huitième seraient sans influence sensible sur les sept premiers chiffres de la partie décimale demandée.
Pour compléter le logarithme cherche, il n'y aurait plus qu'à écrire sa caractéristique.
Si le nombre proposé était 562743800 son log. serait 8,7503107 Si • 5627,438 3,7503107:
Si 5,627438 0,7503107
Si 0,05627438 2,7503107
et ainsi de suite. '
Remarque. L'usage du petit tableau placé au-dessous de la différence tabulaire, et que l'on nomme tableau des di/fémices proportionnelles, est fondé sur Thypothcse que les différences entre les
f oc EQUATIONS DU V DEGRÉ. •-* PROGRESSIONS. — LOGARITHMES :
togaritbmes sont Êensiblement proportionnelles aux différences entre les nombres ; ou que Ton peut dire : Si, pour 1 unité ajoutée au nombre, il faut ajouter, par exemple, 78 dix-millionièmes à son logarithme ,
pour 0, 1 ajouté au nombre, il faudra ajouter 78 X 0, 1 dix-mlUionièmes à son log.
etc. etc.
etc. etc.
Pour justifiercette hypothèse, il sufHtde remarquer que la même différence tabulaire 78 est commune à plusieurs couples de logarithmes consécutifs ; en sorte que, dans cette partie de la table,
le nombre augmentant de 1 , son log. augmente de 1 fois 78 dix-millionièmes :
2 , 2fois78
3 , 3fois78
et ainsi de suite; ou, en d'autres termes, que les différences entre les logarithmes sont proportionnelles aux différences entre les nombres, du moins au degré d'approximation des tables ; ce qui suffit pour rendre raison du procédé indiqué ci-dessus.
218. SECOND PROBLÈME. Étant donué UH logarithme, trouver le nombre correspondant.
On cherchera d'abord les chiffres consécutifs du nombre demandé; on déterminera ensuite, d'après la caractéristique du logarithme donné, l'ordre d'unités que doit exprimer le premier' de ces chiffres.
1* Supposons, pour fixer les idées, que la partie décimale du logarithme donné soit 7503107.
On cherchera les trois premiers chiffres 750 dans la colonne 0, et, à gauche dans la colonne N, on trouvera les quatre premiers chiffres 5627 du nombre cherché ; on cherchera ensuite les quatre chiffres suivants 3107 parmi les groupes de quatre chiffres- destinés à compléter les logarithmes qui commencent par 750 . Celui de ces divers groupes qui approche le plus, par défaut, de 3107 est 3078 .Ce groupe correspond à la ligne horizontale oà se trouve, dans la colonne N , le nombre 5627 , et à la colonne verticale qui a pour titre 4 ; on en conclura que les cinq premiers chiffres du Nombre demandé sont 56274 .
On retranchera 3078 de 3107 , ce qui donne pour reste 29 .
On cherchera dans la colonne de droite du petit tableau des diffé^ rences, ce reste 29 . Lé nombre qui en approche le plus, par défaut, est 23 ; en regard de 23 , dans la colonne de gauche du même tableau, se trouve lechiiïre 3; ce sera le sixième chiffre du nombre demandé, dont les six premiers chiffres sont conséquemment 562743.
Pour avoir le septième, on retranchera 23 de 29, '^' qui donne pour reste 6; on multipliera ce nombre par 10, ce qui donne 60; et l'on cherchera de nouveau ce nombre dans la colonne de droite du petit tableau des différences proportiouneUes. Le nombre qui en approche le plus est 62 , qui correspond au chiffre 8 ; les sept premiers chiffres du nombre demandé sont donc 5627438.
Pour obtenir ce dernier chiffre, on prend, comme on voit, dfins le petit tableau le nombre qui approche le plus de celui qu'on y cherche, que ce soit d'ailleurs par excès ou par défaut. Il faudrait le prendre par défaut si l'on se proposait de trouver le huitième chiffre du nombre cherché; mais on ne pourrait pas compter sur son exactitude ; il peut même arriver que le septième ne soit approché qu'à une unité près, par défaut ou par excès.
2® Lorsqu'on a trouvé les chiffres consécutifs dont se compose le nombre cherché, on a égard à la caractéristique du logarithme donné pour déterminer Tordre d'unités que doit exprimer le premier de ces chiffres.
Dans Texemple qui précède.
Si la caractéristique était 8 , le nombre demandé serait 5627 43800 Si 3 , 5627,438
Si 0, 5,627438
Si 2, 0,05627438
et ainsi de suite.
Remarque. L'usage du tableau des différences proportionnelles est fondé sur la même hypothèse que dans le problème précédent. On voit en outre que cet usage est inverse dans les deux problèmes.
§ m. Des calculs par logarithmes.
219. Nous avons vu (207) que les propriétés des logarithmes permettent de ramener la multiplication à une addition, la division à une soustraction, la formation d'une puissance à une multiplication, et Textraction d'une racine à une division. Nous pouvons maintenant en donner des exemples.
