II. Soit h diviser 71,645 par

On a : log 71,645 = 1,8551859

log 6,25 =0,7958800

Faisant la différence, on trQuve ; 1 ,0593059

Le nombre correspondant 11,4632 sera le quotient demandé.

IlL Soit à élever i à la 20"* ptmamce. On trouvera d'abord que le logarithme 4e 2 est 0,3010300. Multipliant par 20, on obtient 6,020600 . Le nombre correspondant 1048576 sera la puissance demandée.

Si l'emploi de la proportion (218) ou du tableau des différences proportionnelles (218) laissait quelque incertitude sur le dernier chiffre, on pourrait remarquer que ce chiffre doit être pair, puisqu'il s'aj2[it d'une puissance de 2 . On pourrait d'ailleurs le trouver directement d'une manière assez prompte, en remarquant que la 5'' puissance de 2 , qui est 32 , est terminée par un 2; que par conséquent la 10* est terminée par 2 fois 2 ou 4, et la 20" parie^méme chiffre que 4 fois 4 ou 16, c'est-à-dire par 6.

Vt.Soiik extraire la racine cinquième de 365478 . On trouvera d'abord que le logarithme de ce nombre est 5,5628612. Divisant par 5, en obtient 1,1125722 . Le nombre correspondant 12,9590 sera la racine demandée, à moins d'un dix-millième.

220. On voit par Ces derniers exemples que l'emploi des logarithmes permet d'effectuer avec promptitude, et sans aucune tension d'esprit, des calculs qui, de tooite autre manière, exigeraient beaucoup 4e temps et d'efforts, s'ils n'étaient mémo tout à fait impos^ibiesv

Pour soulager encore davantage son attention, le calculateur peut même se dispenser d'effectuer aucune soustraction. S'il se présente, en effet, un logarithme à soustraire, c'est-à-dire précédé du signe — , comme, par exemple,

D£S LOGARITllMES. 199

on peut le changer en un logarithme dont U caractéristique seule soit négative (200), et écrire

puis ajouter ce logarithme au lieu de le soustraire.

Quant à l'opération par laquelle on soustrait chaque décimale de 9 et la dernière de 10, elle ne doit pas élre comptée comme une soustraction ; il suffit de graver une fois pour toutes dans son esprit ce tableau

et de se rappeler que, toutes les fois qu'il- se présente un des chiffres de la première ligne, il faut le remplacer par le chiffi^ corres^ pondant de la seconde, et viceversa^ sauf pour la dernière décimale sigiiificative qui doit être retranchée de 10.

mu^indiquerons les logarithmes ainsi préparés par le signe abriSviatif L - Dans l'exemple II du numéro précédent, nous aurions :' jog71,645=l,8551859 L 6,25 ==r,2041200 d'où en additionnant : 1,0593059

comme au numéro cité.

Des personnes peu habituées aux calculs numériques regardent comme une complication la simplification dont nous venons de parler ; avec un peu de pratique le lecteur se convaincra que c'est une simplification des plus réelles et des plus importantes.

Si le logarithme à soustraire avait déjàune caractéristique négative ; s'il s'agissait, par exemple, de soustraire 3,4771895 , cette opéralion reviendrait à changer le signe de la caractéristique et celui de la partie décimale, ce qui donnerait

3 — 0,4771895 ou 2+ (1—0,4771895)

ou enfin 2,5228105 ;

c'est-à-dire que, dans ce cas, il faudrait changer le signe de la caractéristique Ja diminuer d*une unités puis soustraire chaque chiffre décimal de 9 , sauf la dernière décimale significative qui doit être soustraite de 10 .

On trouvera ainsi L 0,2 =0,6989700 L0,03 =1,5228788 L 0,0005=3,3010300 etc.

Slii. La même simplification est ordinairement présentée d'une autre manière, qu'il est indispensable de connaître.

On nomme complément arithmétique d'un nombre ce qu'il faut lui ajouter pour faire une unité de Tordre immédiatement supérieur à celui de son premier chiffre àgauche. Ainsi, lecomplément arithmétique de 7 est 3 , attendu que 7 et 3 font iO ; le complément de 76 est 24 , attendu que 76 et 24 font 100 ; le complément de 762 est 238 , attendu que 762 et 238 font 1000 , et ainsi de suite.

Comme les logarithmes des nombres entiers le plus fréquemment employés sont moindres que 10 , on nomme complément d'un logarithme ce qu'il faut ajouter à ce logarithme pour faire 10. Ainsi le complément de 3,7820497 est 6,2179503. Ce complément s'obtient en retranchant chaque chiffre de 9, sauf le dernier chiffre significatif à droite qui doit être retranché de 10. L'opération nécessaire pour obtenir le complément d'un logarithme ne doit donc pas être comptée comme une soustraction ; c'estune opération machinale qui s'exécute à l'aide du tableau

et lorsqu'on en a acquis l'habitude, il n'est pas plus long d'écrire lecomplément que le logarithme lui-même.

Cela posé, au lieu de soustraire un logarithme on peut ajouter son complément et retrancher ensuite 10.

Soit, en effet, / un logarithme qu'il s'agit de retrancher d'une quantité a , on aura à effectuer le calcul indiqué par l'expression

Or, on ne changera pas cette expression en ajoutant et retranchant 10 , ce qu'on peut écrire

Mais 10 — / est précisément lecomplément de /; on peut donc écrire^ en indiquant par C le complément ,

ce qui revient à l'énoncé de la proposition.

Si l'on a plusieurs logarithmes à soustraire, on' peut ajouter leurs compléments, et retrancher du résultat autant de fois 10 qu'il y a eu de compléments employés.

Cette manière d'opérer la simplification dont nous parlons est la plus usitée ; mais celle que nous avons d'abord indiquée au n^2W est la pluscommode.

DES LOGARITHMES. 20i

2Sâ. Nous pouYons maintenant nous occuper de rapplioatêmâes logarithmes à tous les calculs qui comportent leur emploi.

Résoudre une question par logarithmes, c'est déduire des logarithmes des données le logarithme de l'inconnue. Cette inconnue se déduit ensuite de son logarithme à Taide des tables. Pour qu'une question puisse être traitée de cette manière, il faut qu'on n'ait à se servir des tables que deux fois, savoir : une première fois pour y chercher les logarithmes données, une seconde fois pour y chercher le nombre correspondant au logarithme de Tinconnue.

^ On exprime quelquefois cette condition en disant qu'il fautn' avoir.

"^ à passer aux nombres qu'une fois.

On peut toujours concevoir que l'inconnue elle-même soit exprimée au moyen des données. Pour que cette expression soit calculable par logarithmes, il faut qu'elle ne contienne que des produits, des quotients, des puissances ou des racines ; ou que, si les signes + ou — y entrent, ces signes ne réunissent que les premières puissances des données.

Ainsi, l'expression x*=: \^ est calculable par logarithmes,

parce qu'elle ne contient que des produits, des quotients, des puissances et des racines.

L'expression x=\l{a + b){a — b) est encore calculable par logarithmes, parce que les signes + et — qui y entrent ne réunissent que les premières puissances des données a et i . Comme on ne peut, en effet, ramener l'addition et la souctraction à des opérations d'un ordre plus simple, on conçoit que l'on fasse la somme a -)- 6 et la différence a -^ 6 , sans le secours des logarithmes ; puis, que le produite effectueret la racine àextraire se calculent par le moyen des logarithmes. On n'a ainsi à passer aux nombres qu'une fois, c'est-à-dire pour trouver le nombre correspondant au logarithme de x .

Au contraire, l'expression x== \/«*+ ^^ i^'^st point calculable par logarithmes, parce que le signe -j- qu'elle renferme réunit des quantités qui ne sont pas les premières puissances des données a , 6 , c , mais bien le carré de l'une et le produit des deux autres. On pourrait bien, à la vérité, calculer a* et bc par le moyen des logarithmes ; mais il faudrait passer aux nombres pour -obtenir a* et bc . C'est alors seulement qu'on etl pourrait faire la somme, etque l'on pourrait extraire la racine de cette somme par le secours des logarithmes.

M3.Pour appliquer les logarithmes à une formule, il suffit de se rappeler les propriétés fondamentales des logarithmes (207).

Soit, par exemple, Tex pression

3aV6c

on' aurai d'abord, en ^e rappelant que le logarithme d'un quotient est égal au logarithme du dividende, moins le logarithme du divi- ^nr,- ^' ^ •

logar=log(3aVôc) — log(5i») ;

mais le logarithme d'un produit étant égal à la somme des logarithmes de ses facteurs, on pourra écrire

logx=log3 + loga* + log^ôc— (logS + log. w) . Puis, remarquant que le logarithme de a' est égal à 2 fois le logarithme de a , et que le logarithme de yjbc est égal à la moitié du logarithme du produit bc , ou à la moitié de la somme des logarithmes de 6 et de c , il viendra :

loga;=log3+21oga + 7(log6+logc) — (logS+logwO . Et, si Ton veutiêvîtèr les soustractions indiquées,

loga?=log37|-21ogfl-i-{(logA+|ogc)+L5+ïm(220) , ou log.t=log3+2loga+ ^ (log64-logc)+(CMog5 -^ C4ogm— 20(220) .

Comme application, supposons à a , 6 , c, m les valeurs suivantes : ^

az=29.645 , è= 105897 , c=3,7899 , w=44i;8 ,

On disposera le calcul de la manière suivante :

log3=0,4771212 los 29, 645—1,4719515 2!og29,645t=i2,9439030

log 105897 =5,0248837

log 3, 7899= 0,5786278

somme 5,6035115

demi-somme 2,8017557 logV =2,8017567

logx ou somme=2,8785822

d'où •.1=756,1052...

On traiterait de la même manière toute autre formule calculable par logarithmes,

224. Gomme applications, nous traiterons^, les. p^o|;)l^^^e^.$.u^T^ vanls: " " ' , .,.•■.;•. !■.. • i-'*

PftOBLÈME 1. Trouver le rayon d* une sphère dont le volume, ^sf, de 0°»-%250 . ,'

En désignant par x le rayon de la sphère, et par ir le rapport de la circonférence au diamètre^ on a * - ■ : ■ <

1.0^=0,250 d'où x=^^^^^f^.^ , ^ et en appliquant les logarithmes,

tOg y-- logO,2oO+los34-L4+U '

On trouvera IogO,250 =l,397a40O .

iog3 =0,4771212 . .

L ,r ou L3,1415926 =l,5028501 '

Pour prendre le tiers de ce résultat, il suffit de rendre la caractéristique divisible par 3 , ce qu'on fera en ajoutant — 1 ét.+ i ; on dira alors : le tiers de 3 est 1 ; le tiers de 17 esf H';\e tiers de 27 est 9, etaiaside suite; ce qui donne . •' * '

Le nombre 0™, 390796 ..»., qui cçrreç^pond à ce. logarithâie* «st le rayon demandé. On pourra prendre approximativement 0",391,

Problème II^ Trouver un nombre tel qus 4 fois' Iq^ racine cinquième de son cube^ soit égal à i08 , En appelant x ce nombre, on devra aivoir

4v/^=108, d^où a:=Y/(ipy; ......

et, en appliquant les logarithmes, •• • ' -

• ' 5(Iogl084-L4)

. logy— ^ 3 ^ — ' .

* Voy. notre Géométrie théorique et pratique, 4* édition, n-» 702.

On trouve log 108=2,0334238

dont la somme est 1,4313638 ;

multipliant par 5, il vient 7,1568190 ; puis, en divisant par 3 , 2,3856063 ;

Ce logarithme correspond au nombre demandé, 243 .

Problème m. Trouver la hauteur de l'hectolitrs, sachant que cesî un cylindre dont le diamètre égale la hauteur.

Désignons par x la hauteur cherchée, qui est aussi le diamètre de la base. Le volume du cylindre aura pour expression *

\nX^XX ou ^TvX^ ,

et, en l'égalant à 1 hectolitre, c'est-à-dire à 0"''%1 , on aura

|B-aT*=04 , d*où x'=:^^ , ou par logarithmes,

On trouve logO,4 =1,6020599

dont la somme est 1,1049100

Pour diviser par 3 , ajoutons — 2 et +2 , nous dirons : le tiers de 3 est 1 ; le tiers de 21 est 7 , etc. , ce qui donne

Ce logarithme correspond à la hauteur demandée 0«»,503077.... ou approximativement 0™,503 .

Problème IV. Le lecteur pourra s'exercer sur les problèmes suivants :

L Trouver le rayon de la sphère dont la surface a 1 mètre carré,

(Réponse : 0«»,282094.... ou simplement 0"',282 .)

IL Trouver un nombre dont le tiers, le cube et la racine carrée forment un produit égal d 170 f .

(Réponse : 4 .)

* Voy. n0t!M Géométrie théorique et piaiiquéii 4« édHion, »» M8^

III. Trouver la hauteur du litre ^ sachant que c'est un cylindre dont la hauteur est double du diamètre,

(Réponse : 0™,172050.... ou simplement 0™,172 .)

228. Il arrive quelquefois qu'une formule, qui n'est pas calculable par logarithmes, peut le devenir à l'aide de certaines transformations.

I. Soit proposé, pour premier exemple, de calculer le volume d'un cône connaissant son côté et le rayon de sa base.

Désignons par V le volume du cône, par c son côté et par r le rayon de sa base ; sa hauteur étant l'un des eOlés de l'angle droit d'un triangle rectangle dont l'autre côté de l'an gte dro it est r et dont l'hypoténuse est c , sera exprimée par ^c* — r* ; par conséquent l'expression du volume V sera *

Cette formule n'est pas immédiatement calculable par logarithmes à cause du signe — qui réunit les carrés des données c et r . Mais on remarque que la différence c* — r* peut être considérée comme le produit des deux facteurs c-{-r et c — r (36); on peut donc écrire

V=i^rV(c+r)(c-r) ,

formule qui est calculable par logarithmes, puisque les signes + et — qui y entrent ne réunissent que les premières puissances des données.

En y appliquant les logarithmes, on obtient logV=L3+log7r+2logr+|[log(c+r)+log(c-r)].

Sir=0",04 et c=0",07 on trouvera

c+r=zO"*,il logO,H=:i,0413927

c+r=0«^,03 logO,03 ^2,4771212

■|(logO,H+logO,03)=2,7592569

logO,4=2,6020599; 21ogO,04=3,204H98

log 3,1415926=0,4971499

Donc log V =5,9834054

* Voy. notre Géométrie théorique et proùiquey 4« édition, n» 603.

, i<^06 ÉQUATIONS DU 2"* DJiGlilltii-^' PROGRESSIONS. — LOGARITHMES :

. (V Le yoduine demandé est le nombre correspondant = à ce kigarithine, ou . . : -

ou 9gc-».cob g|. 25l»»«^«»» .

II. Comme second exemple, nous prendrons la formule qui donne l'aire d'un triangle au moyen de ses trois côtés.

En désignant ce^e aire par A , et les côtés par a ,.6. , c, on démontre* que Ton a

. A=ixj(fia'c'—(a'^c'—b'y , , ,

formule qui n*est pas calculable par logarithmes.

Maison remarque que la quantité placée sous le radical est la différence de deux carrés et se décompose, par conséquent en deux facteurs, dont l'un est la somme des rfeieines deces carrés, et l'autre la différence de ces mêmes racines. On a ainsi

A=7>/(2«c+«*+c*— **) (2ac— a*— c*+fr*) , Or, la première quantifié entre parenthèses revient à

et se décompose, par conséquent, en

La seconde quantité entre parenthèses revient à

et se déooflifxise en 11 vient donc

formule qui est calculable par logarithmes, puisque les signes + et — qui y entrent ne réunissent que les premières puissances des données. .

On lui donne une forme plus simple en posant

id'Dù- ' • a4-c^b=2(s—b) , • ''

Substituant ces yaleiirs, et reinarquant quo le facteur 2* ^mis ^■VDy.nétre ^é&méihie thipôrique et pratique, 4« édition, pâg6 186/

DES LOGARiTHMCS. ' '" 207

hors du radical, devient 2' ou 4 , et détruit par coMéqdent le facteurj , on obtient

k=\Js{s — à) {s — b) (s — c) , ou, en appliquant les logarithmes,

logA~[log5+log(s— a)+log(^— A)+log(^~c)] . :

Si a=41" , *=37« , c=16» ; '

on trouvera d'abord a-|-A+c=94 ; d'où «=47 , s— a=6 , s—b^lO , s—c=M .

Puis Iog47=l,6720979

log 6^:0,7781512

loglO=l,0000000 !

log31 = 1,4913617 .;

4,9416108 log A=2,4708054 L'aire demandée estle nombre correspondant à ce logarithme, ou 295"'-%6687 , , ■,,,. ,.,

ni. Le lecteur pourra s'exercer à rendre calculable par logarithmes la formule

qui représente Taire d'un trapèze dont la plus grande bdie est a, la plus petite 6, et les côtés non parai lèlesc et d .

Il trouvera qu'en posant a-f-^+^ — b=2p elle peutj s'écrire

^^'=^^\/piP — c)(p — d)(p'-\-b^a) ,

formule calculable par logarithmes.

Pour a=83" , *=61"^ , c=55"' , d=49" ; ri trbuVè^a

226. Lorsqu'une formule ne peut pas être rendue calculable par logarithmes, c'est-à-dire lorsqu'on ne peut déduire le logarithme de l'inconnue des logarithmes des données, sans passer préalablement aux nombres, il faut au moins tâcher de le faire leplus petit nombre de fois possible, ce à quoi on parvient quélquéftiis^ au moyen d'une inconnue auxiliaire.

I. Soit, par exeiaple, à calculer le volume d'unJronedepyramde Al6. s. 14

WlS ÉQUATIONS DU 2* DEGRÉ. -^ FflOGRESSlONS. — LOGARITHMES :

dont la hauteur êslt h et dont hs bases Saàt des tarrés ùyaiiths^ctivement pour côtés a ef l^ . . , y

En désignant ce volume par 'V, oh aura *

foiteiilc ^t^i n'est pomt Calculable par logarithmesj Oui pourrait bien calculer par logarithmes les quantités 'é^^s b*^^t\ ab'/mtâ& il faudrait passer trois fois aux nombres pour obtenir la valeur de la quantité. centre p^rejalhèse^. . , i

Pout l'éviter, ajoutons, entre lés parenthèses, les termes +«* et -^ah; ce qui. ne obangera pas la valeur de V ; il vi^pdf^o

;;-;;;;\ ■ .; ■ ■ v=^'A(aM-6*^^2a6-.ft) • - '"••:

ou V=4-A[(a+6)*— at] .

PosoM''4?*=:^«6 d'où x^^s/nb et lQga^=:| (logfl+logt) , L^incofinue au^iliains ayant étècaiouiée, on pourra mettre .x^- à la place de ab dans la formule, et il viendra , i

I y=^k[(a+hy-x']T:==^hiaJ^b^)iq-\-b-x) ,

d'où IogV=L34-logA.+'^g(^+*+^)+'^g^^+*~^) •

On pai^vient ainsi à appliquer les logarithmes à la. formule» em^e

passant pi^lablement aux aombres qu'une fois au lieu detrQîij^

^'SdiëûV par exemple, a:=:i2^ , ésilO"* el A=;2'" . On.^va

d'^biwd .' i ... ..M

■ 1. Il

log 12=1,0791812 log 10=1, 0000000

:— ' loga? =1,0395906

Èd; en psfssînt aux nombres, a^=iO,9S44 . ^ i '

= ^>rfC^^ô-f *4|-«±îiî3a,96i4 ; l(Jg 32,9544= i,51t9134 ^^^^ ,^4-6— x=ll,0456^ logll.,p456=l,0431894

"' ' ' log 2' — o;301Ô300 '

-nr 1 V. ^ ...f ... • L 3 -1,5228788 '

àlA^ '.ur: ,. : ^.r. "«•,' . '. |ogV / =2,3850116; ^^ ^.^i.;i .1 ., i. ^.. 'V^242**'*v6075...; ' ^' ; .:•"

* Voy. î&'tfe ëéméirie théorique t\ pratiqua, I» ôdlttoit, ^<>'697. .

Hm/

H,.Le lecteur |)Qurratraitejcdemêïïie la formule. . . .

qui exprime le volume d'un tronc de cône^ dont la hauteur est h et dont les bases ont pour rayons fe et r*.

• Pour :R:t±:6 , f:™& , 4=2 , il troo^yera ar^5,477?^. à pm8.V^190'^'"\590 . • ••-:■,.":••>!■.':}

§ IV. AppUcations aux questions d'iblérêt composé. '''"' • i "i

2ii^. Ohs^rt 4ue Ton nomme «w^éWr- d'une sommed'aïlgeîrt de que cette somme rapporte au bout d'i^n certain temps ; le taux de rintérêt est l'intérêt de ÎOO fr. par an ; la somme placée prend le nom de capital. . , j. v

Si a est le capital, t le taux , n le nombre d'années qui compétent la durée du placement, et % l'întérét; lOOirr-ftipportant t par an, rapportent nV au bout da t> annexa niOîI aura donc r . . : I , ,

\m:nt±=a\i d'où i='^^^ . . ^ / [1]

C'est la formule des intérêts simples ; elle donné "lieu à quatre problèmieis, suivant que l'inconnue est t , o , n ôu^rwOnj e» troiiversl des exemples dans tous les traita d'arithmétiquje. • . .| ^ Un ciapital-est dil placé à intérêts ôomposés i<^Rj|quey (^a^q^ue^s^nnée, ce capital s'augmente des intérêts produits pendant ^'anniêft précédente. - . ; j •

Soit b la valeur de , ce capital après un certain nombre d'années, et cherchons ce qu'il deviendra au bout de l'année suivante. Au bout de cette année; il sera augmenté de l'intérêt produit pendant cette même année / ot, d'après la formule des intérêts simples,

rintérêt de 6 au bout dîua an est j^ > 1^ i^^^Pi^^..^ ?^f^î4^M

devenu ^+jq5 du ^(f4^|oo) ' «c^e^-àrdir» qu'il ^çiuf^j^l^té

multiplié; par j^ quantité (i4"rAô) î^i ne'dépend'pas^àu nombre d'années déjà écoulées. .

Il en réplte que les valeurs d'un capital a au bout de 1 année, 2 années, 3 années, etc., forment les termes d'une ^rè^î gressionpar quotient, dont tÇ; premier ternie est a et la raiso^

* Voy. ikiitte £réQniétrie Morigm ^ praiiqw^M éidiUqij^jçiiO Ç98»

(l+YSo) • La valeur de ce capital au bout de n années sera

le (n-f-t)**^ terme de celte progression; on aura donci en le désignant par A (194) :

c'est la formule des intérêts composés. Le capital a se nomme le capital primitif , et A se nomme le capital définitif. En appliquant les logarithmes à cette formule, on en tire

logA=loga+n[log(100+0— 2] • [3]

Cette égalité permet de résoudre quatre problèmes, suivant que l'inconnue est A , a , n , ou f . Nous allons en donner des exemples.

928. Application L Quel est le capital définitif produit au bàïft'de 21 ans, à i{ pour 100, et à intérêts composés^ par un capital primitif de 600 fr.f

Ojà a ici a=600 , n=21 , /=4,5 ; donc

logA=log600+21[logl04,5— 2]=5,179593S ,

d'où

Appiigation il Quelle somme faut-il placer pendant 10 anss à 5 pour {00 et à intérêts composés^ pour produire un capital définitif de 4800 fr,?

lèî, c*est a qui est inconnu; on a A=4800 , n=10 , t=^.

L'équation [3] donne

loga=tlogA— n[Iog(100+0— 2] , donc loga=log4800— 10[logl05— 2]=3,4693482 , d'où a=2946',78 .

Application IIL Au bout de conAien d* années un captai placé à 5 fpur 100 , et à intérêts composée, est-il doublé?

Ici, c'est n qui est inconnu ; on a A=2a et f=5 . L'équation [3] donne

logA-logg . . . log2 ' , 0,30i0300

*""log(100+0— 2 ' ^^ '^' '*""logl05-2~0,021i893 '

ou w=14 , et une fraction. Il faut donc prendre n=15 , attendu que les intérêts se composent par années, mais non par fractions d'années.

Appucation IV. A quel taux fatU-il placer ^mê somme de ZOOOfr.j pendant 11 ans et à intérêts composés ^ pour produire ui^ capital définitif de Um'.iS't

Ici, c'est t qui est inconnue; on a a=3000 , n=H , A=5406,28 .

La formule [3] donne

et ici

]Og(l()0+0=2+ ^^^^^^^-^^;+^^^^^ ::::z2.02325a^ , . .

d'où 100+«=105,5 , et ^=5,5 ou 5| . .

288. On peafr traiter d'une manière analogue les problème^ suivants, quoiqu'il ne s'agisse point d'intérêts.