BeYen(^s aux intérêts composés. Dans les problèmes

Irailés ci-aessus, nous n'avions à calculer que le flernier terme

-d'^liile^ progression ; H peut se faire qu'on aii à.csklculer U §f^iie.

Si!, par exemple, on place chaque année utie sdmnie d; au |tàux t et à intérêts composés, on peut désirer savoir quel sera le capitalCdonton pourra disposer aii bout de n années. • - :

. Four résoudre cette question, remarquons que la somme « ,

placée ftéloeMement) produira dans n années «A -+^70^) - ' i

La somme a , placée au bout de la première année.' produira au bout de U »**"* ^(*+îôô) ^ puisque la durée du placement aura été moindre d'une année.

La somme a ^ placée au bout de la seconde année, produira de môme au bout- de la w**** ^(*+îôn) •

Enfin, la somme a , placée au bout de la (n— l)**™ année, Çrodpira au bout de la n**"' a(l +^) .

Le capital demandé C est la somme de tous ces caipitaus définitifs qui, pris en ordre invèrise, forment, comme <m voit, uae.pro-

gressiôn '^àr qttotietit dont le premier terme esjt ^(*4^îâô)> le dernier ^(^+i[ôùf ^* ^^ raison (l-|-f^) • On aura

M. fj, ... . , DJES LOGARITHMES. , 213

donc (106)

^^ (*+ry-H*+.ï^)

Cette formulé n'est point calculable par logarithmes, 'mais on pourraisp senvir. des Iogari/;hïpes aç moyen ^'une inconnue auxiliaire (226). On posera \ •. ^

et, en appliquant les logarithmes, ;..,'<),% ^

. .logy=npog(100+0-2]

;i^C=;=l9«a+log(l()0 + 0+;iog(y-ï);i^^^^^ . ^^'-^^ ^^

Après avoir déterminé log y par la pix9niére>éqflalioni. ooi .passera a»x inombresv c'ôst-ài-dirç que Ton cherchera y àan^ les tables; quand on Taura trouvé, on en retranchera une 'i^nité,^ et Ton cherch«ra de nwveau dans le^ tables le Ipgarithme jàp y^—l> pour calculer, logC pu loga . ' '

Exemple I. (m placé chaque année' une sommé i*r '200 fi. , à 4 ^ pour 100^ et à intévêu composés ; dé quel capital pe^i^r^-i-QU: jifsppser au bout de 20 ans ?

On aura d'abord logy=20(lo^lÔ4,5— 2)=6,382à26Ô' ',

doù y=2,4H715 ; et y— 1=1,41171S . ' ' '

• . ■'.■-■,■,,.• ■. .1,, iir,.ii

On aura ensuite

logC=log2()0+ioglÔ4,5,-f-logl,41i7.1S-f|^4is ';'

d'où ' C=6556',63 . ' ' '"■'•'

Exemple U. Quelle somme fàut-il placer anmèiiemmt\^ â' 5 piour. {00, et àiatéréts <:omp«sé: pour ]metUr« ,à\sn ^gMsitiifn un cêpital .de eOOOO fr. au bout de 10 <»ns? . ■.,.■. , ,„.,.,,.;.

'On dura d'abond logy a=10 (log 105-^2)*rO,2ii8930, , ■ ; ^ d'où ,y^l,^î889 ; et y— 1=0,6^88

214 iOVATlONS DU 2^ DEGRÉ. — PHQGaBSSlONS. — LOGARITHMES :

On anra ensuite

Iog60000=log(i+logi05+logP,62889+L5 , d'où Ioga=log60000 + Li05+L0,62889+log 5

=3,6573572 et a=4543M5 .

831. Enfin, au nombre des questions qui se raHachent à l'objet de ce paragraphe, sont comprises les questions d'annuités et d'amortissement.

On nomme anntitïe la somme qu'il faut payer annuellement pour s'acquitter d'une dette au bout d'un nombre déterminé d'années.

Supposons qu'on emprunte une somme A ; au bout de n années cette somme vaudra^ en ayant égard aux intérêts coqlposés, et en appelant t le taux de l'intérêt,

Telle est donc la somme qu'il faudrait rendre au bout de n années, On préfère s'acquitter par annuités. Soit a cette somiïie annuelle. La somme a , qu'on payera au bout de la première année, vaudra au bout de n — 1 années, pour le créancier qui jouira , des intérêts ,

La somme a , qu'on payera au bout de la seconde année, vaudra de même

et ainsi de suite. Enfin la somme a payée au bout de la n"** an-, née vaudra simplement a . Ces capitaux définitifs, pris en ordre inverse forment une progression par quotient â<Hit le premier

terme est a , le dernier «(*+ï|ô)"~ ^' '^ raison (l+îlo); leur somme a donc pour valeur (196) ,

.!ii±iM!zf ou i^\(i+j-Y-i] '

(•+roo)