wxl.2.3..../?xl.2.3....gxetc
pourvu que la somme des nombres n , p ^ q ^ etc., soit égale à m .
Remarque II. Le coefficient du terme général exprime le nombre de manières de partager m objets en groupes dont le premier renferme n objets , le second p , le troisième q , et ainsi de suite. En effet, si .l'on voulait former réellement ces groupes, on commencerait par former les combinaisons des m objets n kn; le nombre de ces combinaisons peut être désigné comme plus haut par Cm,n . Parmi les m — n objets qui restent lorsqu'on a formé un groupe quelconque de n objets, on formerait les combinaisons php; leur nombre est C,^^-,,,^ ; et comme chacune de ces • combinaisons nouvelles peut être jointe à chacune des premières,
le nombre de manières de mettre n objets dans le premier groupe et p dans le second est le produit des nombres Gm,n et Cn-n,p . Parmi les m — n — p objets qui restent lorsqu'on a formé un premier groupe quelconque de n objets et un second groupe quelconque de p objets, on formerait les combinaisons î à g ; leur nombre est exprimé par Cm-n-p,q ; et comme chacune de ces combinaisons nouvelles peut être jointe à chacun des résultats qu'on obtient en mettant n objets dans le premier groupe et p dans le second, le nombre de manières de mettre n objets dans le premier groupe, p dans le second et q dans le troisième, est le produit des trois nombres Cm,n , Cm-»,p et Cm-n-p,^ . On verrait par un raisonnement analogue que le nombre de manières de mettre n objets dans un premier groupe, p dans le second, q dans le troisième et r dans le quatrième est exprimé par
et ainsi de suite. En mettant pour ces quantités leurs valeurs, et
introduisant ensuite au numérateur le produit s(s — 1) 3.2.1.
et au dénominateur le produit égal 1.2.3 s ; on obtient précisément le coefficient du terme général, ce qui démontre la proposition.
Exemple I. Partager 12 objets en 3 groupes dont le premier renferme 3 objets , le second 4 et par conséquent le troisième 5 . Le nombre de manières d'effectuer ce partage sera exprimé par :
Exemple II. Celui qui fait au jeu de piquet^ donne 12 cartes à son adversaire^ ii cartes à lui-même^ et partage les 8 cartes qui restent en^ groupes dont l'un contient 5 cartes et le dernier 3 ; de combien de manières les 32 cartes peuvent-elle être ainsi distribuées?
Le nombre demandé a pour expression
en effectuant les calculs on trouve
Remarque III. Si Ton fait a=:l , 6=:! , c=l , etc., le développement se réduit à la somme de ses coefficients. Quant au polynôme, il se réduit à N ; en désignant par cette lettre le nombre de ses termes. La somme des coefficients du développement de la w'*""" puissance d'un polynôme de N termes est donc égale
PUISSANCES ET RACINES d'uN DEGRÉ QUELCONQUE. 267
Remarque IV. Oa vient de voir que le coefficient du terme général exprime le nombre de manières de partager m objets en N groupes, dont le premier contienne n objets, le second p , le troisième q , et ainsi de suite. La somme des coefficients du développement de la puissance w'*"* d'un polymone de N termes exprime donc le nombre de manières de partager m objets en N groupes. Or, d'après ce qu'on vient de voir, ce nombre de manières a pour expressions N*" .
Exemple I. De combieti de manières peuUon placer 8 personnes dans 3 chambres ?
(Réponse: 3* ou 6561.)
Exemple II. De combien de manières peut-on mettre 12 pièces de monnaie dans un porte-monnaie qui a 4 compartiments ? (Réponse : 4^* ou 16777216.)
Exemple III. De combien de manières peut-on faire 10 parts avec un jeu de 52 cartes ?
(Réponse: 10^* ou un nombre formé de l'unité suivie de 52 zéros.)
§ III. Des racines des quantités algébriques.
282. La racine n""* d'une quantité algébrique est une seconde quantité qui, prise n fois comme facteur, donne pour produit la première. On désigne la racine n'**?' d'une quantité par le signe \l placé en avant de cette quantité. Ainsi s/a désigne la racine n'*"" de a . La lettré n placée au-dessus du signe radical se nomme Vindice de la racine*.
D'après la règle donnée (268) pour former la puissance n""' d'un monôme, on voit que, si un monôme est une puissance n**""' exacte^ on en extraira la racine en. extrayant celle de son coefficient^ et en divisant par n les exposants de toutes les lettres qui y entrent.
Ainsi v^l28(i'6-V*=2a6V; v^625â^¥^=5a^6V .
(La racine w""* d'un nombre peut s'extraire par un procédé analogue à celui à l'aide duquel on extrait sa racine carrée ou sa racine cubique. Mais, à ce procédé laborieux, on substitue avec avantage l'emploi des logarithmes, comme nous le verrons bientôt. Lorsqu'il s'agit de nombres peu considérables, on peut se contenter de former les puissances »**"•• des neuf premiers nombres, et de voir quelle est celle qui reproduit le nombre proposé.)
Quant à la racine n'*"" d'un polynôme, elle pourrait s'extraire par un procédé analogue à celui que nous avons employé au n** 241
pour extraire la racine carrée, et en se fondant sur la formule du binôme. Mais ce calcul étant à peu près sans applications, nous ne nous y arrêterons pas.
283. Lorsqu'un nombre entier N n'est pas une n**"* puissance exacte, sa racine n'*"* est incommensurable; car les puissances d'une quantité fractionnaire irréductible sont elles-mêmes irréductibles, et ne sauraient produire un nombre entier N.
Lorsqu'une expression fractionnaire irréductible ^ n'est pas
une n**"* puissance exacte, sa racine n**"* est incommensurable. Multiplions, en effet, ses deux termes par 6"—* , elle deviendra
^^^T^- . Son dénominateur sera une puissance n**"' exacte ; mais
il n'en sera pas de même de son numérateur, car il faudrait pour cela que a contînt le facteur b , ce qui est contraire à l'hypothèse. La racine w**"* du numérateur sera donc incommensurable; il en sera donc de même de la racine de l'expression fractionnaire proposée.
On démontrerait, comme aux n**" 181 et suivants, que l'on peut étendre aux quantités incommensurables du degré n les règles ordinaires du calcul algébrique.
284. Une quantité négative ne peut être une puissance n'*"* exacte qu'autant que n est impair; car les puissances paires d'une quantité réelle, positive ou négative, sont positives d'après la règle des signes. Il en résulte que toute racine d'indice pair d'une quantité négative est une quantité imaginaire^ et n 'offre que le symbole d'une opération impossible. Ainsi, y/ — 1 , \/ — 5 , etc., sont des quantités imaginaires.
285. Nous allons maintenant exposer les règles générales du calcul des radicaux. On démontre dans l'Algèbre supérieure, que tout radical, dont l'indice est n, est susceptible de n déterminations distinctes; mais une seule de ces déterminations est réelle et positive, c'est la valeur arithmétique ou numérique de ce radical. Nous ne nous occuperons ici que de la valeur numérique des radicaux.
Le principe fondamental du calcul des radicaux est celui-ci : La racine n**"" d*un produit est égale au produit des racines n**""*" de ses facteurs.
Soit, en effet, abcd un produ it qu elconque. La racine n'*"^ de ce produit sera exprimée par \/abcd .
PUISSANCES £T RACINES d'uN DEGRÉ QUELCONQUE. 269
Le produit des racines w'*"** des facteurs sera exprimé par \Ja* \/b ' \/c . \/d .
Or, je dis que cette quantité est une nouvelle forme de la racine du produit abcd . En effet, si on élève cette quantité à la puissance n , on aura
{\a .yjl) .\jc . \/d) [\ja .\/6.\/c. \/d) ( ' ) . . . .
le nombre des parenthèses étant n .
Mais, pour multiplier une quantité par un produit de plusieurs facteurs, on peut multiplier successivement par chacun des facteurs de ce produit; on pourra donc écrire
ou en intervertissant Tordre des facteurs,
chaque radical entrant n fois de suite comme facteur.
Or, multiplier entre elles n quantités égales à sja , c'est élever sja à la puissance n , ce qui donne, par définition, a . Multiplier cette quantité successivement par n facteurs égaux à \jb , revient à la multiplier par le produit de ces n facteurs, ou par la n**"' puissance de sjb , qui est b , par définition. Multiplier le produit ab successivement par n facteurs égaux à \J c , revient à le multiplier parle produit de ces n facteurs, ou par c , ce qui donne abc . Enfin, multiplier abc successivement par n fadeurs égaux à y^rf , revient à le multiplier par le produit de ces n facteurs, ou par d , ce qui donne abcd .
Donc, en élevant à la w""* puissance, le produit
sja* sjb • \J c > \ld 9 on obtient le même résul tat, abcd , qu'en élevant à la n'*"* puissance le radical s/ abcd . Donc ces deul quantités sont numériquement égales, et Ton a
\l abdc^=. \/a' \/b * \'c • \jd .
Ce qui revient à la proposition énoncée.
286. Le premier usage qu'on peut faire de ce principe est de simplifier les radicaux. Pour cela, on décompose, s'il est possible, la quantité placée sous le radical en deux facteurs, dont l'un soit une puissance exacte d'un degré égal à l'indice du radical. On extrait alors la racine de ce facteur, et l'on se contente d'indiquer
270 PUISSANCES ET RACINES. — ÉPUATIONS BICARRÉE ET EXPONENTIELLES :
ia racine du second. Le radical porte ajnsi sur une quantité plus simple.
On trouvera de cette manière
y/i0a'b'=^8a'b\5ab'= s/'8(^'b\ v^5a6*=2a*6v^5a6*
^567aV=v^81aV.7a^a:=V^81aV.v^7a'x=3ax*C^7fl'x .
V6400000a^6*V^ = v3200000a*6^ V^2a*6*x=20a6Vv^2a*6*x .
On nomme radicaux semblables ceux qui portent sur des quantités égales, quelle que soit la quantité qui peut être placée comme facteur hors du radical.
On peut quelquefois, en simplifiant les radicaux, les amènera être semblables. Ainsi les expressions
^540^ et v^250a*6* reviennent à 3av^2a*6 et 5b\/2a^b ,
qui renferment des radicaux semblables.
287. Au lieu de faire sortir un facteur du radical, on peut au contraire avoir intérêt à faire passer sous le radical un facteur qui est devant.
Pour cela, il faut évidemment élever ce facteur à une puissance marquée par Tindice du radical.
Ainsi a\fb revient à \/a'*6 ,
car, si on simplifiait la seconde expression, on retomberait sur la première.
288. L'addition et la soustraction des radicaux ne peuvent que s'indiquer lorsque les radicaux ne sont pas semblables. Mais s*ils le sont, on peut opérer sur les quantités qui multiplient le radical, et mettre ce radical en facteur commun. Ainsi
289. MuLTiPucATioN. Pour multiplier l'un par Vautre deux radicaux de même indice^ il suffit de multiplier lune par Vautre les quantités placées sous chaque radical, et d'affecter le produit du radical commun.
On a, en effet, en vertu du principe fondamental (285) ,
y/a . \/b = \jab .
Cette règle s'étend à un nombre quelconque de facteurs.
PUISSANCES ET RACINES d'uN DEGRÉ QUELCONQUE. 271
Il peut arriver que le produit soit susceptible de se simplifier, ou même qu'il soit rationnel. Par exemple,
290. Division. Pour diviser l* un par l'autre deux radicaux de même indice^ il suffit de diviser ftine par r autre les quantités placées sous chaque radical^ et d'affecter le quotient du radical commun.
Soit, en effet, ^=? •
On en tire \fâ=q . \/b ,
ou, en élevant à la puissance n les deux membres
a=5f".ft ; d'où î**=^ et, en extrayant la racine w'*°" des deux membres,
Deux quantités égales à une troisième étant égales entre elles, on en conclut
Il peut arriver que le quotient se simplifie, ou même qu'il soit rationnel. Ainsi
291. Formation des puissances. Pour élever un radical à la puissance p , il suffit d'y élever la quantité placée sous le radical. «
En effet, on a (Ç/«)p=Ç/« . y^« . y'^ • • . \/^ ,
les facteurs du second membre étant en nombre p. . D'après la règle de la multiplication des Radicaux, on aura donc
/«)'* = sja.a.a,.., ,
les facteurs placés sous le radical étant aussi en nombre p. On peut donc écrire
ce qui revient à l'énoncé de la proposition.
Alg. s. 48
272 PUISSANCES ÊTRACINES. — ÉQUATIONS BIGARRÉE ET EXPONENTIELLES !
On aura, par exemple,
292. Extraction des racines. Pour extraire d'un radical une racine du degré p , il suffit de multiplier par p l'indice d£ ce radical.
Soit, en effet, y y/a=6 .
Élevons les deux membres à la puissance/) ; il suflSra pour y élever le premier membre de supprimer le premier radical ; cela r^s^lte de la définition même de la racine. On aura donc
Élevons les deux membres de cette nouvelle égalité à la puissancew; il suffira dans le premier membre de supprimer le radical, et dans le second il faudra multiplier Texposant p parn (268). Il viendra donc
a=bP^ ou b^P .
Extrayons maintenant la racine np'^* des deux membres, nous obtiendrons
Et puisque deux quantités égales à une troisième sont égales entre elles,
ce qui revient à Ténoncé de la proposition.
On trouve ainsi
293. On peut, sans changer la valeur numérique d*un radical, multiplier par un même nombre son indice et l'exposant de chaque facteur qu'il affecte.
Soit, en effet, l'expression y^a"* •
Si on élève cette quantité à la puissance^, on aura, en vertu de ce qui a été démontré au n** 291,
Si Ton extrait maintenant la racine p'*""* du résultat, on obtiendra, en vertu du numéro précédent,
Or, ces deux opérations contraires ayant pour effet de se détruire, on doit retrouver la quantité primitive. On a donc
ce qui démontre la proposition.
Par une raison semblable on peut^ sans changer la valeur numérique d'un radical^ diviser par un même nombre son indice et l'exposant de chaque facteur qu'ij affecte.
Ainsi .s/^'=s/"^',
puisqu'on peut diviser par 2 Tindice 6 et les exposants 2 et 4.
294. Le principe démontré au commencement du numéro précédent permet de réduire deux radicaux quelconques au même indice.
Pour réduire deux radicaux au même indice^ on multiplie Vindice de chaque radical^ ainsi que les exposants des facteurs quil affecte^ par rindice de l'autre radical.
Soient les deux radicaux y/a"* et y^ô' . On multipliera n et m par p, puis pet q par n, ce qui n'altérera pas (293) la valeur numérique de ces radicaux. Ils deviendront alors
7^ et '^I^ ,
et auront tous les deux le même indice.
.Cette opération, qui a beaucoup d'analogie avec la réduction de deux fractions au môme dénominateur, est susceptible des mêmes simplifications, c'est-à-dire que l'on peut prendre pour indice, commun le plus petit multiple des deux indices. On divisera alors ce plus petit multiple par l'indice de chaque radical, et l'on élèvera la quantité placée sous ce radical aune puissance marquée par le quotient obtenu.
Soient, pa r exemple , s/'iS a^b'xe i y/'27aô V , ou, ce qui revieat au même, \/^^.a^b^x et \/3^.abx^ . Le plus petit multiple des indices 6 et 8 est 24. Le quotient de 24 par 6 est 4; on élèvera donc à la 4^ puissance la quantité placée sous le premier radical. Le quotient de 24 par 8 est 3; on élèvera donc au cube la quantité placée sous le second radical. On obtiendra ainsi pour les deux radicaux *
V^5«.a^*AV et v^3^a^ôV* .
Si l'on avait plus de deux radicaux, on multiplierait l'indice de chaque radical, ainsi que l'exposant de chacun des facteurs qu'il
874 PUISSANGMST IUCm£S.-T- ÉQUATIONS BIGARRÉE EjT EXPQr^^NTIELLES :
affecte^ par le produit des indices 4es autres radicaux. Ainsi les trois radicaux v
deviendraient "7«'"''' ? "V*^ » "V^ •
Si les indices avaient des facteurs communs, on prendrait leuf plus petit multiple pour l'indice commun, et Ton opérerait comme il a été dit pour le cas de deux radicaux.
SOS. La réduction des radicaux au même indice sert à multiplier ou à diviser l'un pari'autre deux radicaux d'indices quelconques. ^ ^
Soit, par exemple, à nïultiplier yja"^ par yjcfl ; en réduisant d'abord ces radicaux au même indice, on aura "^yjà^^ et "j^a"« . Opérant alors la multiplication par la règle du n®289, on obtiendra
S'il s' agissait au contraire de diviser l'un par l'autre les même;s radicaux, on aurait d'abord, en appliquant la règle du n^ 290,
ou, en vertu de la règle de division des monômes. Par exemple, v^X v^?= v«^^«^*=*^«^ ^
S96. On a vu au n® S02 que pour extraire la racine n''"^ d'un monôme, il faut diviser par n l'exposant de chaque lettre qui y
entre. Ainsi, y^a"* peat s'écrire a** toutes les fois que la division
de m par n peut s'effectuer, puisque ~ représente le quotient
de m par n .
L'analogie conduit ensuite à adopter la même notation, lors même que la division de m par n n'est plus possible, et à poser en conséquence, quels que soient. les nombres entiers m et n,
c'est-à-dire que pour indiquer la racine n"^ de la puissance m**"* ^une quantité a, on affecte cette quantité d'un exposant fractionnaire
PUISSANCES ET RACINE^ D*UN DEGRÉ QUÈLGONWftr " 278
qui a pour numérateur r exposant m delapui8mHté,etpouP dénmU nateur l'indice de la racine.
L^avantage de cette notation est de simplifier sur-le-champ le calcul des radicaux, attendu que les règles établies pour le calcul des exposants entiers subsistent pour lès exposants fractionhàihs'. C*est ce que nous allons démontrer.
297. 1. Multiplication. Soit à multiplier les djeux expressions
Si Ë
a"" et a'' : ;.
D'après la définition des exposants fractionnaires, ces éxprefs^ sions reviennent respectivement à
V«^ et ^'ÔP , .
ou, en les réduisant au même indice, à ;i >
"^^ et à "^ .
Effectuant la multiplication d'après la règle du n^ S88, il vient
ou, d'après la règle de la multiplication des monômes, dans le cas des exposants entiers.
Si Ton se sert, pour exprimer ce produit, d'un exposant fractionnaire, on aura •
c'est-à-dire que, pour multiplier deux puissances fractionnaires d'une même quantité^ il faut faire la somme des exposantSy comme dans le cas des exposants entiers.
IL Division. Soit à diviser
• '-^ par t a" a' '
ou, ce qui revient au môme,
V^â~ par ^aP »
ou, en réduisant au même indice,
"^W^ par "^'^p. .
Effectuant la division d'après la règle n® 290, il vient
OU, d^aprêfs la règle de la division des monômes pour le cas des exposants entiers,
Si l'on emploie un exposant fractionnaire, ce quotient pourra s'écrire
a "' ou a" « '
c'est'à-dire que, pour diviser l'une par Vautre deux puissances fractionnaires d'une même quantité^ il faut retrancher l'exposant du diviseur de f exposant du dividende^ comme dans le cas des exposants entiers.
IIL Puissances et racines. Soit à élever a** à la puissance
fractionnaire - . Ce cas renfermera celui où q serait égal à 1 ,
c'est-à-dire où la puissance serait entière, et celui où p sérail égal à 1, c'est-à-dire où l'on aurait à extraire seulement une racine d'indice q.
La quantité proposée a** ou y/a"* doit, d'après la définition de
l'exposant fractionnaire - , être élevée d'abord à la puissance/?,
et l'on doit ensuite extraire de cette puissance une racine dont l'indice est g .
Or,on*a (v^>=v^ (29i).
On a ensuite ^sj'^^=''^ (298).
Employant maintenant un exposant fractionnaire, on pourra écrire
mp va^je.
a"« ou a""« '
c'est-à-dire que, pour élever une quantité affectée d'un exposant fractionnaire — , à une puissance fractionnaire ? il faut faire le
produit des deux exposants ^ et ^ ^ comme dans le cas des exposants entiers.
On voit que toutes les règles du calcul des exposants entiers s'appliquent aux exposants fractionnaires; ce qui justifie l'emploi de cette notation, plus générale que celle des exposants entiers, et plus conforme, par conséquent, à l'esprit de l'Algèbre.
Remarque. Le principe du n"* 298 revient à. celui d'après lequel
PUISSANCES ET BACINES D*UN DEGRÉ QUELGONQUt:. 2?^
on peal muUiplier ou diviser à la fois les deux termpç d'une fraction par un même nombre sans en changer la valeur.
298. On a vu, au n** 41 , que pour diviser Tune par Tautre deux puissances entières d'une môme quantité, il faut soustraire l'exposant du diviseur de Texposant du dividende.
• . . . fl"*
Ainsi — peut s écrire a*"""" ,
lorsque n est moindre que m.
L'analogie conduit à faire usage de la môme notation, lorsméme que n est plus grand que m, et à poser en conséquence
quels que soient les nombres w et n.
Or, si n surpasse m d'une quantité jo, et qu'on ait n=m^p, on pourra écrire l'égalité ci-dessus sous la forme
et, en divisant les deux termes du premier membre par a^
X arP
Telle est la définition de l'exposant négatif — p. Ainsi les expressions
or' , reviennent respectivement à
L'avantage de cette notation est encore gue, les règles démontrées pour le calcul des exposants positifs (entiers ou fractionnaires) subsistent pour les exposants négatifs ; et c'est cette généralité, conforme à l'esprit de l'Algèbre, qui justifie l'emploi des exposants négatifs.
Il reste à démontrer la proposition énoncée.
200. L Multiplication. Soit à multiplier a""* par a+P , m et p pouvant être entiers ou fractionnaires. D'après la définition des exposants nég^itifs, on aura à multiplier
èl par a+P
278 PUISSANCES Et R ACfNES . — ÉQUATIOItS BIGARRAc ET EXPONENTIELLES :
ce qui donDera, d'après le calcal des exposants positifs,
- ou aP-'^ ,
puisqu'il faut soiistFaire les exposaats dans Iadivi;sioii, qu'ils soient entiers ou fractionnaires, et qu'on admet un exposant négatif.
Or, p — m est la somme algébrique de p et de — m . Donc il faut, dans le cas où nous sommes, faire la somme des exposants des deux iactours.
Soit à multiplier a*"" par a^P , ou ce qui revient au même,
on obtiendra, d'après fe calcul des exposants positifs,
ou
Mais, d'après la définition des exposants négatifs, ce résultat peut s'écrire
^— (w+p) ou a"'"'"^ ,
Or, — m — p est encore la somme algébrique des exposants des deux facteurs. Donc pour multiplier entre elles deux puissances (positives ou négatives) d*une même quantité^ il faut faire la somme algébrique des exposants,
