II. Division. Soit à diviser ar"^ par a+P , ou bien

i par aP ; il viendra, d'après lé calcul des exposants positifs, * ou • -

a'^,aP 0"*+? '

OU, eji employant un exposant négatif,

fl— (w+P) ou ÛT"*"""^ .

Or — m — p est la àifférence algébrique entre l'exposant — m du dividende et Texposant +/? du diviseur.

Soit à diviser au contraire «+"* par a-^P ou bien

a™ par -; ;

il viendra, d'après le calcul des exposants positifs, a'^.aP ou a'^P l

Or m+/>* est la différence algébrique entre l'exposant +*» du dividende et l'exposant — p du diviseur.

Soit enfin à diviser ar^ par arP ou bien i

ce qui donnera, d'après le calcul des exposants positifs,

oa, d'après le même calcul et en admettant un exposant négatif.

Or p — m , ou — w-|-p , est la différence algébrique entre l'exposant —m du dividende et l'exposant — 1> du diviseur.

Donc, pattr diviser Vune par Vautre deux puissances (positives ou négatives) d'une même quantité^ il faut soustraire l'exposant du diviseur de l'exposant du dividende.

III. Puissances. "Soit à élever a~"* à la puissance +/? , ou, ce qui revient au même, -^ à la puissance p . On aura

ou — - ,

en vertu du calcul des exposants positifs.

Mais, si Ton emploie un exposant négatif, le résultat pourra s'écrire

Or — mp est le produit de l'exposant —m par par Texposant

Soit, au contraire, à élever a+"» à la puissance —p . D'après la définition de l'exposant négatif — p on devra avoir

(am)p '

ou, d'après le calcul des exposants positifs,

amp •

Employant un exposant négatif, on pourra écrire

Or — m/? est le produit de l'exposant + »* par l'exposant — p.

Digiti

280 PUISSANCES ET RAQNES. — ÉQUÀTl(M<iSBlG4RRÉE ET EXPONENTIELLES :

Soit enfm à élever a-"» à la puissance —p . D après la définilioD des exposants négatifs, on devra avoir

ou, d'après le calcul des exposants positifs, -j- on a"^ ,

Or + mp est le produit de l'exposant — m par l'exposanl

Donc, pour élever une puissance (positive ou négative) d'une quantité à une seconde puissance (positive ou négative),!/ faut faire le produit des deux exposants.

Le cas d'une puissance renferme implicitement celui d'une racine, puisque les exposants peuvent être fractionnaires. On voit donc que le calcul des exposants entiers et positifs^ étendu d'abord aux exposants positifs fractionnaires, peut s'étendre aux exposants entiers ou fractionnaires négatifs, c'est-à-dire à des exposants commensurables quelconques.

300. On peut même l'étendre à des exposants incommensurables ; car de pareikexposants pouvant être remplacés par des quantités commensurables qui en diffèrent d'aussi peu que l'on voudra, le calcul applicable à ces quantités approchées est applicable à leurs limites, c'est-à-dire aux exposants incommensurables dont il s'agit.

Donc, enfin, les règles pour le calcul des exposants sont générales.