CHAPITRE XII

DES LOGARITHMES CONSIDÉRÉS COMME EXPOSANTS; ET DES ÉQUATIONS EXPONENTIELLES.

§ I. Des logarithmes considérés comme exposants.

301 . On a VU (201) que si l'on considère la progression géométrique

et la progression arithmétique

, r , 2r , 3r , .... nr ,

chaque terme de la seconde progression est le logarithme du terme qui lui correspond dans la première ; et qu'ainsi, en général , nr est le logarithme de (l^-a)" .

On a Vu, en second lieu (202), qu'on peut toujours prendre « assez petit pour que les termes de la progression géométrique croissent par degrés plus petits que toute quantité donnée, et qu'ainsi tous les nombres, entiers et fractionnaires, peuvent être regardés comme compris dans cette progression, du moins à tel degré d'approximation qu'on le désire, par exemple à moins d'une unité décimale du septième ordre.

On a vu enfin (208) que la base d'un système de logarithmes est le nombre dont le logarithme est 1 ; en sorte qu'en nommant b cette base et k le nombre qui exprime le rang qu'elle occupe dans la progression géométrique, on a en même temps

(IJ^oLy—b et kr=zl ;

d'où 6=(l+a)'' •

302, On tire de cette relation, en élevant les deux membres à la puissance r ,

et en élevant de nouveau les deux membres à la puissance n ,

Mais m est le logarithme de (!+«)" ; on peut donc dire que le logarithme d'un nombre est l'exposant de la puissance à laquelle

28â PUISSANCES ET RACINES. — ÉQUATIONS BICARRÉE ET EXPONENTIELLES:

il faut élever une quantité constante appelée base, powr reproduire ce nombre.

Ainsi, dans le système donl la base esl 10 , le logarithme d'un nombre estrexposantdela puissance à laquelle it faut élever. 10 poor reprodttire ce nombre. Par exempte^ dire que le logarithme de 2 est 0,30i03 , c'est dire q^i'en élevant fO à la puissaoce

fractionnaire îjJqqq on reproduirait 2 . .

303. Celte propriété des logarithmes peut être prise pour définition. Les théorèmes fondamentaux de la théorie des logarithmes s'en déduisent alors, immédiatement, à Tarde des principes exposés dans le chapitre qui précède.

D après cette définition, en effet, pour exprimer que x esl le logarithme de y dans le système dont la base est b , on écrira

'De même, si x' est le logarithme de y' dans le môme système, on aura

Multiplions ces deux égalités membre à membre ; il faudra, d'après les règles du calcul des. exposants entiers ou fractionnaires, positifs ou négatifs, faire la somme algébrique des exposants x et x' ; ce qui donnera

égalité qui exprime que a?+^' ^^^ l^ logarithme de yy' , ou que le logarithme d'un produit est la somme alge'brique des logarithmes de ses facteurs.

La démonstration serait la même pour un nombre de Tacteurs quelconque.

304. Au lieu démultiplier les deux égalitésmembre à membre, si on les divise, il faudra retrancher l'exposant x' de l'exposant X ^ dans le sens algébrique du mot ; et l'on aura

égalité qui exprime que le logarithme d'un quotient est égal an logarithme du dividende, diminué (algébriquement) (fc* logarithme du diviseur.

30». Si l'on élève les deux membres de Tégalité